兩平面凸域的對(duì)稱混合等周不等式.pdf

1、本文的主要工作是拓展包含經(jīng)典的等周不等式，Bonnesen等周不等式在內(nèi)的幾何不等式.
　　 第一部分：著名的平面等周不等式是最早用基本的幾何不變量來刻畫平面幾何圖形的幾何不等式.即平面上固定周長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉曲線中，圓所圍的面積最大.換句話來說，平面上固定面積的區(qū)域中，圓盤的周長(zhǎng)最小.用數(shù)學(xué)語言表述為(等周不等式)歐氏平面R2中域K的面積A，周長(zhǎng)P滿足不等式等號(hào)成立的充要條件是K為圓盤.
　　 加強(qiáng)的等周不等式是以下是著名的

2、Bonnesen等周不等式
　　 (Bonnesen等周不等式)歐氏平面R2中域K的面積A，周長(zhǎng)P，包含于K內(nèi)的最大內(nèi)接圓半徑為ri，包含K的最小外接圓半徑為re，則有等號(hào)成立的充要條件是K為圓盤.
　　 J.Zhou用積分幾何方法揭示了一系列的類似Bonnesen不等式并給出了統(tǒng)一的證明.
　　 設(shè)K為平面上面積為A，周長(zhǎng)為P的域，ri和re分別為K的最大內(nèi)接圓半徑和最小外接圓半徑，設(shè)ri≤r≤re，則下列不等

3、式成立等號(hào)成立的充要條件是K為圓盤.
　　 我們主要研究平面上兩個(gè)凸域的對(duì)稱混合等周不等式(the symmetric mixedisoperimetric inequality).設(shè)Kk(k=i，j)為歐氏平面R2中面積為Ak，周長(zhǎng)為Rk的域，它們的對(duì)稱混合等周虧格(the symmetric mixed isoperimetric deficit)被J.Zhou定義為
　　 根據(jù)周家足的思想方法和積分幾何包含測(cè)度理論

4、，我們利用歐氏平面上一個(gè)域包含另一個(gè)域的包含測(cè)度把平面上的Bonnesen等周不等式和Bonnesen不等式拓廣，得到Bonnesen對(duì)稱混合等周不等式及加強(qiáng)形式和Bonnesen對(duì)稱混合不等式，主要得到以下定理
　　 定理1.設(shè)Kk(k=i，j)為歐氏平面R2中面積為Ak的凸域，其邊界()Kk是簡(jiǎn)單閉曲線，周長(zhǎng)為Pk，則我們有
　　 定理2.設(shè)Kk(k=i，j)為歐氏平面R2中面積為Ak的凸域，其邊界()Kk是簡(jiǎn)單閉曲

5、線，周長(zhǎng)為Pk，則我們有當(dāng)Ki取為單位圓盤時(shí)即為
　　 這是著名的Bonnesen等周不等式(2)的加強(qiáng).
　　 第二部分：記△=P2-4πA，則△為等周虧格，它的上界是幾何中一個(gè)十分有趣的問題，歐氏平面上等周虧格的上界估計(jì)有下面的定理
　　 設(shè)K為歐氏平面上面積為A，周長(zhǎng)為P的域，ρm和pM分別為()K的最小曲率半徑和最大曲率半徑，則下列不等式成立等號(hào)成立的充要條件為ρm=ρM，即K為圓盤.
　　 以上

6、結(jié)果由Bottema于1933年得到.1955年P(guān)leijel得到Bottema不等式(8)的加強(qiáng)，即等號(hào)成立的充要條件為ρm=ρM，即K為圓盤.
　　 本文我們得到了歐氏平面上的對(duì)稱混合等周虧格的上界.
　　 定理3.設(shè)Kk(k=i，j)為歐氏平面R2中面積為Ak的凸域，其邊界()Kk是簡(jiǎn)單閉曲線，周長(zhǎng)為Pk，則我們有其中tm=max{t：g(tKi)()Kj，g∈G}，tM=min{t：g(tKi)()Kj，g∈G)