強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程和強(qiáng)阻尼有限格點(diǎn)系統(tǒng)的漸近行為.pdf

1、本文主要研究自治和非自治強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程及其空間離散的強(qiáng)阻尼差分方程(格點(diǎn)系統(tǒng))的解的漸近行為，考慮吸引子的存在性、維數(shù)估計(jì)及其結(jié)構(gòu)． 在第一章，闡述了動(dòng)力系統(tǒng)理論的背景以及無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)和有限格點(diǎn)系統(tǒng)的研究概況．介紹了有阻尼波動(dòng)方程的解的動(dòng)力學(xué)行為的研究情況與本文的主要研究成果． 在第二章，考慮齊次Neumann邊界條件下自治強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的動(dòng)力學(xué)行為．利用空間平均方法，通過(guò)漸近自治微分方程的極限集的性質(zhì)，證明了在一定的

2、參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)存在一維全局吸引子，是一條水平曲線． 在第三章，考慮二階強(qiáng)阻尼有限格點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，其中耦合算子是非負(fù)定對(duì)稱的。首先，我們證明了全局吸引子的存在性，并且得到了其Hausdorff維數(shù)的上界，同時(shí)證明了此上界對(duì)于大的強(qiáng)阻尼是保持有界的。其次，利用限制水平曲線和旋轉(zhuǎn)數(shù)理論，我們證明了當(dāng)阻尼項(xiàng)是線性的和強(qiáng)阻尼適當(dāng)大時(shí)，系統(tǒng)存在無(wú)界一維全局吸引子，是一條限制水平曲線． 在第四章，研究具有與時(shí)間有關(guān)的外力的非自

3、治強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的一致吸引子的漸近行為．首先，我們證明了如果與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)是平移緊的，系統(tǒng)存在一致吸引子，并且此吸引子在一定的參數(shù)域，具有一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)：它是方程的唯一的有界完全軌道的所有值的閉包，且指數(shù)吸引任意的其他解．其次，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，我們得到一致吸引子的Kolmogorovε-熵和分形維數(shù)的一個(gè)上界估計(jì)．最后，我們考慮具有迅速振蕩外力g<'ε>(x，t)=g(x，t，t/ε)，當(dāng)ε→0<'+>時(shí)，g<'ε>(x，t)具有

4、平均振蕩外力g<'0>(x，t)的強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程。我們證明了原方程的一致吸引子A<,ε>和平均方程的一致吸引子A<,0>之間的Hausdorff距離小于O(ε<'1/2>)．特別地，我們指出得到的結(jié)論可以用于研究有阻尼波動(dòng)方程。 在第五章，一方面，考慮齊次Neumann邊界條件下非自治強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的全局吸引子的存在性。利用漸近時(shí)間周期微分方程的極限集的性質(zhì)，證明了在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，齊次Neumann邊界條件下強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程存

5、在一維全局吸引子，并且是一條水平曲線．另一方面，考慮齊次Dirichlet邊界條件下非自治時(shí)間周期受迫力強(qiáng)阻尼非線性波動(dòng)方程的全局周期吸引子的存在性。通過(guò)建立與該問(wèn)題等價(jià)的一階發(fā)展方程，利用引入與通常范數(shù)等價(jià)的新范數(shù)的方法，證明了在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的狄氏問(wèn)題對(duì)于任意非自治時(shí)間周期受迫力具有唯一的指數(shù)吸引有界集的周期解，即全局周期吸引子． 在第六章證明了具有黏彈性和熱黏彈性的方程組在Dirichlet邊界條件下，對(duì)