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1、<p><b> 中文1400字</b></p><p> 冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)及其應(yīng)用</p><p><b> 梁慧</b></p><p> (杭州師范大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)053,浙江杭州310000)</p><p> 【摘要】通過(guò)學(xué)習(xí)冪級(jí)數(shù)的一些基本知識(shí),得出常用初等函
2、數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式.并且探討函數(shù)冪級(jí)數(shù)在初等函數(shù)的應(yīng)用。</p><p> 【關(guān)鍵詞】?jī)缂?jí)數(shù);馬克勞林公式;泰勒公式;初等函數(shù)</p><p> 冪級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的—個(gè)非常重要的內(nèi)容,而且冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用也非常廣泛,可以借助冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)形式,很容易的解決一些較為復(fù)雜的問(wèn)題,本文旨在研究?jī)缂?jí)數(shù)的展開(kāi)形式及其在初等函數(shù)的應(yīng)用。</p><p> 一、 馬克勞林(Mac
3、laurin)公式</p><p> 冪級(jí)數(shù)實(shí)際上可以視為多項(xiàng)式的延伸,因此在考慮函數(shù)能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí),可以從函數(shù)與多項(xiàng)式的關(guān)系入手來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.為此,這里不加證明地給出如下的公式.</p><p> 泰勒(Taylor)公式 如果函數(shù)在的某一鄰域內(nèi),有直到階的導(dǎo)數(shù),則在這個(gè)鄰域內(nèi)有如下公式:</p><p><b> ,(9?5?1)<
4、/b></p><p><b> 其中</b></p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng).稱(chēng)(9?5?1)式為泰勒公式.</p><p><b> 如果令,就得到</b></p><p> ,
5、 (9?5?2)</p><p><b> 此時(shí),</b></p><p><b> , ().</b></p><p> 稱(chēng)(9?5?2)式為馬克勞林公式.</p><p> 公式說(shuō)明,任一函數(shù)只要有直到階導(dǎo)數(shù),就可等于某個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)的和.</p><p
6、><b> 我們稱(chēng)下列冪級(jí)數(shù)</b></p><p><b> (9?5?3)</b></p><p> 為馬克勞林級(jí)數(shù).那么,它是否以為和函數(shù)呢?若令馬克勞林級(jí)數(shù)(9?5?3)的前項(xiàng)和為,即</p><p><b> ,</b></p><p> 那么,級(jí)數(shù)(
7、9?5?3)收斂于函數(shù)的條件為</p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 注意到馬克勞林公式(9?5?2)與馬克勞林級(jí)數(shù)(9?5?3)的關(guān)系,可知</p><p><b> .</b></p><p><b> 于是,當(dāng)</b></p>&l
8、t;p><b> 時(shí),有</b></p><p><b> ?。?lt;/b></p><p><b> 反之亦然.即若</b></p><p><b> 則必有</b></p><p><b> ?。?lt;/b></p>
9、;<p> 這表明,馬克勞林級(jí)數(shù)(9?5?3)以為和函數(shù)馬克勞林公式(9?5?2)中的余項(xiàng) (當(dāng)時(shí)).</p><p> 這樣,我們就得到了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式:</p><p><b> (9?5?4)</b></p><p> 它就是函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式,也就是說(shuō),函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的.事實(shí)上,假設(shè)函數(shù)可以表示為冪級(jí)
10、數(shù)</p><p> , (9?5?5)</p><p> 那么,根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì),再令(冪級(jí)數(shù)顯然在點(diǎn)收斂),就容易得到</p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 將它們代入(9?5?5)式,所得與的馬克勞林展開(kāi)式(9?5?4)完全相同.<
11、/p><p> 綜上所述,如果函數(shù)在包含零的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),且在此區(qū)間內(nèi)的馬克勞林公式中的余項(xiàng)以零為極限(當(dāng)時(shí)),那么,函數(shù)就可展開(kāi)成形如(9?5?4)式的冪級(jí)數(shù).</p><p><b> 冪級(jí)數(shù)</b></p><p><b> ,</b></p><p><b> 稱(chēng)為泰勒
12、級(jí)數(shù).</b></p><p> 二、 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式</p><p> 利用馬克勞林公式將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法,稱(chēng)為直接展開(kāi)法.</p><p> 例1 試將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).</p><p><b> 解 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>
13、, </b></p><p><b> 所以</b></p><p><b> ,</b></p><p><b> 于是我們得到冪級(jí)數(shù)</b></p><p> , (9?5?6)</p><p
14、> 顯然,(9?5?6)式的收斂區(qū)間為,至于(9?5?6)式是否以為和函數(shù),即它是否收斂于,還要考察余項(xiàng).</p><p><b> 因?yàn)?lt;/b></p><p><b> (), 且,</b></p><p><b> 所以</b></p><p><b&
15、gt; ?。?lt;/b></p><p> 注意到對(duì)任一確定的值,是一個(gè)確定的常數(shù),而級(jí)數(shù)(9?5?6)是絕對(duì)收斂的,因此其一般項(xiàng)當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),有</p><p><b> ,</b></p><p><b> 由此可知</b></p><p><b> ?。?lt;/b
16、></p><p> 這表明級(jí)數(shù)(9?5?6)確實(shí)收斂于,因此有</p><p><b> ().</b></p><p> 這種運(yùn)用馬克勞林公式將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法,雖然程序明確,但是運(yùn)算往往過(guò)于繁瑣,因此人們普遍采用下面的比較簡(jiǎn)便的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法.</p><p> 在此之前,我們已經(jīng)得到了函數(shù),及的
17、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,運(yùn)用這幾個(gè)已知的展開(kāi)式,通過(guò)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,可以求得許多函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.這種求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的方法稱(chēng)為間接展開(kāi)法.</p><p> 例2 試求函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.</p><p><b> 解 因?yàn)?lt;/b></p><p><b> ,</b></p><p>&
18、lt;b> 而</b></p><p><b> ,(),</b></p><p> 所以根據(jù)冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的法則,可得</p><p><b> ,().</b></p><p> 三、 函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的應(yīng)用舉例</p><p> 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)
19、式的應(yīng)用很廣泛,例如可利用它來(lái)對(duì)某些數(shù)值或定積分值等進(jìn)行近似計(jì)算.</p><p> 例3 利用的展開(kāi)式估計(jì)的值.</p><p><b> 解 由于,</b></p><p><b> 又因</b></p><p><b> , (),</b></p>
20、<p><b> 所以有</b></p><p><b> ?。?lt;/b></p><p> 可用右端級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)之和作為π的近似值.但由于級(jí)數(shù)收斂的速度非常慢,要取足夠多的項(xiàng)才能得到π的較精確的估計(jì)值.</p><p><b> 參考文獻(xiàn)</b></p><p&
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