冠圖的譜及其應用研究.pdf

1、譜圖理論是圖論的一個非?；钴S而又重要的分支，它在計算機科學、通信網(wǎng)絡、信息科學和量子化學等領域都有著廣泛的應用。譜圖理論研究的主要對象包括圖的鄰接譜，Laplacian譜以及圖的signless Laplacian譜，并且圖的各種譜之間相互聯(lián)系。譜圖理論研究的一個主要問題就是由矩陣的代數(shù)性質(zhì)反映圖的性質(zhì)，而矩陣的代數(shù)性質(zhì)主要為矩陣的特征根性質(zhì)。圖的鄰接矩陣表示圖中各頂點之間的連接關(guān)系，記為A(G)；圖的Laplacian矩陣記為L(G)

2、?D(G)?A(G)，其中D(G)表示圖G的度對角矩陣；圖的signless Laplacian矩陣記為Q(G)?D(G)?A(G)。圖G的矩陣的特征根及其對應的重數(shù)構(gòu)成圖的譜。圖的鄰接矩陣的特征根及其對應的重數(shù)構(gòu)成圖的鄰接譜，記為A-譜；圖的 Laplacian矩陣的特征根及其對應的重數(shù)構(gòu)成圖的 Laplacian譜，記為L-譜；圖的 signless Laplacian矩陣的特征根及其對應的重數(shù)構(gòu)成圖的signless Laplac

3、ian譜，記為Q-譜。
　　圖的矩陣與圖的結(jié)構(gòu)有著緊密的聯(lián)系。由矩陣的定義可知，圖的 Laplacian矩陣和signless Laplacian矩陣都表示為鄰接矩陣與度矩陣的關(guān)系。由此可以通過一個參數(shù)t將三個矩陣聯(lián)系在一起，表示成廣義矩陣A(G)-tD(G)。當t=0時，得到的是圖G鄰接矩陣A(G)；當t=1時，得到的是-L(G)；當t=-1時，得到的是圖G的 signless Laplacian矩陣 Q(G)。圖 G的廣義特征

4、多項式記為此處為公式，其中I是與鄰接矩陣 A(G)同維數(shù)的單位矩陣。根據(jù)參數(shù)t的不同取值，圖G的鄰接特征多項式、Laplacian特征多項式及signless Laplacian特征多項式分別可以表示為此處為公式。廣義特征多項式將鄰接特征多項式、Laplacian特征多項式和signless Laplacian特征多項式合成在一起，大大減少了圖譜計算的工作量。
　　圖的譜蘊含著圖的許多信息。冠圖是一種由圖操作得到的復雜圖，冠圖的譜

5、更加難以計算。文中定義了四類冠圖分別是：剖分圖的冠點圖 G1◇G2、剖分圖的冠邊圖 G1☆G2、點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G。應用分塊矩陣、矩陣的coronal、克羅內(nèi)克積等計算并證明了這幾類冠圖的譜可以表示為原圖G1和G2的譜；得到了許多A-同譜圖，L-同譜圖及Q-同譜圖；作為應用，由冠圖的Laplacian譜得到了生成樹數(shù)目以及Kirchhoff指數(shù)；并構(gòu)造出了新冠圖的一些A-整譜圖。
　　本文的主要成果有：

6、
　　（1）計算并證明了剖分圖的冠點圖G1◇G2、剖分圖的冠邊圖G1☆G2的鄰接譜，Laplacian譜以及signless Laplacian譜；
　?。?）得到剖分圖的冠點圖G1◇G2、剖分圖的冠邊圖G1☆G2的生成樹數(shù)目及Kirchhoff指數(shù)；
　　（3）計算并證明了剖分圖的冠點圖G1◇G2、剖分圖的冠邊圖G1☆G2的A-整譜圖。
　?。?）計算并證明了點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的廣義

7、特征多項式；
　?。?）得到點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的廣義同譜圖；
　　（6）計算并證明了點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的鄰接特征多項式、Laplacian特征多項式及signless特征多項式；
　?。?）計算并證明了點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的A-整譜圖；
　　（8）得到點剖分冠圖G1⊙G2、邊剖分冠圖G1(-)2G的生成樹數(shù)目及Kirchhoff指數(shù)