高觀點(diǎn)下——幾何學(xué) 復(fù)習(xí)題

1、《高觀點(diǎn)下的幾何學(xué)》練習(xí)題一一、填空題一、填空題1設(shè)共線三點(diǎn)，則??02(20)(11)ABC()ACB?2如果兩個(gè)向量線性相關(guān)，則它們的位置關(guān)系是（），夾角為（）。3空間中三個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們（），空間中的四個(gè)向量一定（）4設(shè)與是兩個(gè)非零向量，若與線性相關(guān)，則。a?b?a?b???ab????5已知向量，則與之間的內(nèi)積。????123123axxxbyyy????a?b???ab????二、選擇題二、選擇題1下列性質(zhì)或量中哪些

2、是仿射的()（1）線段的中點(diǎn)；（2）角的平分線；（3）交比；（4）點(diǎn)偶的調(diào)和共軛性（5）角度（6）三角形的面積（7）兩相交線段的比（8）兩平行線段的比（9）對(duì)稱(chēng)軸（10）對(duì)稱(chēng)中心2設(shè)與是兩個(gè)非零向量，若，則（）。a?b?0ab????與平行與垂直與線性相關(guān)與的夾角為??Aa?b???Ba?b???Ca?b???Da?b??3設(shè)與是兩個(gè)非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）。a?b???Aabab????????Babab????????Cab

3、ab????????Dabab??????4下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A平面上兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們不共線；B平面上兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們垂直C平面上兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們平行D平面上的三個(gè)向量一定線性相關(guān)5設(shè)與是兩個(gè)非零向量，若，則（）a?b?0ab?????與平行與交角為銳角與線性相關(guān)與的夾角為??Aa?b???Ba?b???Ca?b???Da?b?2?三、計(jì)算與證明題三、計(jì)算與證明題1設(shè)平面上的點(diǎn)變換和分別由和表示，1

4、?2????????????15232:1yxyyxx??????????2:2xyyxx?求；；；。12(1)??11(2)??21(3)??12(4)??2求線坐標(biāo)所表示的直線方程。??1013求線坐標(biāo)所表示的直線方程。??111?4求線坐標(biāo)所表示的直線方程。??222?5求線坐標(biāo)所表示的直線方程。??0116試用向量法證明：等腰三角形的中線垂直于底邊。7證明：使向量?jī)?nèi)積不變的仿射變換是正交變換。8試用向量法證明：半圓的圓周角是直角

5、。9若存在，求下列各點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)。(1)(353)??(2).(010)10若存在，求下列各點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)，。(1)(056)?(2)(180)11若存在，求下列各點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)，。(1)(010)(2)(086)?12將二次曲線化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型。22220xxyyxy?????6求證：相交于影消線的二直線必射影成兩平行線?！陡哂^點(diǎn)下的幾何學(xué)》練習(xí)題（一）參考答案一、填空題。1公理法的三個(gè)基本問(wèn)題是（相容性相容性問(wèn)題問(wèn)題）、）、（獨(dú)立性獨(dú)

6、立性問(wèn)題問(wèn)題）和（）和（完備性問(wèn)題問(wèn)題）。2公理法的結(jié)構(gòu)是（原始概念的列（原始概念的列舉）、）、（定（定義的敘述的敘述）、）、（公理的敘述）和（定理的敘述和（公理的敘述）和（定理的敘述和證明）明）。3仿射變換把矩形變成平行四平行四邊形4仿射變換把平行線變成平行平行線5仿射變換把正三角形變成三角形三角形二、簡(jiǎn)答題。1試給一個(gè)羅氏幾何的數(shù)學(xué)模型。答：答：羅氏幾何的（氏幾何的（CayleyF.kLein）模型）模型在歐氏平面上任取一個(gè)在歐氏平

7、面上任取一個(gè)圓，把，把圓內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合看成是內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合看成是羅氏“平面平面”。羅氏平面幾何的原始概念解氏平面幾何的原始概念解釋成：成：羅氏點(diǎn)：氏點(diǎn)：圓內(nèi)的點(diǎn)；內(nèi)的點(diǎn)；羅氏直氏直線：圓內(nèi)的開(kāi)弦（兩個(gè)端點(diǎn)除外，它內(nèi)的開(kāi)弦（兩個(gè)端點(diǎn)除外，它們可稱(chēng)可稱(chēng)為無(wú)窮遠(yuǎn)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）。點(diǎn)）。結(jié)合關(guān)系：合關(guān)系：圓內(nèi)原來(lái)的點(diǎn)和內(nèi)原來(lái)的點(diǎn)和線的結(jié)合關(guān)系；合關(guān)系；介于關(guān)系：介于關(guān)系：圓內(nèi)弦上三點(diǎn)的介于關(guān)系；內(nèi)弦上三點(diǎn)的介于關(guān)系；運(yùn)動(dòng)關(guān)系：歐氏平面上，將

8、關(guān)系：歐氏平面上，將圓K變成自身的射影成自身的射影變換變換。羅氏平行公理（在氏平行公理（在羅氏平面上）氏平面上）通過(guò)直線外一點(diǎn)至少存在兩直外一點(diǎn)至少存在兩直線與已知直與已知直線不相交。不相交。2試給一個(gè)黎曼幾何的數(shù)學(xué)模型答：黎曼幾何的（答：黎曼幾何的（F.KLein）模型）模型黎曼幾何的原始概念解黎曼幾何的原始概念解釋成：成：黎氏點(diǎn)：歐氏球面上的點(diǎn)，但把每黎氏點(diǎn)：歐氏球面上的點(diǎn)，但把每對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)徑點(diǎn)看成一點(diǎn)；徑點(diǎn)看成一點(diǎn)；黎氏直黎氏直線：

9、球面上的大：球面上的大圓；黎氏平面：改造后的球面。黎氏平面：改造后的球面。黎氏點(diǎn)與黎氏直黎氏點(diǎn)與黎氏直線的基本關(guān)系：的基本關(guān)系：(1)通過(guò)任意兩個(gè)黎氏點(diǎn)存在一條黎氏直任意兩個(gè)黎氏點(diǎn)存在一條黎氏直線；(2)通過(guò)任意兩個(gè)黎氏點(diǎn)至多存在一條黎氏直任意兩個(gè)黎氏點(diǎn)至多存在一條黎氏直線；(3)每條黎氏直每條黎氏直線上至少有兩個(gè)黎氏點(diǎn)；至少存在三個(gè)黎氏點(diǎn)不在同一條黎氏直上至少有兩個(gè)黎氏點(diǎn)；至少存在三個(gè)黎氏點(diǎn)不在同一條黎氏直線上。上。黎曼幾何平行公理：

10、黎氏平面上任意兩條直黎曼幾何平行公理：黎氏平面上任意兩條直線相交。相交。3簡(jiǎn)述公理法的基本思想。答：若干個(gè)原始概念（包括元素和關(guān)系）、定答：若干個(gè)原始概念（包括元素和關(guān)系）、定義和公理一起叫做一個(gè)公理體系，構(gòu)成了一種幾何的基和公理一起叫做一個(gè)公理體系，構(gòu)成了一種幾何的基礎(chǔ)。全部。全部元素的集合構(gòu)成了元素的集合構(gòu)成了這種幾何的空種幾何的空間。在。在這個(gè)公理體系的基個(gè)公理體系的基礎(chǔ)上，每個(gè)概念都必上，每個(gè)概念都必須給須給出定出定義，每個(gè)命，