多孔介質(zhì)中Darcy-Forchheimer模型的多重網(wǎng)格方法.pdf

1、多孔介質(zhì)中流體流動(dòng)的數(shù)學(xué)物理模型廣泛應(yīng)用于描述油藏開發(fā)過程中[6][9][57]。多孔介質(zhì)中的流體運(yùn)動(dòng)所遵循的基本規(guī)律都是建立在質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒基礎(chǔ)之上的。油藏研究的目的就是預(yù)測(cè)油藏未來(lái)走向動(dòng)態(tài)，找到提高最終采收律的方法和途徑。將需要模擬的物理系統(tǒng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方程表示，這個(gè)過程一般都作必要的假設(shè)條件。從實(shí)際的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，為了使問題易于處理，這種假設(shè)是必須的。構(gòu)成油藏?cái)?shù)學(xué)模型的方程組一般都比較復(fù)雜，不能用解析的方法求解。所以必須

2、要在計(jì)算機(jī)上近似求解。而在計(jì)算機(jī)上數(shù)值模擬油藏之前，需要建立油藏的數(shù)學(xué)模型。
　　多孔介質(zhì)中流體流動(dòng)的物理模型在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為依賴于時(shí)間的強(qiáng)耦合的非線性偏微分方程組。由于多孔介質(zhì)中這類模型十分復(fù)雜，流體運(yùn)動(dòng)所遵守的質(zhì)量守恒集中體現(xiàn)物質(zhì)的平衡，實(shí)際生產(chǎn)中表現(xiàn)為注產(chǎn)體積以及質(zhì)量的平衡;而動(dòng)量守恒主要是對(duì)速度與壓力的關(guān)系式的描述;實(shí)際生產(chǎn)中主要關(guān)心物質(zhì)的平衡和壓力分布。所以需要進(jìn)一步地引入各種假設(shè)對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，降低耦合性、非線性強(qiáng)度。比

3、如作為經(jīng)驗(yàn)公式引入的Darcy定律以及其他非Darcy律，以及假設(shè)流體不可壓或者微可壓等等。
　　Darcy定律主要描述流體流速u和壓力p的梯度之間的線性關(guān)系，描述了多孔介質(zhì)中Newton流體的滲流現(xiàn)象。當(dāng)Darcy速度u特別小的時(shí)候，Darcy定律才成立[6]。一般這類數(shù)學(xué)模型的偏微分方程組結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，耦合求解難度大。同時(shí)因?yàn)槎嗫捉橘|(zhì)類型多樣，尺度變化大，導(dǎo)致數(shù)值模擬計(jì)算量大，收斂速度較慢。所以運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)這類數(shù)學(xué)模型進(jìn)行大規(guī)

4、模、快速保精度的數(shù)值求解成為科學(xué)與工程中的迫切需求。
　　近些年來(lái)，已經(jīng)有了很多關(guān)于Darcy-Forchheimer模型的數(shù)值分析工作。其中Girault和Wheeler在[38]中已經(jīng)通過證明非線性算子A（v）=μ/pK-1v+β/ρ|v|v的單調(diào)性、強(qiáng)制性以及半連續(xù)性，從而證明了Darcy-Forchheimer模型解的存在唯一性，同時(shí)給出了一個(gè)合適的inf-sup條件。然后他們考慮分別用分片常數(shù)和非協(xié)調(diào)Crouzeix-R

5、aviart混合元來(lái)逼近速度和壓力。他們證明了離散的inf-sup條件以及給出的混合元格式的收斂性。同時(shí)他們用Peaceman-Rachford[58]類型的迭代方法來(lái)求解離散的非線性代數(shù)方程，并給出了這類迭代法的收斂性。在Peaceman-Rachford迭代方法中，非線性方程通過和散度方程解耦，然后求解一個(gè)封閉的方程。López，Molina，Salas在[49]中實(shí)現(xiàn)了文獻(xiàn)[38]中所提方法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，并且針對(duì)Newton法和Pe

