Goldbach-Linnik問(wèn)題及其推廣.pdf

1、著名的Goldbach猜想可以表述為：(A)每個(gè)大于或者等于9的奇數(shù)都可以表示成三個(gè)奇素?cái)?shù)之和；(B)每個(gè)大于或者等于6的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。顯然地，猜想(A)是猜想(B)的直接推論.1937年，Vinogradov[70]基本解決了猜想(A)，他證明每個(gè)充分大的奇數(shù)可以表示成三個(gè)奇素?cái)?shù)之和，這一結(jié)果也被稱為三素?cái)?shù)定理.在本文中，Goldbach猜想專指猜想(B)。作為Goldbach猜想的一種證明途徑，1951年，Linn

2、ik[30]在廣義Riemann假設(shè)下，兩年之后[31]無(wú)條件地證明了每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)與可控制個(gè)數(shù)的2的方冪之和，即、N=p1+p2+2v1+…+2vk1.這一問(wèn)題被稱為“Goldbach-Linnik問(wèn)題”(見(jiàn)[55])或者“幾乎Goldbach問(wèn)題”(見(jiàn)[41]).Goldbach-Linnik問(wèn)題之所以叫做幾乎Goldbach問(wèn)題，是因?yàn)樾蛄小2v1+…+2vk：vj≥0}非常稀疏.事實(shí)上，區(qū)間[1，N]中這類

3、整數(shù)的個(gè)數(shù)是O(logk N)。Goldbach-Linnik問(wèn)題的意義在于，雖然我們目前還不能證明Goldbach猜想，但是可以證明Goldbach猜想再貼上一個(gè)稀疏的數(shù)列后成立。顯然地，關(guān)于K1的最好估計(jì)K1=0和Goldbach猜想是等價(jià)的。許多作者([35]，[36]，[37]，[26]，[72]，[27]，[18]，[56]等)在廣義Ricmann假設(shè)下或無(wú)條件確定或改進(jìn)K1的具體數(shù)值。關(guān)于K1的最好結(jié)果屬于Hcath-Bro

4、wn和Puchta[18]，他們證明K1≤13。
　　 第一章，我們通過(guò)對(duì)圓法中主區(qū)間和余區(qū)間更精細(xì)地計(jì)算，改進(jìn)上面結(jié)果。定理1.1.每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)與不多于12個(gè)2的方冪之和.i.e.K1≤12。討論了Romanoff問(wèn)題，廣義孿生素?cái)?shù)問(wèn)題和其他相關(guān)問(wèn)題。聯(lián)系到華羅庚[19]的五素?cái)?shù)平方和定理，Lagrange的四平方和定理，并受Linnik的Goldbach-Linnik問(wèn)題的啟發(fā)，劉建亞，廖明哲和展?jié)齕3

5、8]證明每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示成四個(gè)素?cái)?shù)的平方與2的方冪之和，N=p12+p22+p32+p42+2v1+…+2vk2.由于這一問(wèn)題是由Gallagher首先提出的，所以被稱為“Linnik-Gallagher問(wèn)題”(見(jiàn)[41]).K2的可允許值先后由[32]，[39]和[28]定出和改進(jìn)。作為Goldbach-Linnik問(wèn)題和Linnik-Gallagher問(wèn)題的混合問(wèn)題，劉建亞，廖明哲和展?jié)齕38]證明每個(gè)充分大的奇數(shù)可以表示成

6、一個(gè)素?cái)?shù)，兩個(gè)素?cái)?shù)的平方與2的方冪之和，也就是N=p12+p22+p32+2v1+…+2vk3，其中K3的數(shù)值先后由[43]，[29]和[51]得到和改進(jìn)。在廣義孿生素?cái)?shù)問(wèn)題的一個(gè)猜想下，條件地進(jìn)一步改進(jìn)了K3的值。類似地，我們還可以考慮Goldbach-Linnik問(wèn)題和Linnik-Gallagher問(wèn)題的高次冪形式.聯(lián)系到華羅庚[19]的九素?cái)?shù)立方和定理，劉建亞和廖明哲[34]證明每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示成八個(gè)素?cái)?shù)的立方與2的方冪

7、之和，、N=p13+p23+…+p83+2v1+2v2+…+2vk4。
　　 第二章，給出K4的可容許值。定理2.1.每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示成八個(gè)素?cái)?shù)的立方與不多于358個(gè)2的方冪之和.i.e.K4≤358。最近，呂廣世和本文作者[49]考慮素?cái)?shù)的不等次冪與2的方冪之和，我們證明每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示成一個(gè)素?cái)?shù)，一個(gè)素?cái)?shù)的平方，兩個(gè)素?cái)?shù)的立方與2的方冪之和，N=p1+p22+p33+p43+2v1+2v2+…+2vk6.更進(jìn)

8、一步地，我們定出K5的可容許值，為K5≤161.
　　 第三章，進(jìn)一步改進(jìn)了上述結(jié)果。定理3.2.每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示成一個(gè)素?cái)?shù)，一個(gè)素?cái)?shù)的平方，兩個(gè)素?cái)?shù)的立方與不多于124個(gè)2的方冪之和，i.e.K5≤124。類似地，作為Goldbach-Linnik問(wèn)題，Linnik-Gallagher問(wèn)題和八個(gè)素?cái)?shù)立方與2的方冪之和問(wèn)題的混合問(wèn)題，呂廣世和本文作者[48]證明每個(gè)充分大的奇數(shù)可以表示成一個(gè)素?cái)?shù)，四個(gè)素?cái)?shù)的立方與2的方冪

9、之和，N=p1+p23+p33+p43+p53+2v1+2v2+…+2vk6.更進(jìn)一步地，我們定出K6的可容許值，為K6≤106.另外，每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的平方，四個(gè)素?cái)?shù)的立方與2的方冪之和，N=p1+p22+p33+p43+p53+p63+2v1+2v2+…+2vk7.更進(jìn)一步地，我們定出K7的可容許值，為K7≤211。
　　 第四章，進(jìn)一步改進(jìn)了上述結(jié)果。定理4.2.每個(gè)充分大的奇數(shù)可以表示成一個(gè)素?cái)?shù)，四個(gè)素

10、數(shù)的立方與不多于97個(gè)2的方冪之和，i.e.K6≤97。定理4.5.每個(gè)充分大的偶數(shù)可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的平方，四個(gè)素?cái)?shù)的立方與不多于136個(gè)2的方冪之和，i.e.K7≤136。
　　 第五章，考慮了素?cái)?shù)的平方，素?cái)?shù)的立方與2的方冪之和的另外兩個(gè)結(jié)果。N=p1+p22+p33+p43+p53+2v1+…+2vk8，N=p12+p23+…+p73+2v1+·+2vk9.確切地說(shuō)，我們證明定理5.1.每個(gè)充分大的奇數(shù)可以表示成三個(gè)素?cái)?shù)