2017畢業(yè)論文-時(shí)域有限差分法對(duì)平面te波的matlab仿真

1、<p>　　時(shí)域有限差分法對(duì)平面TE波的MATLAB仿真</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　時(shí)域有限差分法是由有限差分法發(fā)展出來(lái)的數(shù)值計(jì)算方法。自1966年Yee在其論文中首次提出時(shí)域有限差分以來(lái)，時(shí)域有限差分法在電磁研究領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。主要有分析輻射條線、微波器件和導(dǎo)行波結(jié)構(gòu)的研究、散射和雷達(dá)截面計(jì)算、分析周期結(jié)構(gòu)、電

2、子封裝和電磁兼容的分析、核電磁脈沖的傳播和散射以及在地面的反射及對(duì)電纜傳輸線的干擾、微光學(xué)元器件中光的傳播和衍射特性等等。</p><p>　　由于電磁場(chǎng)是以場(chǎng)的形態(tài)存在的物質(zhì)，具有獨(dú)特的研究方法，采取重疊的研究方法是其重要的特點(diǎn)，即只有理論分析、測(cè)量、計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果相互佐證，才可以認(rèn)為是獲得了正確可信的結(jié)論。時(shí)域有限差分法就是實(shí)現(xiàn)直接對(duì)電磁工程問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的基本方法。在近年的研究電磁問(wèn)題中，許多學(xué)者對(duì)時(shí)

3、域脈沖源的傳播和響應(yīng)進(jìn)行了大量的研究，主要是描述物體在瞬態(tài)電磁源作用下的理論。另外，對(duì)于物體的電特性，理論上具有幾乎所有的頻率成分，但實(shí)際上，只有有限的頻帶內(nèi)的頻率成分在區(qū)主要作用。</p><p>　　文中主要談到了關(guān)于高斯制下完全匹配層的差分公式的問(wèn)題，通過(guò)MATLAB程序?qū)E波進(jìn)行了仿真，模擬了高斯制下完全匹配層中磁場(chǎng)分量瞬態(tài)分布。得到了相應(yīng)的磁場(chǎng)幅值效果圖。</p><p>　　

4、關(guān)鍵詞：時(shí)域有限差分 完全匹配層 MATLAB 磁場(chǎng)幅值效果圖</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要1</b></p><p><b>　　目 錄2</b></p><p>　　第一章 緒 論3</p>

5、<p>　　1.1 課題背景與意義3</p><p>　　1.2 時(shí)域有限差分法的發(fā)展與應(yīng)用3</p><p>　　2.1 Maxwell方程和Yee氏算法6</p><p>　　2.2 FDTD的基本差分方程8</p><p>　　2.3 時(shí)域有限差分法相關(guān)技術(shù)10</p><p>　　2.3

6、.1 數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題10</p><p>　　2.3.2 數(shù)值色散11</p><p>　　2.3.3 離散網(wǎng)格的確定12</p><p>　　2.4 吸收邊界條件12</p><p>　　2.4.1 一階和二階近似吸收邊界條件13</p><p>　　2.4.2 二維棱邊及角頂點(diǎn)的處理16</p&g

7、t;<p>　　2.4.3 完全匹配層18</p><p>　　2.5 FDTD計(jì)算所需時(shí)間步的估計(jì)22</p><p>　　第三章 MATLAB的仿真的程序及模擬24</p><p>　　3.1 MATLAB程序及相應(yīng)說(shuō)明24</p><p>　　3.2 出圖及結(jié)果27</p><p>　　

8、3.2.1程序部分27</p><p>　　3.2.2 所出的效果圖28</p><p>　　第四章 結(jié) 論30</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)31</b></p><p><b>　　第一章 緒 論</b></p><p>　　1.1 課題背景與意義&

9、lt;/p><p>　　20世紀(jì)60年代以來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一些電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算方法逐步發(fā)展起來(lái)，并得到廣泛應(yīng)用，其中主要有：屬于頻域技術(shù)的有限元法（FEM）、矩量法(MM)和單矩法等；屬于時(shí)域技術(shù)方面的時(shí)域有限差分法(FDTD)、傳輸線矩陣法(TLM)和時(shí)域積分方程法等。此外，還有屬于高頻技術(shù)的幾何衍射理論(GTD)和衍射物理理論(PLD)等。各種方法都具有自己的特點(diǎn)和局限性，在實(shí)際中經(jīng)常把它們相互配合而形

