矩陣偏序與廣義逆.pdf

1、該文研究了環(huán)上矩陣的廣義逆,范疇中態(tài)射的廣義逆,并研究矩陣的偏序.具體內(nèi)容如下:(1)討論環(huán)上矩陣的廣義Moore-Penrose逆,推廣了以往文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)論.利用矩陣的廣義奇異值分解,給出了復(fù)數(shù)域上矩陣Г-逆存在的充要條件,利用矩陣Г-逆研究了矩陣方程APx=b.給出了四元數(shù)矩陣加權(quán)廣義逆的表達(dá)式,回答了關(guān)于四元數(shù)矩陣加權(quán)(3,4)和(2,4)逆表達(dá)式的公開問題.(2)研究范疇中具有泛分解態(tài)射的Moore-Penrose逆和Draz

2、in逆,給出了MoorePenrose逆和Drazin逆存在的充要條件及其表達(dá)式.當(dāng)范疇不具有零對(duì)象時(shí),以態(tài)射偶的等化子為工具討論態(tài)射的廣義逆,并在矩陣范疇中建立了齊次線性方程組的解與等化予的關(guān)系.首次定義了態(tài)射的滿單分解序列,利用其給出了態(tài)射的Drazin逆存在的充要條件及其表達(dá)式.我們考察了預(yù)加法范疇中態(tài)射的廣義逆,利用冪等態(tài)射給出了態(tài)射廣義逆存在的充要條件及其表達(dá)式.得到了預(yù)加法范疇中態(tài)射的柱心-冪零分解存在的充要條件及具體分解方

3、法.定義了態(tài)射的加權(quán)廣義逆,證明它的唯一性,在某些情形下給出了存在的充要條件和表達(dá)式.(3)給出了矩陣的<'*>序、左<'*>序、右<'*>序和減序的更為精細(xì)的等價(jià)刻畫,從而得到了EP矩陣、指標(biāo)為1的矩陣、Hermmite矩陣和正規(guī)矩陣新的等價(jià)刻畫,由此研究一些特殊矩陣類木序、左<'*>序、右<'*>序和減序之間的一致性,同時(shí)討論了在矩陣偏序意義下矩陣的遺傳性.研究矩陣及其平方矩陣偏序之間的關(guān)系,解決了J.K.Baksalary和F.P

4、ukesheim提出的公開問題,并推廣到更一般的情形,對(duì)于一般矩陣同時(shí)得到了若干新結(jié)果,推廣了關(guān)于(半)正定矩陣的相應(yīng)結(jié)果.同時(shí),研究特殊矩陣的<'*>序與減序之間的關(guān)系,推廣了關(guān)于Hermmite矩陣的相應(yīng)結(jié)果.考察了矩陣左<'*>序、右<'*>序的性質(zhì)及其與平方矩陣之間的關(guān)系.指出了J.Grob關(guān)于廣義投影的一個(gè)刻畫有誤,給出了廣義投影的等價(jià)刻畫和進(jìn)一步的結(jié)果.利用矩陣的核心-冪零分解,給出矩陣sharp序的一個(gè)新的等價(jià)刻畫,并討論

5、sharp序的一些性質(zhì).定義矩陣D序并給出了一些刻畫和性質(zhì).指出了"關(guān)于矩陣泛正定與偏序"一文的主要結(jié)論不真,分析了原因并給出了正確的結(jié)論.(4)利用加權(quán)廣義逆定義復(fù)數(shù)域上矩陣的加權(quán)<'*>序,給出它們的若干性質(zhì)和等價(jià)刻劃,討論它們與已有的矩陣偏序之間的關(guān)系,并推廣關(guān)于矩陣<'*>序的有關(guān)結(jié)果.在兩種情形下,利用矩陣的加權(quán)Moore-Penrose逆導(dǎo)出了兩矩陣和的加權(quán)Moore-Penrose逆的公式,其推導(dǎo)證明簡潔而直接,文中還給出