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文檔簡(jiǎn)介
1、糾錯(cuò)碼理論不僅是信息安全的理論基礎(chǔ),而且是量子信息的理論基礎(chǔ)。自從1994年Hammons、Calderbank、Sloane等人在IEEE Trans.Inform.Theory上發(fā)表了著名的獲獎(jiǎng)?wù)撐摹癟he Z4-linearity of Kerdock,Preparata,Goethals,and relatedcodes”以來,糾錯(cuò)碼在有限環(huán)上的理論研究成為近年來編碼理論研究的熱點(diǎn)。1998年,Calderbank、Rains、
2、Shor等人建立了量子糾錯(cuò)碼理論的數(shù)學(xué)形式,并且給出了利用糾錯(cuò)碼構(gòu)造量子糾錯(cuò)碼的系統(tǒng)而有效的方法,他們的研究成果極大地推動(dòng)了糾錯(cuò)碼理論在量子信息中的應(yīng)用。
本文以糾錯(cuò)碼在有限環(huán)上的理論研究為基礎(chǔ),以量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造為主要應(yīng)用。具體研究內(nèi)容如下:
1.糾錯(cuò)碼在有限環(huán)上的理論研究
(1)研究了多項(xiàng)式剩余類環(huán)上的常循環(huán)碼,在多項(xiàng)式剩余類環(huán)上定義了新的Gray映射,得到了多項(xiàng)式剩余類環(huán)上的常循環(huán)碼在新定
3、義的Gray映射下的一些好的性質(zhì)。
(2)研究了多項(xiàng)式剩余類環(huán)上的重根循環(huán)碼,通過離散傅立葉變換,建立了多項(xiàng)式剩余類環(huán)上的重根循環(huán)碼同理想的直接和之間的關(guān)系。
(3)給出了有限環(huán)Fq+uFq上構(gòu)造MacDonald碼的方法,并且通過構(gòu)造的MacDonald碼,得到了一類秘密共享方案的訪問結(jié)構(gòu)。
(4)研究了冪零指數(shù)e=2,剩余類域?yàn)镕pk的有限鏈環(huán)R上常循環(huán)碼的Gray像問題,通過定義新的Gra
4、y映射,證明了有限鏈環(huán)上線性常循環(huán)碼在新定義的Gray映射下的像是Fpk上的準(zhǔn)循環(huán)碼,并且證明了Fpk上循環(huán)碼在有限鏈環(huán)上的Gray像等價(jià)于準(zhǔn)循環(huán)碼。
(5)研究了冪零指數(shù)為任意正整數(shù),剩余類域?yàn)镕p的有限鏈環(huán)R上的常循環(huán)碼,在有限鏈環(huán)R上定義了新的Gray映射,得到了有限鏈環(huán)R上的常循環(huán)碼在新定義的Gray映射下的一些好的結(jié)果。
2.糾錯(cuò)碼在量子信息中的應(yīng)用研究
(1)首次通過有限環(huán)F2+uF
5、2,上的循環(huán)碼來構(gòu)造量子糾錯(cuò)碼,之前所有的量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造都是在有限域上通過自正交的經(jīng)典線性碼來構(gòu)造得到的。我們通過對(duì)有限環(huán)F2+uF2上循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)研究,構(gòu)造得到了好的量子糾錯(cuò)碼,并且構(gòu)造了一類無限個(gè)量子糾錯(cuò)碼。
(2)通過對(duì)有限環(huán)Z2(模p2剩余類環(huán),其中p為素?cái)?shù))上線性碼的研究,得到了一種構(gòu)造非二元的非加性量子糾錯(cuò)碼的方法,并且得到一類無限個(gè)非二元的非加性量子糾錯(cuò)碼((pm+1,p2pm-4m-4,3(p-1)))。
6、
(3)在非對(duì)稱的量子信道上,利用經(jīng)典的平方剩余碼和Reed-Muller碼構(gòu)造了一批非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,并且利用廣義Reed-Solomon碼構(gòu)造了一批達(dá)到Singleton界的最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼。
(4)利用準(zhǔn)循環(huán)碼來構(gòu)造量子糾錯(cuò)碼,給出了準(zhǔn)循環(huán)碼包含其對(duì)偶碼的條件,得到了新的量子準(zhǔn)循環(huán)碼。
(5)利用準(zhǔn)纏繞碼來構(gòu)造量子糾錯(cuò)碼,通過對(duì)準(zhǔn)纏繞碼的結(jié)構(gòu)分析,將量子循環(huán)碼、量子常循環(huán)碼、量子準(zhǔn)循環(huán)
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