10、成各種混合方法[1~2]。其中FDTD是一種已經(jīng)獲得廣泛應(yīng)用并且有很大發(fā)展前景的時(shí)域數(shù)值計(jì)算方法。時(shí)域有限差分（FDTD）方法于1966年由K.S.Yee[3] 提出并迅速發(fā)展，且獲得廣泛應(yīng)用。K.S.Yee用后來(lái)被稱作Yee氏網(wǎng)格的空間離散方式，把含時(shí)間變量的Maxwell旋度方程轉(zhuǎn)化為差分方程，并成功地模擬了電磁脈沖與理想導(dǎo)體作用的時(shí)域響應(yīng)。但是由于當(dāng)時(shí)理論的不成熟和計(jì)算機(jī)軟硬件條件的限制，該方法并未得到相應(yīng)的發(fā)展。20世紀(jì)80年代

11、中期以后，隨著上述兩個(gè)條件限制的逐步解除，F(xiàn)DTD便憑借其特有的優(yōu)勢(shì)得以迅速發(fā)展。它能方便、精確地預(yù)測(cè)實(shí)際工程中的大量復(fù)雜電磁問(wèn)題，應(yīng)用范圍幾乎涉及所有電磁領(lǐng)域，成</p><p>　　另外，利用矩量法求解電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，要用到并失Green函數(shù)。對(duì)于某些問(wèn)題，可以找到其解析形式的并失Green函數(shù)；而對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，很難找到其解析形式的并失Green函數(shù)，這樣就使得問(wèn)題無(wú)法解決。作為時(shí)域分析中的一個(gè)重要數(shù)值方法，

12、FDTD不存在這樣的問(wèn)題。</p><p>　　1.2 時(shí)域有限差分法的發(fā)展與應(yīng)用</p><p>　　經(jīng)過(guò)四十多年的發(fā)展，F(xiàn)DTD已發(fā)展成為一種成熟的數(shù)值計(jì)算方法。在發(fā)展過(guò)程中，幾乎都是圍繞幾個(gè)重要問(wèn)題展開(kāi)的，即數(shù)值穩(wěn)定性、計(jì)算精度、數(shù)值色散、激勵(lì)源技術(shù)以及開(kāi)域電磁問(wèn)題的吸收邊界條件等。</p><p>　　數(shù)值穩(wěn)定和計(jì)算精度對(duì)任何一種數(shù)值計(jì)算方法都是至關(guān)重要的。

13、A.Taylor和M.E.Brodwin[4]利用本征值方法給出了直角坐標(biāo)系下FDTD的空間步長(zhǎng)與時(shí)間步長(zhǎng)之間的關(guān)系。X.Min等[5]研究了存在邊界條件時(shí)FDTD的穩(wěn)定性問(wèn)題。對(duì)于數(shù)值色散，與實(shí)際的物理色散不同，它是由電磁場(chǎng)量在空間和時(shí)間上的對(duì)波動(dòng)方程作差分近似處理造成的。這種色散引起的誤差造成在計(jì)算區(qū)域內(nèi)傳播的電磁波逐漸畸變[6~7]。K. L. Shlager 等[8]比較了二維和三維空間中幾種正交網(wǎng)格算法的色散誤差。當(dāng)采用其他變

14、形或非正交網(wǎng)格時(shí)，必須重新分析其數(shù)值穩(wěn)定性和色散特性[9~11]，P.Monk 和 E.Suli[12]分析了不均勻長(zhǎng)方體網(wǎng)格算法的穩(wěn)定性。</p><p>　　激勵(lì)源的設(shè)計(jì)和引入也是FDTD的一個(gè)重要任務(wù)。目前，應(yīng)用最廣泛的激勵(lì)源引入技術(shù)是總場(chǎng)/散射場(chǎng)體系[12]。對(duì)于散射問(wèn)題，通常在FDTD計(jì)算空間中引入連接邊界，它將整個(gè)計(jì)算空間劃分為內(nèi)部的總場(chǎng)區(qū)和外部的散射場(chǎng)區(qū)，如圖1-1。利用Huygens原理，可以在連

