四階完全非線性Boussinesq水波方程及其簡(jiǎn)化模型.pdf

1、波浪是海洋及近岸區(qū)域最為活躍、最為重要的環(huán)境動(dòng)力因素之一，因此，對(duì)波浪從外海向近岸傳播變形的研究是水動(dòng)力學(xué)研究的前沿課題之一。近年來，隨著Boussinesq方程研究的進(jìn)展，Boussinesq類波浪模型在海岸工程中得到廣泛的應(yīng)用。本文對(duì)高階Boussinesq非線性波浪模型進(jìn)行了研究，內(nèi)容包括： (1)基于歐拉方程，推導(dǎo)了一組精確到O(μ4,ε5,μ4)的高階Boussinesq方程-BouN4D4(μ=k0h0，ε=A0/h

2、0分別為表征方程色散性和非線性的參數(shù)，k0,h0和A0分別為特征波數(shù)，特征水深和特征波幅)。該方程具有以下特征：色散性精確到Pade[4，4]，適用于深水波浪傳播問題；保留了所有O(μ4)階非線性使方程具有良好的非線性性能，更加適合描述波浪非線性運(yùn)動(dòng)；推導(dǎo)過程中采用σ變換處理自由表面以及水底變化使方程適用于復(fù)雜地形上波浪傳播問題。給出了BouN4D4的兩組簡(jiǎn)化方程BouN2D4和BouN2D2，這兩組方程精確到O(μ2)完全非線性，但色

3、散性精度不同，前者為Pade[4，4]，后者為Pade[2，2]。對(duì)上述三組方程進(jìn)行了理論分析和對(duì)比。建立了基于上述三組方程的高精度數(shù)值模型，對(duì)規(guī)則波跨越潛堤傳播和深水波群非線性演化過程進(jìn)行了數(shù)值模擬，通過相互對(duì)比三個(gè)模型的數(shù)值結(jié)果，著重考察了方程色散性、非線性在波浪傳播過程中的作用，結(jié)果表明BouN4D4性能最佳。對(duì)方程進(jìn)行了擴(kuò)展使其能夠考慮波浪破碎和海岸處波浪爬坡問題。將BouN4D4一維模型以及BouN4D4和BouN2D4二維模

4、型用于模擬近岸波浪傳播以及波浪破碎問題，計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)吻合良好，驗(yàn)證了模型的適用性。此外，為提高方程用于Bragg反射問題時(shí)的能力，對(duì)模型BouN2D4進(jìn)行了改進(jìn)并將其用于模擬沙壩地形上波浪的Bragg反射現(xiàn)象，結(jié)果表明改進(jìn)是有效的； (2)上述模型BouN4D4雖然具有較好的非線性性能，但其表達(dá)形式較為繁瑣，不利于數(shù)值實(shí)現(xiàn)和實(shí)際應(yīng)用。同時(shí)，雖然BouN2D4和BouN2D2較BouN4D4而言表達(dá)形式簡(jiǎn)單，但其控制方程中仍然含

5、有高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(空間四次、時(shí)間一次導(dǎo)數(shù))，給數(shù)值實(shí)現(xiàn)帶來一定困難。為克服上述困難，通過引入緩坡假定推導(dǎo)了三組Boussinesq方程一BouN4P6-1，BouN2P6-1和BouN2P2，它們的色散性和非線性精度分別同BouN4D4，BouN2D4和BouN2D2一致，但由于緩坡假定的引入簡(jiǎn)化了方程表達(dá)形式。其中，BouN4P6通過在六參數(shù)Boussinesq方程中引入O(μ4)階非線性項(xiàng)得到，BouN2P6-1和BouN2P2分別通過

6、將六參數(shù)Boussinesq方程[1]和二參數(shù)Boussinesq方程[2]提高到二階完全非線性得到。對(duì)上述方程進(jìn)行了理論分析并建立了一維數(shù)值模型，通過對(duì)比數(shù)值結(jié)果著重考察了緩坡假定對(duì)數(shù)值結(jié)果的影響； (3)為討論方程中參數(shù)對(duì)方程性能的影響，推導(dǎo)了兩組Boussinesq方程-BouN2P4和BouN4P4。這兩組方程的色散性和非線性量階分別同模型BouN2P6-1和BouN4P6-1一致，但方程中僅含有四個(gè)自由參數(shù)，通過理論分

7、析討論了參數(shù)對(duì)方程性能的影響； (4)上述模型的非線性性能各不相同，但它們的波幅離散性能都比較低。為解決這一問題，通過在計(jì)算速度表達(dá)式中引入含待定參數(shù)的高階非線性項(xiàng)，對(duì)六參數(shù)Boussinesq模型[1]進(jìn)行了改進(jìn)，使其非線性性能(尤其是三階非線性性能)進(jìn)一步提高；同時(shí)，將該方法應(yīng)用于模型BouN2P4和BouN4P4以提高其非線性性能。理論分析和數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明這一改進(jìn)方法是有效的； (5)上述Boussinesq類方

8、程的色散性精度最高可達(dá)精確色散關(guān)系的Pad6[4，4]階展開，這限制了模型在更深水域的應(yīng)用。因此，推導(dǎo)了兩組具有更高階色散性同時(shí)表達(dá)形式較簡(jiǎn)單的方程。它們通過首先取水底速度為控制變量和采用緩坡假定，然后引入計(jì)算速度推導(dǎo)得到，其色散性可分別精確到Pad6[6，6]和Pad6[8，8]，對(duì)這兩個(gè)方程進(jìn)行了理論分析； (6)將模型簡(jiǎn)化至完全非線性淺水方程，建立了基于有限體積法(Finite VolumeMethod，F(xiàn)VM)的高精度數(shù)