薛定諤方程的邊界條件及其數(shù)值解法.pdf

1、薛定諤方程是近現(xiàn)代數(shù)學與量子物理以及量子化學研究中一個十分重要的偏微分方程，它在許多領域有著重大意義。諸如量子半導體、電磁波傳播、地震偏移等等許多實際的問題都需要求出各種不同形式的薛定諤方程的數(shù)值解。然而給定一個薛定諤方程的初值問題，如何求得它的數(shù)值解仍然存在著許多相關問題。首先對于它的一個初值問題構造合適的邊界條件就是研究它的數(shù)值解的開端。在眾多實驗物理和工程技術學者的眼里，在較大的區(qū)域上賦以零邊界條件仍然是合適的做法，但是這樣的做法

2、的弊端在于不可能描述到跨度很長的時間，因為波形會傳遞到原先區(qū)域的邊界上。如果要描述跨度較長的時間衍化問題，就必須要將原先的計算區(qū)域再次擴大，這不可避免的要耗費大量的人力財力。自上個世紀以來，眾多偏微分方面的學者在試圖構造合適邊界條件，旨在在小區(qū)域上刻畫較長跨度的時間衍化的薛定諤方程。本文在前人的基礎上對這類問題展開研究工作。
　　第一部分首先以較短的篇幅介紹薛定諤方程的背景知識，其次提供了幾個分析方面的例子，最后簡要概述了國內外對

3、薛定諤方程的研究現(xiàn)狀。
　　第二部分從一維線性薛定諤方程出發(fā)，首先構造了它的邊界條件，包括準確邊界條件和人工邊界條件。描述了它們的離散方法，并且由此對衍生的初邊值問題提供了離散格式。最后結尾給出了若干計算例子。
　　第三部分將一維問題拓展到高維，其中并沒有直接對高維問題構造邊界條件，而是對方程進行變換、處理，這樣的方法旨在將高維問題化為一維問題來做。另一方面也使用分裂理論更加直接的給出了高維問題的數(shù)值解法。
　　第四部