15、接邊界處引入入射場(chǎng)，使入射場(chǎng)的加入變得簡(jiǎn)單易行。</p><p><b>　　圖1-1</b></p><p>　　開(kāi)域電磁問(wèn)題中，為了在有限的計(jì)算空間內(nèi)模擬無(wú)限空間中的電磁問(wèn)題，必須在計(jì)算空間的截?cái)噙吔缣幵O(shè)置吸收邊界條件。吸收邊界條件從開(kāi)始簡(jiǎn)單的插值邊界，已經(jīng)發(fā)展了多種吸收邊界條件。在早期得到廣泛應(yīng)用的是G.Mur[13]的一階和二階吸收邊界條件，它是基于B.Eng

16、quist和A.Majda[14]的單向波方程而提出的差分格式，在FDTD仿真區(qū)域外邊界具有0.5%到5%的反射系數(shù)。目前應(yīng)用最廣泛的是J.P.Berenger[15-17]的分裂式完全匹配層，以及Z.S.Sacks等[18]和S.D.Gedney[20]的各向異性介質(zhì)的完全匹配層，它們可使FDTD模擬的最大動(dòng)態(tài)范圍達(dá)到80dB。</p><p>　　另一方面，為了更好的擬合研究對(duì)象的形狀，克服臺(tái)階逼近帶來(lái)的誤差

17、，D.E.Merewether[19]提出了柱坐標(biāo)系下的網(wǎng)格剖分方法，R.Holland[20]提出了球坐標(biāo)系下的網(wǎng)格剖分方法，P.Monk和E.Suli[12]提出了變網(wǎng)格步長(zhǎng)方法，S.S.Zivanovic等[21]和P.Thoma等[22]提出了亞網(wǎng)格技術(shù)（即在一般區(qū)域采用粗網(wǎng)格，在電磁場(chǎng)快變區(qū)域采用精細(xì)網(wǎng)格）。利用這些技術(shù)，可以更精確地模擬各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，適應(yīng)各種復(fù)雜的介質(zhì)，提高了復(fù)雜介質(zhì)中數(shù)值計(jì)算的精度。</p>

18、<p>　　時(shí)域模擬一般獲得的是近場(chǎng)電磁信息，為了得到諸如天線方向圖或散射體雷達(dá)散射截面之類的遠(yuǎn)場(chǎng)信息，必須獲得計(jì)算區(qū)域以外的頻域場(chǎng)或瞬態(tài)場(chǎng)。多位學(xué)者在這方面做了許多工作，發(fā)展了一種高效的時(shí)域近遠(yuǎn)場(chǎng)變換方法[23-26]。借助這種方法，可以實(shí)現(xiàn)由計(jì)算區(qū)域內(nèi)近場(chǎng)數(shù)據(jù)到計(jì)算區(qū)域外遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的外推。目前，粗糙面散射的FDTD，傳遞函數(shù)在FDTD中的應(yīng)用，周期介質(zhì)、各向異性介質(zhì)、色散介質(zhì)和含有集中元件的FDTD，以及網(wǎng)絡(luò)并行FDTD技

19、術(shù)等方面也取得了很大進(jìn)展。</p><p>　　FDTD在迅速發(fā)展的同時(shí)，也獲得了非常廣泛的應(yīng)用。目前，它幾乎被應(yīng)用到了電磁場(chǎng)工程中的各個(gè)方面，例如：電磁散射、生物電磁計(jì)量學(xué)、輻射天線的分析、微波器件和導(dǎo)行波結(jié)構(gòu)的研究、散射和雷達(dá)截面的計(jì)算、周期結(jié)構(gòu)的分析、電子封裝和電磁兼容的分析、核電磁脈沖傳播和散射的分析、以及微光學(xué)元器件中光的傳播和衍射特性的分析等。隨著新技術(shù)的不斷提出，其應(yīng)用范圍和成效正在迅速地?cái)U(kuò)大和提高

20、。</p><p>　　第二章 時(shí)域有限差分法的基本原理</p><p>　　Maxwell方程是描述宏觀電磁現(xiàn)象的一組基本方程。這組方程即可以寫(xiě)成微分形式，又可以寫(xiě)成積分形式。FDTD方法由Maxwell旋度方程的微分形式出發(fā)，利用二階精度的中心差分近似，直接將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為差分運(yùn)算，這樣達(dá)到了在一定體積內(nèi)和一段時(shí)間上對(duì)連續(xù)電磁場(chǎng)數(shù)據(jù)的抽樣壓縮。</p><p>