6、aceman-Rachford迭代方法求解非線性方程做了對(duì)比。他們指出對(duì)比Peaceman-Rachford迭代方法求解非線性方程，Newton法求解非線性方程并沒有優(yōu)勢(shì)。因?yàn)樵诿恳徊降?，Newton法需要求解一個(gè)Jacobian矩陣，然后再求解一個(gè)線性鞍點(diǎn)系統(tǒng)，但是在Peaceman-Rachford迭代中，只需要針對(duì)解耦之后的非線性方程計(jì)算一個(gè)人為引入的中間值，然后求解一個(gè)簡(jiǎn)化的線性鞍點(diǎn)問題。對(duì)比形成一個(gè)Jacobian矩陣所需

7、要的工作量，求解解耦之后的非線性方程消耗的工作量可以忽略不計(jì)。而且，在選取同樣的迭代初值的條件下，Peaceman-Rachford迭代比Newton法收斂所需的迭代步數(shù)少。細(xì)節(jié)可以參考文獻(xiàn)[49]。
　　Park在文獻(xiàn)[56]中對(duì)時(shí)間依賴的Darcy-Forchheimer模型提出了一種半離散的混合元格式。Pan和Rui在文獻(xiàn)[54]中對(duì)Darcy-Forchheimer模型給出了一種基于Raviart-Thomas(RT)元或

8、者Brezzi-Douglas-Marini(BDM)元逼近速度，分片常數(shù)逼近壓力dual形式的混合元方法。他們將Darcy-Forchheimer模型中速度化為壓力梯度的函數(shù)，得到了一個(gè)非線性單調(diào)只含壓力的橢圓偏微分方程，并且基于單調(diào)非退化方程的正則性證明了連續(xù)和離散問題的inf-sup條件，證明了解的存在唯一性。最后用Darcy-Forchheimer算子的單調(diào)性給了速度L2，L3范數(shù)，壓力L2范數(shù)的先驗(yàn)誤差估計(jì)。Rui和Pan在文

9、獻(xiàn)[63]中給出了Darcy-Forchheimer模型的塊中心有限差分方法，其中塊中心有限差分在合適的數(shù)值積分公式下可以認(rèn)為是最低階的RT-PO混合元方法aRui，Zhao和Pan在文獻(xiàn)[64]中針對(duì)Darcy-Forchheimer模型中的Forchheimer系數(shù)是變量的情況，即β(x)，給出了相應(yīng)的塊中心有限差分方法。Wang和Rui在文獻(xiàn)[76]中對(duì)Darcy-Forchheimer模型構(gòu)造了一種穩(wěn)定的Crouzeix-Rav

10、iart混合元方法。Rui和Liu在文獻(xiàn)[62]中對(duì)Darcy-Forchheimer模型介紹了一種二重網(wǎng)格塊中心有限差分方法。Salas，López，和Molina在文獻(xiàn)[67]中給出了他們?cè)谖墨I(xiàn)[49]中實(shí)現(xiàn)的混合元方法的理論分析，并給出了解的適定性分析和收斂性證明。
　　上述提到的大多數(shù)前人的工作主要致力于對(duì)Darcy-Forchheimer模型的離散方法。除了在文獻(xiàn)[38]中提到的Peaceman-Rachford迭代法，

11、很少有工作探索針對(duì)離散后得到的非線性鞍點(diǎn)問題的快速解法，而這正是本篇論文的出發(fā)點(diǎn)和主題。多重網(wǎng)格方法是許多高效求解線性和非線性橢圓問題的方法之一。需要特別指出的事，對(duì)非線性問題，我們不會(huì)再得到一個(gè)簡(jiǎn)單的線性殘量方程，這就是處理線性和非線性問題的最重要的區(qū)別。這里我們所用的多重網(wǎng)格格式是我們常用來(lái)處理非線性問題的多重網(wǎng)格方法，稱為全近似格式(FAS)[20]。因?yàn)槲覀冊(cè)谇蠼獯志W(wǎng)格的問題時(shí)用的是全近似，而不是只用誤差。
　　本文對(duì)多孔

12、介質(zhì)中Darcy-Forchheimer模型構(gòu)造了基于協(xié)調(diào)和非協(xié)調(diào)混合元方法離散分別給出了有效的非線性多重網(wǎng)格方法。我們用Peaceman-Rachford迭代法作為多重網(wǎng)格方法中的光滑子來(lái)解耦非線性方程和質(zhì)量守恒方程。我們把線性的鞍點(diǎn)問題簡(jiǎn)化成一個(gè)對(duì)稱正定的問題求解，并且說(shuō)明了我們這種處理方式的有效性。針對(duì)用來(lái)解耦非線性方程和限制條件的分裂參數(shù)α，文獻(xiàn)[49]中對(duì)Forchheimer系數(shù)β不同的取值，總是取α=1，而我們找到了一個(gè)更

