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文檔簡介
1、譜圖理論是圖論的一個非?;钴S而又重要的分支,它在計算機科學(xué)、通信網(wǎng)絡(luò)、信息科學(xué)和量子化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。譜圖理論研究的主要對象包括圖的鄰接譜,Laplacian譜以及圖的signless Laplacian譜,并且圖的各種譜之間相互聯(lián)系。譜圖理論研究的一個主要問題就是由矩陣的代數(shù)性質(zhì)反映圖的性質(zhì),而矩陣的代數(shù)性質(zhì)主要為矩陣的特征根性質(zhì)。圖的鄰接矩陣表示圖中各頂點之間的連接關(guān)系,記為A(G);圖的Laplacian矩陣記為L(G)
2、?D(G)?A(G),其中D(G)表示圖G的度對角矩陣;圖的signless Laplacian矩陣記為Q(G)?D(G)?A(G)。圖G的矩陣的特征根及其對應(yīng)的重數(shù)構(gòu)成圖的譜。圖的鄰接矩陣的特征根及其對應(yīng)的重數(shù)構(gòu)成圖的鄰接譜,記為A-譜;圖的 Laplacian矩陣的特征根及其對應(yīng)的重數(shù)構(gòu)成圖的 Laplacian譜,記為L-譜;圖的 signless Laplacian矩陣的特征根及其對應(yīng)的重數(shù)構(gòu)成圖的signless Laplac
3、ian譜,記為Q-譜。
圖的矩陣與圖的結(jié)構(gòu)有著緊密的聯(lián)系。由矩陣的定義可知,圖的 Laplacian矩陣和signless Laplacian矩陣都表示為鄰接矩陣與度矩陣的關(guān)系。由此可以通過一個參數(shù)t將三個矩陣聯(lián)系在一起,表示成廣義矩陣A(G)-tD(G)。當(dāng)t=0時,得到的是圖G鄰接矩陣A(G);當(dāng)t=1時,得到的是-L(G);當(dāng)t=-1時,得到的是圖G的 signless Laplacian矩陣 Q(G)。圖 G的廣義特征
4、多項式記為此處為公式,其中I是與鄰接矩陣 A(G)同維數(shù)的單位矩陣。根據(jù)參數(shù)t的不同取值,圖G的鄰接特征多項式、Laplacian特征多項式及signless Laplacian特征多項式分別可以表示為此處為公式。廣義特征多項式將鄰接特征多項式、Laplacian特征多項式和signless Laplacian特征多項式合成在一起,大大減少了圖譜計算的工作量。
圖的譜蘊含著圖的許多信息。冠圖是一種由圖操作得到的復(fù)雜圖,冠圖的譜
5、更加難以計算。文中定義了四類冠圖分別是:剖分圖的冠點圖 G1◇G2、剖分圖的冠邊圖 G1☆G2、點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G。應(yīng)用分塊矩陣、矩陣的coronal、克羅內(nèi)克積等計算并證明了這幾類冠圖的譜可以表示為原圖G1和G2的譜;得到了許多A-同譜圖,L-同譜圖及Q-同譜圖;作為應(yīng)用,由冠圖的Laplacian譜得到了生成樹數(shù)目以及Kirchhoff指數(shù);并構(gòu)造出了新冠圖的一些A-整譜圖。
本文的主要成果有:
6、
?。?)計算并證明了剖分圖的冠點圖G1◇G2、剖分圖的冠邊圖G1☆G2的鄰接譜,Laplacian譜以及signless Laplacian譜;
(2)得到剖分圖的冠點圖G1◇G2、剖分圖的冠邊圖G1☆G2的生成樹數(shù)目及Kirchhoff指數(shù);
?。?)計算并證明了剖分圖的冠點圖G1◇G2、剖分圖的冠邊圖G1☆G2的A-整譜圖。
?。?)計算并證明了點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的廣義
7、特征多項式;
(5)得到點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的廣義同譜圖;
(6)計算并證明了點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的鄰接特征多項式、Laplacian特征多項式及signless特征多項式;
(7)計算并證明了點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的A-整譜圖;
?。?)得到點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的生成樹數(shù)目及Kirchhoff指數(shù)
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