21、;　　2.1 Maxwell方程和Yee氏算法</p><p>　　根據(jù)[27]中電磁場(chǎng)基本方程組的微分形式，若在無(wú)源空間，其空間中的媒質(zhì)是各向同性、線性和均勻的，即媒質(zhì)的參數(shù)不隨時(shí)間變化且各向同性，則Maxwell旋度方程可寫(xiě)成：</p><p><b>　?。?-1a）</b></p><p><b>　?。?-1b）</b

22、></p><p>　　式中，是電場(chǎng)強(qiáng)度，單位為伏/米（V/m）；是磁場(chǎng)強(qiáng)度，單位為安/米（A/m）；表示介質(zhì)介電系數(shù)，單位為法拉/米（F/m）； 表示磁導(dǎo)系數(shù)，單位為亨利/米（H/m）；表示介質(zhì)電導(dǎo)率，單位為西門(mén)子/米（S/m）；表示導(dǎo)磁率，單位為歐姆/米（）。</p><p>　　在直角坐標(biāo)系中，（2-1）式可化為如下六個(gè)標(biāo)量方程：</p><p><

23、;b>　?。?-2）</b></p><p><b>　　（2-3）</b></p><p>　　這六個(gè)偏微分方程是FDTD算法的基礎(chǔ)。</p><p>　　K.S.Yee[3]在1966年建立了如圖2-1所示的空間網(wǎng)格，這就是著名的Yee氏元胞網(wǎng)格。</p><p>　　圖2-1 Yee氏網(wǎng)格及其電磁

24、場(chǎng)分量分布</p><p>　　并引入如下的差分近似方法對(duì)（2-2）、(2-3)式中的六個(gè)偏微分方程進(jìn)行了差分離散。令代表或在直角坐標(biāo)系中某一分量，在時(shí)間和空間域中的離散可記為</p><p><b>　　(2-4)</b></p><p>　　式中，、和分別是長(zhǎng)方體網(wǎng)格沿x、y、z方向的空間步長(zhǎng)，是時(shí)間步長(zhǎng)，i、j、</p>&

25、lt;p>　　k分別是沿x、y、z方向的網(wǎng)格編號(hào)，n是時(shí)間步數(shù)。對(duì)關(guān)于時(shí)間和空間的一階偏導(dǎo)數(shù)取中心差分近似，具有二階精度，即</p><p><b>　　(2-5a) </b></p><p><b>　　(2-5b)</b></p><p><b>　　(2-5c)</b></p&g

26、t;<p><b>　　(2-5d)</b></p><p>　　在FDTD中，空間上連續(xù)分布的電磁場(chǎng)物理量離散的空間排布如圖2-1所示。由圖可見(jiàn)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在空間交叉放置，使得在每個(gè)坐標(biāo)平面上每個(gè)電場(chǎng)分量被磁場(chǎng)環(huán)繞，每個(gè)磁場(chǎng)分量也被電場(chǎng)環(huán)繞。這種電磁場(chǎng)的空間結(jié)構(gòu)與電磁感應(yīng)和電磁波傳播的規(guī)律相符，在每一個(gè)網(wǎng)格單元都能滿足法拉第感應(yīng)定律和安培環(huán)流定律。各分量的空間相對(duì)位置也適

27、合于Maxwell方程的差分計(jì)算，能夠恰當(dāng)?shù)孛枋鲭姶艌?chǎng)的傳播特性。同時(shí)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)在時(shí)間上交替抽樣，抽樣時(shí)間間隔相差半個(gè)時(shí)間步，使Maxwell旋度方程離散以后構(gòu)成顯式差分方程，從而可以在時(shí)間上迭代求解，而不需要進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算。因此，由給定相應(yīng)電磁問(wèn)題的初始條件，F(xiàn)DTD就可以逐步推進(jìn)地求得以后各個(gè)時(shí)刻空間電磁場(chǎng)的分布。</p><p>　　2.2 FDTD的基本差分方程</p><p>

