圖像的稀疏字典及其應(yīng)用.pdf

1、傳統(tǒng)上，一個信號常?？梢杂靡唤M正交的基本信號的線性組合表示或者逼近。雖然這種表示在數(shù)學(xué)上較為優(yōu)雅，但是在信號處理的實際應(yīng)用中并不那么有效和高效。信號處理中，信號的緊縮表示常常是想要實現(xiàn)的目標。信號表示的這種稀疏性是通過增加基向量的數(shù)目將完備基變成過完備基才能取得。這種過完備的、冗余的基就是所謂“稀疏字典”。稀疏性最直觀的度量是 范數(shù)?；谙∈枳值洌梢允褂闷湓拥木€性組合估計信號，稀疏表示問題實質(zhì)上是稀疏約束下所測得的信號與估計信號之間

2、的擬合問題。因此，研究信號和圖像的稀疏表示從某種程度上就是要研究稀疏字典；稀疏求解也涉及到稀疏字典；稀疏字典的設(shè)計和構(gòu)造理論也不是很完善；基于圖像等高維數(shù)據(jù)的字典本身具有一定的特殊性，這些都是本文研究的原因和動機。
　　 本文主要研究稀疏冗余字典的設(shè)計原理和構(gòu)造方法以及稀疏字典在稀疏求解中的應(yīng)用。主要研究工作包括：
　　 （1）分析研究了當今圖像的稀疏字典的設(shè)計原理，歸納出三類稀疏字典及其構(gòu)造方法并預(yù)測了圖像稀疏字典的發(fā)

3、展趨勢。通過分析稀疏字典的發(fā)展過程，從中找出當前圖像的稀疏字典設(shè)計思想及其字典設(shè)計中所應(yīng)該考慮的一些因素：局部性、多分辨率、自適應(yīng)性、幾何不變性及過完備性；同時根據(jù)當前字典的發(fā)展情況，將稀疏字典歸納成結(jié)構(gòu)字典、聯(lián)合基和學(xué)習(xí)字典，并且給出各類字典的基本構(gòu)造方法。在此基礎(chǔ)上，本文還分析當今稀疏字典設(shè)計和構(gòu)造中的不足，并指出圖像稀疏字典設(shè)計和構(gòu)造需要努力的方向：所設(shè)計的稀疏字典應(yīng)該使得圖像的稀疏求解更為高效；所提出的字典應(yīng)該具有不相干性等。<

4、br>　　 （2）提出了稀疏貪婪索引字典并且設(shè)計了基于圖像的稀疏貪婪索引字典的正交匹配追蹤算法?？紤]到原始的貪婪類算法采用完全搜索方案，涉及到大量向量與矩陣的乘法，計算代價過大。為了減少這種計算代價，許多改進的方案被提出來，也取得較好的效果。但是這些已有的改進方案主要是針對結(jié)構(gòu)字典提出的，或者利用小波分解的層次結(jié)構(gòu)，或者將字典原子的參數(shù)索引組織成基于樹結(jié)構(gòu)的參數(shù)字典，這些改進的方案對于非結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)字典是行不通的。針對這種情況，本文提出

5、了稀疏貪婪索引字典：結(jié)合匹配追蹤中貪婪匹配的特點，通過再學(xué)習(xí)找出學(xué)習(xí)字典的索引結(jié)構(gòu)，同時給出學(xué)習(xí)字典的索引化算法以及基于所構(gòu)造的索引字典的正交匹配追蹤算法。本文還對算法中進行理論分析，相關(guān)的實驗證明所提出的算法能夠成倍提高了算法的時間性能。
　　 （3）提出了基于交替投影法構(gòu)造圖像的聯(lián)合基的近似等角緊框架。緊框架是學(xué)術(shù)界比較看好的一類特殊框架，具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)。如果把冗余字典看作由一組列向量排列而成的矩陣時，其實質(zhì)上就是框架。

6、為了滿足稀疏理論中唯一性和等價性的要求，需要對字典的列向量施以某種相干性的約束以構(gòu)成所謂“不相干字典”。具有等角緊框架性質(zhì)的字典是天然的不相干字典。等角緊框架的構(gòu)造方法有代數(shù)法、遺傳算法。基于會議矩陣或者Gram矩陣的構(gòu)造方法可以構(gòu)造出嚴格的等角緊框架。代數(shù)上已經(jīng)證明，并不是在任何情況下都存在等角緊框架。采用這種方法構(gòu)造的等角緊框架并不是都能成功；而采用遺傳算法構(gòu)造等角緊框架則利用了計算機的計算能力能夠有效地找出等角緊框架，當然這種方法

7、局限于機器的性能。本文基于矩陣近似的思想，采用交替投影法構(gòu)造聯(lián)合基的等角緊框架，并給出構(gòu)造實例。相關(guān)的實驗結(jié)果表明：這種構(gòu)造方法對于構(gòu)造聯(lián)合基的近似等角緊框架非常有效，所構(gòu)造的近似等角框架能夠高效地用于稀疏求解。
　　 （4）研究了圖像的稀疏字典在圖像的稀疏表示中的應(yīng)用，分析和歸納了在稀疏表示中選擇合適的稀疏字典所應(yīng)注意方面。基于前面的有關(guān)稀疏字典設(shè)計和構(gòu)造理論，本文闡述了圖像的稀疏字典應(yīng)用所應(yīng)該注意的問題，特別是稀疏字典的選取