符號矩陣的復推廣中若干問題及其圖論方法的研究.pdf

1、本文主要研究符號矩陣理論的復推廣中的一些重要問題，研究主要分兩個方面：一是系數(shù)矩陣為方陣的復線性方程組為ray可解性的研究；二是作為SNS陣的復推廣的DRU陣(即行列式ray唯一矩陣)和作為S<'★>-陣的復推廣的ray S<'★>-陣的聯(lián)系。在這兩方面的研究中，都將主要使用圖論的方法來研究這些原本提法是純代數(shù)的問題。 首先，利用SNS陣的另一種復推廣-DRU矩陣，用圖論的方法對系數(shù)矩陣為方陣的復線性方程組的ray可解性進行了的

2、研究，得到了如下的圖論特征刻劃： 1．在§2.3中，得到了具有標準形式的、系數(shù)矩陣A為方陣的復線性方程組Ax=6為全非零ray可解的圖論判別法及其解的ray模式的圖論完全刻劃。 2．在§2.3中，得到標準形方復線性方程組為全．Kray可解的如下的圖論刻劃，即：設(shè)Ax=6及W如定理2.3.1。則Ax=6為全正ray可解當且僅當S(A)和W滿足如下三條件： (1)．S(A)中任一圈的ray均為負。 (2)．S

3、(A)中任一點均到W中某點有路。 (3)．W中點都是S(A)中的正端。 在上面得到的關(guān)于全非零ray可解及全正ray可解的圖論刻劃這兩個特殊情形下的結(jié)論的基礎(chǔ)上，進一步考慮了一般ray可解性的圖論刻劃，得到了主要結(jié)論--一般ray可解的方復線性方程組的圖論特征刻劃。 將上述圖論刻劃中出現(xiàn)的諸相關(guān)的帶ray有向圖定義為W<'+>-ray可解帶ray有向圖和W-ray可解帶ray有向圖，并進一步對上述帶ray有向圖及

4、其基礎(chǔ)有向圖的性質(zhì)作了較為深入的研究，得到了如下結(jié)論： 1．關(guān)于強連通w<'+>-ray可解帶ray有向圖及w-ray可解基礎(chǔ)有向圖，我們得到了如下的用禁用子圖來描述的圖論特征刻劃：設(shè)w是強連通有向圖D中的一個點，則D是w-ray可解基礎(chǔ)有向圖的充要條件是D中不含有D<,w>型子圖(詳見正文中的圖)。 2．在§3.4中，研究了一般情形下(即不一定是強連通的情形)的w<'+>-ray可解帶ray有向圖及W-ray可解帶ra

5、y有向圖的特征刻劃。得到了如下的一些結(jié)論： (A)：W<'+>-ray可解帶ray有向圖的特征刻劃：設(shè)W是帶ray有向圖S的一個非空點子集，滿足假設(shè)條件(A.1)-(A.3)(見第三章定義)，則S是W<'+>-ray可解(即每個圈的ray均為負且W中點均為正端)的充要條件是S滿足如下兩條件： (1)．S中所有支間弧的ray均為正。 (2)．S中任一強分支S<,i>中都存在(唯一的)一點v<,i>滿足如下三條件：(

6、2.)．v<,i>=w<,i>對i=1，…，r。(2.2)．每個S<,i>都是(強連通的)v<,i><'+>-ray可解。(2.3)．S中每一條離開強分支S<,i>的弧都以v<,i>為始點。 (B)：一般情形下的W-ray可解帶ray有向圖的特征刻劃：設(shè)W是帶ray有向圖S的一個非空點子集，滿足假設(shè)條件(A1)-(A5)(見第三章定義)，按如下方式定義帶ray有向圖D：D中點d<,1>，…，d<,n>，如S<,i>到S<,j>有

7、支間弧，則定義d<,i>到d<,j>，有弧，且該弧的ray為以v<,i>為始點經(jīng)過S<,i>到S<,j>的支間弧到v<,i>的任一路的ray，則S是W-ray可解的充要條件是S滿足如下兩條件： (1)．d<,i>(1≤i≤r)到如(1≤j≤r)的任一路的ray為正。 (2)．d<,i>(i>r)到所有d<,i>(1≤j≤r)的所有路的ray都相等。(其中諸d<,i>的定義見第3章。)眾所周知，在線性方程組的符號可解性問題

8、的完全解決中起到關(guān)鍵作用的符號非異矩陣(即SNS陣)和S<'★>-矩陣是符號矩陣理論(這一組合矩陣論的新興研究領(lǐng)域)的核心研究內(nèi)容。 He和Shan在[5]中給出了符號非異矩陣的S<'★>-開拓的若干充要條件。 在上述研究基礎(chǔ)上，也采用圖論方法對作為SⅣS陣的復推廣的DRU陣和作為S<'★>-陣的復推廣的ray S<'★>-陣的聯(lián)系進行了研究，得到了如下結(jié)論： 1．在§4.3中，對強連通DRU矩陣的ray S<'

9、★>-開拓進行了研究，得到了如下結(jié)論： (A)：S是完全不可分的對角元全負的DRU矩陣A的帶ray伴隨有向圖，叫是S中的任一點，如-5-中不存在D<,w>型子圖，b是唯一非零元在w行的列向量，則(A，b)為ray S<'★>-陣。由此可知，任一完全不可分DRU矩陣A，可以取帶ray伴隨有向圖S中任何不存在D<,w>型子圖的點w，拓展為ray S<'★>-陣。 (B)：A是對角元全負的完全不可分DRU矩陣，S是A的帶ray