28、;　　根據(jù)上述原則，可將（2-2）、（2-3）式離散為如下的差分方程形式：</p><p><b>　?。?-6a）</b></p><p><b>　　(2-6b)</b></p><p><b>　　(2-6c)</b></p><p><b>　　(2-6d)&

29、lt;/b></p><p><b>　　(2-6e)</b></p><p><b>　　(2-6f)</b></p><p><b>　　式中</b></p><p><b>　　， (2-7a)</b></p><p>

30、<b>　　， (2-7b)</b></p><p>　　(2-6)式就是FDTD的基本差分方程組。從式中可以看出，方程組中含有半個(gè)空間步和半個(gè)時(shí)間步，為了便于編程，可將（2-6）式改寫(xiě)成如下形式[28]：</p><p><b>　　(2-8a)</b></p><p><b>　　(2-8b)</b&g

31、t;</p><p><b>　　(2-8c)</b></p><p><b>　　(2-8d)</b></p><p><b>　　(2-8e)</b></p><p><b>　　(2-8f)</b></p><p>　　根據(jù)上

32、述FDTD差分方程組可得出計(jì)算電磁場(chǎng)的時(shí)域推進(jìn)計(jì)算方法，如圖2-2所示。</p><p>　　圖2-2 FDTD在時(shí)域的交叉半步逐步推進(jìn)計(jì)算</p><p>　　式(2-8a)~(2-8c)的等號(hào)左邊的電場(chǎng)值是第n次循環(huán)的電場(chǎng)值，等號(hào)右邊的電場(chǎng)值是第n-1次循環(huán)存儲(chǔ)在內(nèi)存中的電場(chǎng)值，磁場(chǎng)值是本次循環(huán)計(jì)算得到的磁場(chǎng)值；式(2-8d)~(2-8f) 等號(hào)左邊的磁場(chǎng)值是第n次循環(huán)的磁場(chǎng)值，等號(hào)

33、右邊的磁場(chǎng)值和電場(chǎng)值都是第n-1次循環(huán)存儲(chǔ)在內(nèi)存中的場(chǎng)值。這樣，就解決了半個(gè)時(shí)間步在程序中無(wú)法表示的問(wèn)題，而且也沒(méi)有破壞電磁場(chǎng)在時(shí)間上逐步推進(jìn)的邏輯關(guān)系。</p><p>　　2.3 時(shí)域有限差分法相關(guān)技術(shù)</p><p>　　2.3.1 數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題</p><p>　　上述FDTD方程是一種顯式差分方程，在執(zhí)行時(shí)，存在一個(gè)重要的問(wèn)題：即算法的穩(wěn)定性問(wèn)題。這種不

34、穩(wěn)定性表現(xiàn)為在解顯式方程時(shí)，隨著時(shí)間步數(shù)的繼續(xù)增加，計(jì)算結(jié)果也將無(wú)限制地增加。Taflove等[4]于1975年對(duì)Yee氏差分格式的穩(wěn)定性進(jìn)行了討論，并導(dǎo)出了對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的限制條件。數(shù)值解是否穩(wěn)定主要取決于時(shí)間步長(zhǎng)與空間步長(zhǎng)、、的關(guān)系。對(duì)于非均勻媒質(zhì)構(gòu)成的計(jì)算空間選用如下的穩(wěn)定性條件：</p><p><b>　　(2-9)</b></p><p>　　(2-9)式是空

35、間和時(shí)間離散之間應(yīng)當(dāng)滿足的關(guān)系，又稱為Courant穩(wěn)定性條件。若采用均勻立方體網(wǎng)格：</p><p><b>　　(2-10)</b></p><p>　　其中，為計(jì)算空間中的電磁波的最大速度。</p><p>　　2.3.2 數(shù)值色散</p><p>　　FDTD方程組是對(duì)Maxwell旋度方程進(jìn)行差分近似，在進(jìn)行數(shù)

36、值計(jì)算時(shí)，將會(huì)在計(jì)算網(wǎng)格中引起數(shù)字波模的色散，即在FDTD網(wǎng)格中，電磁波的相速與頻率有關(guān)，電磁波的相速度隨波長(zhǎng)、傳播方向及變量離散化的情況不同而改變。這種關(guān)系由非物理因素引起，且色散將導(dǎo)致非物理因素引起的脈沖波形畸變、人為的各向異性和虛假折射等現(xiàn)象。顯然，色散與空間、時(shí)間的離散間隔有關(guān)，如下式所示：</p><p><b>　　(2-11)</b></p><p>　