13、好的值，并且通過比較迭代收斂需要的次數(shù)和CPU計(jì)算時(shí)間說(shuō)明了我們?nèi)〉闹蹈谩Ｎ覀冏隽撕芏鄶?shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)明我們構(gòu)造的多重網(wǎng)格求解器的有效性。我們構(gòu)造的方法收斂即不依賴于離散網(wǎng)格的大小也不依賴于Forchheimer數(shù)的取值，并且我們的計(jì)算復(fù)雜度是接近于線性的。需要提醒的是，構(gòu)造一個(gè)快速算法不依賴于一些重要的參數(shù)是一件不容易的事情，例如文獻(xiàn)[50，53]中對(duì)一類線性Stokes方程的處理。
　　本文組織結(jié)構(gòu)如下:
　　第一章，簡(jiǎn)要

14、介紹了多孔介質(zhì)中Darcy-Forchheimer方程及其適用范圍，以及質(zhì)量守恒定律及其在各種假設(shè)下的變形，本文所處理的數(shù)學(xué)模型，求解的方程組就是基本方程的耦合。
　　第二章，簡(jiǎn)要回顧了求解離散方程的基本數(shù)值計(jì)算方法。包括線性方程組的直接解法以及線性迭代解法和非線性迭代解法。除了介紹不同的數(shù)值方法外，還簡(jiǎn)要概述了每種方法有效適用的情況。同時(shí)說(shuō)明了基礎(chǔ)迭代法的優(yōu)勢(shì)和缺陷。經(jīng)典的迭代法本質(zhì)上僅起到“光滑”作用，即它能很快地消去殘量中的

15、高頻部分，但對(duì)低頻部分，效果卻不是很好。以經(jīng)典迭代法求解齊次Dirichlet邊界的二維Poisson問題為例來(lái)說(shuō)明迭代法的光滑性質(zhì)。
　　第三章，介紹了多重網(wǎng)格方法最基本的思想和最基礎(chǔ)的算法。首先介紹了線性多重網(wǎng)格方法，因?yàn)閷?duì)線性問題誤差滿足殘量方程，但是它對(duì)非線性問題并不適用，對(duì)非線性問題，則需要采取不同的策略。隨之介紹了兩種常見的非線性多重網(wǎng)格方法。
　　第四章，對(duì)多孔介質(zhì)中D arcy-Forchheimer模型構(gòu)造

16、了基于協(xié)調(diào)混合元方法離散給出了一種有效的非線性多重網(wǎng)格方法。我們用Peaceman-Rachford迭代法作為多重網(wǎng)格方法中的光滑子來(lái)解耦非線性方程和質(zhì)量守恒方程。我們把線性的鞍點(diǎn)問題簡(jiǎn)化成一個(gè)對(duì)稱正定的問題求解，并且我們說(shuō)明了我們這種處理方式的有效性。針對(duì)用來(lái)解耦非線性方程和限制條件的分裂參數(shù)α，文獻(xiàn)[49]中對(duì)Forchheimer系數(shù)β不同的取值，總是取α=1，而我們找到了一個(gè)更好的值，并且通過比較迭代收斂需要的次數(shù)和CPU計(jì)算時(shí)

17、間說(shuō)明了我們?nèi)〉闹蹈?。我們做了很多?shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)明我們構(gòu)造的多重網(wǎng)格算法的有效性。我們構(gòu)造的方法收斂即不依賴于離散網(wǎng)格的大小也不依賴于Forchheimer系數(shù)的取值，并且我們的計(jì)算復(fù)雜度是接近于線性的。本部分內(nèi)容出自文章[42]，該文章已在期刊Journal of Scientific Computing(SCI)在線發(fā)表。
　　第五章，對(duì)多孔介質(zhì)中Darcy-Forchheimer模型構(gòu)造了基于非協(xié)調(diào)混合元方法離散給出了一種有