含Delta勢(shì)薛定諤方程的數(shù)值方法研究.pdf

1、薛定諤方程是量子物理中的基本方程，它不僅在物理領(lǐng)域有很多應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也備受關(guān)注。帶分布勢(shì)如δ(x)、δ'(x）及其線性組合的薛定諤方程，是描述玻色或費(fèi)米氣體的一類重要模型，也可以用來(lái)模擬半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)或奇異外勢(shì)作用下超冷稀薄原子氣體的凝聚問(wèn)題，等等。本文主要研究含這類分布勢(shì)的定態(tài)和動(dòng)力學(xué)薛定諤方程的數(shù)值方法，主要成果如下:
　　第一部分集中在含分布勢(shì)定態(tài)薛定諤方程束縛態(tài)問(wèn)題的界面方法研究。首先，考慮含單δ(x）或?qū)ΨQ雙δ(

2、x)勢(shì)阱的薛定諤方程，利用顯式跳躍浸入界面方法和Peskin浸入邊界方法對(duì)方程進(jìn)行離散，得到了相應(yīng)的廣義和標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)特征值問(wèn)題，并證明了前者可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)特征值問(wèn)題。進(jìn)而，利用帶位移的反冪法和QR方法，對(duì)原方程束縛態(tài)問(wèn)題進(jìn)行了多方面的數(shù)值研究。其次，對(duì)于含-aδ(x)+bδ'(x)勢(shì)且在原點(diǎn)帶質(zhì)量跳躍的薛定諤方程，分別考察了其浸入界面方法和顯式跳躍浸入界面方法離散，得到了相應(yīng)的廣義和標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)特征值問(wèn)題，并針對(duì)這些離散問(wèn)題的適定性與求解

3、等方面給出了相關(guān)的理論分析。由顯式跳躍浸入界面方法離散得到的標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題，可以用標(biāo)準(zhǔn)方法進(jìn)行求解。然而，由浸入界面方法得到的是一個(gè)“隱式”代數(shù)特征值問(wèn)題，設(shè)計(jì)了相容的不動(dòng)點(diǎn)迭代與帶位移的反冪法相結(jié)合的算法，實(shí)現(xiàn)了相關(guān)束縛態(tài)能級(jí)與波函數(shù)的數(shù)值計(jì)算。理論和數(shù)值研究表明，對(duì)于這兩類薛定諤方程束縛態(tài)特征值問(wèn)題，Peskin的浸入邊界方法、顯式跳躍浸入界面方法和浸入界面方法都是有效的、穩(wěn)定的以及收斂的，且對(duì)于能級(jí)的計(jì)算精度可以達(dá)到方法的精度。<

4、br>　　第二部分針對(duì)凝聚態(tài)物理中一個(gè)重要模型即含δ(x)勢(shì)場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)非線性薛定諤方程，研究其多辛幾何結(jié)構(gòu)以及相關(guān)的多辛幾何算法。由于Delta外勢(shì)的出現(xiàn)，此方程不能像無(wú)外勢(shì)那樣寫(xiě)成多辛哈密爾頓系統(tǒng)。通過(guò)一些泛函設(shè)定，我們提出了此模型的“弱”多辛哈密爾頓形式描述，并從理論上研究了相關(guān)“弱”意義下的一些局部和整體守恒律。我們指出，由于空間平移不變性被打破，此系統(tǒng)的動(dòng)量不再守恒。進(jìn)而，我們構(gòu)造了新的Runge-Kutta和Runge-Kut

5、ta-Nystr(o)m方法，討論了它們的離散多辛性，并證明了這些多辛幾何算法嚴(yán)格保持原系統(tǒng)的歸一化守恒律。為了數(shù)值比較，還利用界面方法構(gòu)造了非多辛離散格式的數(shù)值算例。這些數(shù)值研究表明，多辛幾何算法的優(yōu)勢(shì)在于對(duì)歸一化守恒律的精確保持，并且界面點(diǎn)是否落在等分節(jié)點(diǎn)上對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大。對(duì)于能量守恒律，多辛Runge-Kutta-Nystr(o)m算法的保持精度遠(yuǎn)高于非多辛算法。不管是多辛算法還是非多辛算法，可以將能量、宇稱等諸多守恒性質(zhì)在一