37、　式(2-11)是三維情況下在FDTD方法中的單色平面波數(shù)值色散關(guān)系的一般形式，它表明FDTD計(jì)算中波的傳播速度與傳播方向有關(guān)。式中、、分別是波矢量沿、、方向的分量，是角頻率，是被模擬的均勻介質(zhì)中的光速。與數(shù)值色散關(guān)系相對(duì)應(yīng)，在無(wú)耗介質(zhì)中的單色平面波，色散解析關(guān)系是：</p><p><b>　　(2-12)</b></p><p>　　由式(2-11)可知，當(dāng)式(2

38、-11)中的、、、均趨于零時(shí)，它就趨于式(2-12)。也就是說(shuō)數(shù)值色散是由于用近似差分替代連續(xù)微分而引起的，而且在理論上可以減小到任意程度，只要此時(shí)時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)都足夠小，但這將大大增加所需的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間，并使累積誤差增加。因此，在實(shí)際計(jì)算中要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和計(jì)算機(jī)的軟硬件條件來(lái)選擇合適的時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)。為獲得理想的色散關(guān)系，問(wèn)題空間分割應(yīng)按照小于正常網(wǎng)格的原則進(jìn)行。一般選取的最大空間步長(zhǎng)為，為所研究范圍內(nèi)電磁波的最

39、小波長(zhǎng)。由上分析說(shuō)明，數(shù)值色散在用FDTD法分析電磁場(chǎng)傳播中的影響是不可能避免的，但我們可以盡可能的減小數(shù)值色散的影響。</p><p>　　2.3.3 離散網(wǎng)格的確定</p><p>　　無(wú)論是簡(jiǎn)單目標(biāo)還是復(fù)雜目標(biāo)，在進(jìn)行FDTD離散時(shí)網(wǎng)格尺寸的確定，除了受計(jì)算資源的限制不可能取得很小外，還需要考慮以下幾個(gè)因素：</p><p>　　1．目標(biāo)離散精確度的要求。網(wǎng)格

40、應(yīng)當(dāng)足夠小以便能精確模擬目標(biāo)幾何形狀和電磁參數(shù)。</p><p>　　2．FDTD方法本身的要求。主要是考慮色散誤差的影響。設(shè)網(wǎng)格為立方體，所關(guān)心頻段的頻率上限為，對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)為，則考慮FDTD的數(shù)值色散要求</p><p><b>　　（2-13）</b></p><p>　　通常。上式是根據(jù)已知所關(guān)心頻率上限情況下來(lái)確定FDTD網(wǎng)格尺寸的；反之

41、，若給定，則FDTD計(jì)算結(jié)果可用的上限頻率也隨之確定。</p><p>　　3．入射波的要求。入射波的上限截止頻率應(yīng)包含所關(guān)心頻率范圍，即。</p><p>　　2.4 吸收邊界條件</p><p>　　由時(shí)域有限差分法的基本原理可知，在利用時(shí)域有限差分法研究電磁場(chǎng)時(shí)，需在全部問(wèn)題空間建立Yee氏網(wǎng)格空間，并存儲(chǔ)每個(gè)單元網(wǎng)格上任一時(shí)間步的六個(gè)場(chǎng)分量用于下一時(shí)間步的計(jì)

42、算。而在對(duì)于輻射、散射這類開(kāi)放系統(tǒng)的實(shí)際研究中，不可能有無(wú)限大的存儲(chǔ)空間。因此，必須在某處將網(wǎng)格空間截?cái)啵以诮財(cái)噙吔缇W(wǎng)格點(diǎn)處運(yùn)用特殊的場(chǎng)分量計(jì)算方法，使得向邊界面行進(jìn)的波在邊界處保持“外向行進(jìn)”特性、無(wú)明顯的反射現(xiàn)象，并且不會(huì)使內(nèi)部空間的場(chǎng)產(chǎn)生畸變，從而用有限網(wǎng)格空間模擬電磁波在無(wú)界空間中傳播的情況。具有這種功能的邊界條件稱之為吸收邊界條件，或輻射邊界條件，或網(wǎng)格截?cái)鄺l件[29~31]，如圖2-3所示。</p><

