不確定性平差模型及解算方法研究.pdf

1、在測(cè)繪數(shù)據(jù)處理的過程中，經(jīng)常會(huì)遇到平差模型的系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量同時(shí)存在不確定性的問題，針對(duì)此類問題，研究更優(yōu)的減小不確定性因素影響的平差方法，已成為測(cè)繪領(lǐng)域非常關(guān)注的重要課題之一。若僅知道數(shù)據(jù)的不確定性是某個(gè)模糊的數(shù)或者在某一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間內(nèi)，釆用最小二乘（least squares，LS）或總體最小二乘（total least squares，TLS）平差方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，有時(shí)可能會(huì)降低其可靠性。將不確定度作為已知參數(shù)融入到函數(shù)模型中，建

2、立不確定性平差模型，并采用殘差的最大不確定性達(dá)到最小化的平差準(zhǔn)則（即不確定性 min-max平差準(zhǔn)則）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，是一種處理不確定性數(shù)據(jù)的有效方法。
　　本文以測(cè)繪數(shù)據(jù)處理的實(shí)際為背景，在回顧和總結(jié)國(guó)內(nèi)外研究歷史和現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用矩陣分析、不確定性及參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則等有關(guān)理論和方法，進(jìn)一步研究了基于2-范數(shù)的和基于F-范數(shù)（Frobenius范數(shù)）的（部分）不確定性平差模型、不確定性 min-max平差準(zhǔn)則及其解算方法，并將其

3、應(yīng)用于測(cè)繪數(shù)據(jù)處理。主要工作和成果如下：
　　（1）針對(duì)現(xiàn)有的基于2-范數(shù)的不確定性平差模型解算方法較復(fù)雜且效率較低的問題，研究了一種無需奇異值分解、直接進(jìn)行迭代計(jì)算的解算方法，設(shè)計(jì)了迭代計(jì)算的步驟。該算法概念簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)。通過一元線性擬合的試驗(yàn)（偶然誤差和系統(tǒng)誤差）表明：該算法是正確可行的；收斂速度更快、解算效率更高且穩(wěn)定性更好。
　?。?）基于2-范數(shù)的部分不確定行平差模型，推導(dǎo)了 QR分解-SVD-解方程算法（s

4、ingular value decomposition，SVD）余下的解算公式；研究了一種直接迭代算法，推導(dǎo)了其解算公式，給出了迭代計(jì)算的步驟。該算法既不實(shí)施QR分解，也不使用奇異值分解，解算過程簡(jiǎn)單，便于編程計(jì)算。通過二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的試驗(yàn)（偶然誤差和系統(tǒng)誤差）和基坑沉降監(jiān)測(cè)的實(shí)例驗(yàn)證了算法的正確性；并具備收斂速度快、解算效率高和穩(wěn)定性好的優(yōu)勢(shì)。
　?。?）基于 F-范數(shù)的不確定性平差模型，當(dāng)?shù)?jì)算不收斂時(shí)，研究了 SVD-解方程

5、算法，推導(dǎo)了其解算公式；當(dāng)?shù)?jì)算收斂時(shí)，研究了更為簡(jiǎn)單的直接迭代算法，推導(dǎo)了其解算公式，設(shè)計(jì)了迭代計(jì)算的步驟。通過二元線性擬合的試驗(yàn)（偶然誤差、系統(tǒng)誤差和粗差）表明了：這兩種算法的正確性及等價(jià)性；SVD-解方程算法的解算效率較低，而直接迭代算法的收斂速度較快，解算效率較高。并且，將該平差模型應(yīng)用到了地表沉降預(yù)測(cè)中，結(jié)果有效。
　?。?）顧及系數(shù)矩陣部分列是常數(shù)元素，給出了基于F-范數(shù)的部分不確定性平差模型、基于 F-范數(shù)的部分不

6、確定性 min-max平差準(zhǔn)則及其三種解算方法：QR分解-SVD-解方程算法、SVD-迭代算法和直接迭代算法，推導(dǎo)了它們的解算公式，給出了計(jì)算步驟。通過二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的算例（偶然誤差），驗(yàn)證了三種算法的等價(jià)性和有效性；比較了三種算法的適宜性和解算效率：QR分解-SVD-解方程算法可用于迭代不收斂的情形，但解算效率最低；SVD-迭代算法適用于系數(shù)矩陣可奇異值分解且迭代收斂的情形，解算效率次之；直接迭代算法適用于迭代收斂的情形，解算效率最高。

7、并且，將該平差模型應(yīng)用到了三維激光掃描點(diǎn)云平面擬合中，結(jié)果有效。
　　（5）當(dāng)系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量相互獨(dú)立且不等權(quán)時(shí)，運(yùn)用矩陣乘積向量化與Kronecker積的關(guān)系、協(xié)因數(shù)傳播律及Cholesky分解等理論，設(shè)計(jì)了一種加權(quán)方法，分別給出了基于2-范數(shù)的和基于F-范數(shù)的加權(quán)不確定性平差模型，以及基于2-范數(shù)的和基于F-范數(shù)的加權(quán)不確定性 min-max平差準(zhǔn)則；并為這兩種加權(quán)模型分別設(shè)計(jì)了對(duì)應(yīng)的加權(quán)的直接迭代算法，推導(dǎo)了它們的解算公式