測量誤差模型的估計理論和方法.pdf

1、在科學(xué)實驗、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及社會調(diào)研等領(lǐng)域中，對興趣變量進行測量時，往往會受到多種因素的影響，導(dǎo)致一些偏差，如抽樣誤差、儀器誤差、記錄誤差等等；另外，人們考察變量之間的關(guān)系時，往往只關(guān)心主要因素對興趣變量的影響，其它影響不大的因素的效應(yīng)將反映于興趣變量取值的偏差中.文獻中這種觀測數(shù)據(jù)帶有誤差的問題通常稱為“測量誤差問題”，分析這些數(shù)據(jù)的統(tǒng)計模型通常稱為“測量誤差模型”或“EV(errors-in-variables)模型”.在實踐中，利用

2、各種EV模型(包括線性EV模型、非線性EV模型、半?yún)?shù)EV模型等)解決實際問題時，常常會遇到各種各樣的復(fù)雜數(shù)據(jù)，例如刪失數(shù)據(jù)、縱向數(shù)據(jù)、缺失數(shù)據(jù)以及時間序列數(shù)據(jù)等等.因此，研究各種復(fù)雜數(shù)據(jù)下的EV模型富有現(xiàn)實意義，此類問題目前已經(jīng)成為統(tǒng)計學(xué)界研究的熱點課題之一. 本論文研究的模型主要包括：線性EV模型、半?yún)?shù)EV模型、非線性半?yún)?shù)EV模型以及單指標(biāo)EV模型等統(tǒng)計模型.研究的主要目的是：基于各種復(fù)雜數(shù)據(jù)(如縱向數(shù)據(jù)、刪失數(shù)據(jù)、缺失

3、數(shù)據(jù)等等)研究此類模型中興趣參數(shù)及興趣函數(shù)估計的大樣本問題，如估計量的漸近正態(tài)性、相合性及其收斂速度等統(tǒng)計性質(zhì). 首先，在生存數(shù)據(jù)分析中，數(shù)據(jù)刪失的現(xiàn)象是非常普遍的，因此考慮響應(yīng)變量隨機刪失情形下的半?yún)?shù)EV模型較單純的半?yún)?shù)EV模型而言更富有現(xiàn)實意義.由于數(shù)據(jù)隨機刪失，通常的處理EV模型的方法不能直接使用.通過對數(shù)據(jù)的適當(dāng)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造了未知參數(shù)的兩種經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量，即估計的經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量和調(diào)整的經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量.

4、證明了所構(gòu)造的統(tǒng)計量的分布漸近于χ2分布，所得結(jié)果可以用來構(gòu)造未知參數(shù)的置信域.模擬研究說明所提出的經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量在有限樣本情形下具有良好的表現(xiàn). 其次，考慮了縱向數(shù)據(jù)下半?yún)?shù)EV模型的估計問題.針對協(xié)變量兩種不同的設(shè)計情形，即固定設(shè)計和隨機設(shè)計，分別討論了半?yún)?shù)EV模型中未知參數(shù)和未知函數(shù)的估計問題.對于固定設(shè)計下半?yún)?shù)EV模型，基于一般非參數(shù)權(quán)函數(shù)估計方法和廣義的最小二乘法給出了未知參數(shù)、誤差方差以及未知函數(shù)的估計.在一般

5、的條件下，證明了未知參數(shù)和誤差方差估計的漸近正態(tài)性，同時也給出了未知函數(shù)估計的收斂速度.其結(jié)果是獨立數(shù)據(jù)情形下相應(yīng)結(jié)果的推廣.對于隨機設(shè)計下半?yún)?shù)EV模型，應(yīng)用核估計和修正的加權(quán)最小二乘法給出了未知參數(shù)和未知函數(shù)的估計.在一般的條件下，證明了估計量的漸近正態(tài)性.另外，模擬結(jié)果表明本文的估計方法在有限樣本情形下具有良好的表現(xiàn)，說明估計方法是可行的。 再次，雖然EV模型在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等眾多領(lǐng)域中有了廣泛的應(yīng)用，然而當(dāng)該模型用于缺失數(shù)據(jù)

6、的分析時卻遇到了困難.因為對于缺失數(shù)據(jù)，通常的回歸方法不能直接使用.本論文考慮了響應(yīng)變量缺失而協(xié)變量帶有測量誤差的兩類EV模型(即線性可加EV模型，非線性半?yún)?shù)一般EV模型)的估計問題.對于線性EV模型，通過引進調(diào)整因子，給出了調(diào)整的經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量，證明了所構(gòu)造的統(tǒng)計量的分布漸近于標(biāo)準(zhǔn)χ2分布，從而解決了由于數(shù)據(jù)缺失而帶來的估計困難.對于非線性半?yún)?shù)一般EV模型，由于在實際問題中，核實數(shù)據(jù)往往很難得到，或者耗費較大.因而要獲得大量核實

7、數(shù)據(jù)往往不太現(xiàn)實.對此提出了一種新的修正的核估計方法，較好地解決由于高維核估計而帶來的“維數(shù)災(zāi)禍”問題.通過利用核實數(shù)據(jù)，分別構(gòu)造了未知參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)的兩種估計量.證明了未知參數(shù)估計的漸近正態(tài)性，并給出了非參數(shù)函數(shù)估計的最優(yōu)收斂速度. 最后，討論了解釋變量帶有測量誤差的單指標(biāo)EV模型.單指標(biāo)模型的提出就在于解決維數(shù)災(zāi)禍問題.然而當(dāng)協(xié)變量帶有測量誤差，尤其是當(dāng)替代變量和解釋變量的關(guān)系不能確定時，單指標(biāo)模型的估計實際上就成了一般非

8、參數(shù)估計的問題了.這樣一來就存在維數(shù)災(zāi)禍問題.如何有效地估計單指標(biāo)EV模型是本論文討論的核心問題之一.雖然利用高維核估計可以給出未知函數(shù)的估計，然而在非參數(shù)回歸估計中，這一推斷需要較大的核實數(shù)據(jù)才能達(dá)到合適的精度.為此，本文提出了一種降維方法.通過利用核實數(shù)據(jù)，構(gòu)造了未知參數(shù)的兩種經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量.證明了所構(gòu)造的經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量的分布漸近于χ2分布，所得結(jié)果可以用來構(gòu)造未知參數(shù)的置信域.由于估計過程采用降維技術(shù)，因而所得結(jié)果可以用于