43、p>　　圖 2-3 附加截?cái)噙吔缡褂?jì)算區(qū)域變?yōu)橛邢抻?lt;/p><p>　　從FDTD的基本差分方程組可以看出，在截?cái)噙吔缑嫔锨邢驁?chǎng)分量的計(jì)算需要利用計(jì)算空間以外的電磁場(chǎng)分量，因此FDTD基本差分方程對(duì)這些截?cái)噙吔缑嫔系膱?chǎng)分量失效。如何處理截?cái)噙吔缟系膱?chǎng)分量，使之與需要考慮的無(wú)限空間有盡量小的差異，是FDTD中必須很好解決的一個(gè)重要問(wèn)題。實(shí)際上，這是要求在誤差可容忍的范圍內(nèi)，計(jì)算空間中的外向波能夠順利通過(guò)截?cái)?/p>

44、邊界面而不引起波的明顯反射，使有限計(jì)算空間的數(shù)值模擬與實(shí)際情況趨于一致，對(duì)外向波而言，就像在無(wú)限大空間中傳播一樣。所以，需要一種截?cái)噙吔缇W(wǎng)格處的特殊計(jì)算方法，它不僅要保證邊界場(chǎng)計(jì)算的必要精度，而且還要大大消除非物理因素引起的波反射，使得用有限的網(wǎng)格空間就能模擬電磁波在無(wú)限空間中的傳播。但是如果處理不當(dāng)，截?cái)噙吔缑婵赡茉斐奢^大反射，構(gòu)成數(shù)值模擬誤差的一部分，甚至可能造成算法不穩(wěn)定。</p><p>　　加于截?cái)噙吔?/p>

45、場(chǎng)分量符合上述要求的算法就稱為吸收邊界條件（Absorbing Boundary Conditions）。</p><p>　　2.4.1 一階和二階近似吸收邊界條件</p><p>　　在截?cái)噙吔绺浇ǔ](méi)有激勵(lì)源?？紤]齊次波動(dòng)方程</p><p><b>　　(2-14)</b></p><p>　　式中，表示直角坐

46、標(biāo)系下任意電磁場(chǎng)分量。</p><p>　　B.Engquist和A.Majda[15]利用偏微分算子對(duì)式(2-13)作因式分解，并分別取其Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的第一項(xiàng)和前兩項(xiàng)近似，導(dǎo)出了適合直角坐標(biāo)系下FDTD吸收邊界條件的單向波動(dòng)方程，這就是Engquist-Majda吸收邊界條件。設(shè)三維長(zhǎng)方體FDTD區(qū)域0<x<a，0<y<b，0<z<d，這時(shí)有六個(gè)截?cái)噙吔?，其一階和

47、二階解</p><p>　　析吸收邊界條件的具體形式見(jiàn)表2-1，其中代表任一直角場(chǎng)分量。G. Mur[14]對(duì)表中的吸收邊界條件引入了一種簡(jiǎn)單有效的差分?jǐn)?shù)值算法，即對(duì)時(shí)間和空間的偏微分取二階中心差分近似，將單向波方程離散化，便形成了著名的G.Mur的一階和二階吸收邊界條件，其總體虛假反射在1%～5%。圖2-5給出了反射系數(shù)（反射波與入射波）與入射角的關(guān)系，由圖2-4可看出，僅當(dāng)入射角較小時(shí)其反射系數(shù)較小。<

48、/p><p>　　表2-1 三維長(zhǎng)方體FDTD區(qū)域的一階和二階吸收邊界條件</p><p>　　圖2-4 近似吸收邊界條件作用后殘留的反射波與入射波之比</p><p>　　根據(jù)Yee氏元胞網(wǎng)格的特點(diǎn)，在FDTD截?cái)噙吔缑嫔现挥须妶?chǎng)切向分量和磁場(chǎng)法向分量。以界面為例，此界面僅有，，節(jié)點(diǎn)。由于FDTD中的計(jì)算式不涉及區(qū)域，即不涉及截?cái)噙吔缃缑嫱獾墓?jié)點(diǎn)。所以，吸收邊界條件將

49、不考慮，而只考慮電場(chǎng)切向分量和。以為例，對(duì)一階和二階吸收邊界條件分別有</p><p><b>　　(2-15a)</b></p><p><b>　　(2-15b)</b></p><p>　　將式(2-15b)分別在距離邊界半個(gè)空間步長(zhǎng)的輔助網(wǎng)格點(diǎn)處及時(shí)刻離散，此時(shí)的位置在，并對(duì)各項(xiàng)做差分近似，同時(shí)對(duì)輔助網(wǎng)格點(diǎn)處的場(chǎng)值

50、應(yīng)用線性插值，假設(shè)，可得到一階吸收邊界條件在三維情況的形式：</p><p><b>　　(2-16)</b></p><p>　　式中代表截?cái)噙吔缟锨邢驁?chǎng)分量。</p><p>　　將式(2-16)所示二階吸收邊界推廣到長(zhǎng)方體元胞各邊、和不相等情形。設(shè)邊界為，對(duì)于分量有</p><p><b>　　(2-17

51、)</b></p><p>　　同理，可以得到所有截?cái)噙吔缑嫔锨邢驁?chǎng)分量的一階和二階差分式。需要注意的是，用二階近似條件計(jì)算界面上與棱邊相鄰的一列節(jié)點(diǎn)時(shí)會(huì)涉及棱邊上的場(chǎng)值。因此，要想避免用到棱邊上的場(chǎng)值，只需對(duì)截?cái)噙吔缑嫔锨邢驁?chǎng)分量的計(jì)算按以下兩種情況區(qū)別對(duì)待：（1）截?cái)噙吔缑嫔吓c棱邊相鄰的一列場(chǎng)分量采用一階差分式；（2）截?cái)噙吔缑嫔掀渌鼒?chǎng)分量采用二階差分式。這樣，就完全不必考慮棱邊上的場(chǎng)分量，避免了

52、計(jì)算棱邊上場(chǎng)分量所帶來(lái)的誤差。實(shí)際計(jì)算表明，這樣做提高了吸收邊界條件的精度和FDTD計(jì)算的穩(wěn)定性。但是，就目前FDTD的發(fā)展來(lái)看，G.Mur的一階和二階吸收邊界條件已不能滿足目前高精度計(jì)算的要求。</p><p>　　2.4.2 二維棱邊及角頂點(diǎn)的處理</p><p>　　對(duì)于二維電磁場(chǎng)問(wèn)題，在用FDTD計(jì)算邊界處的元胞時(shí)，將涉及到截?cái)噙吔缤鈧?cè)的節(jié)點(diǎn)。如對(duì)于二維TM情況，電磁場(chǎng)分量有，由圖

53、2-5可見(jiàn)，在用FDTD計(jì)算邊界處的TM元胞和時(shí)并不涉及截?cái)噙吔缫酝饣虻墓?jié)點(diǎn)。只有涉及截?cái)噙吔缤鈧?cè)的節(jié)點(diǎn)。因此，只需給出邊界處切向場(chǎng)分量的吸收邊界條件。同樣，對(duì)于TE波只需給出邊界處切向場(chǎng)分量的吸收邊界條件。表2-2為矩形截?cái)噙吔缑嫔瞎?jié)點(diǎn)的二階Mur吸收邊界條件。</p><p>　　圖2-5 二維TM左截?cái)噙吔缭?lt;/p><p>　　表2-2 矩形截?cái)噙吔缢倪吷系亩AMur吸收邊界條件

54、</p><p>　　在二維矩形計(jì)算區(qū)域的角點(diǎn)，吸收邊界條件的離散式需特殊考慮。假設(shè)角點(diǎn)附近只有向外傳播的行波，且傳播方向沿角點(diǎn)處元胞的對(duì)角線，如圖2-6所示的矩形區(qū)域左下角點(diǎn)處的TM元胞為例，導(dǎo)出適用于角點(diǎn)的吸收邊界條件離散式。根據(jù)Courant穩(wěn)定條件式，有。在點(diǎn)與對(duì)角點(diǎn)之間取一點(diǎn)，對(duì)于沿對(duì)角線的外行波，有以下等式：</p><p><b>　?。?-18）</b>

55、;</p><p>　　由于傳播距離很小，上式中略去了振幅的衰減。在利用線性插值</p><p><b>　?。?-19）</b></p><p>　　由式（2-18）解出后代入（2-17）式得</p><p><b>　?。?-20）</b></p><p><b&g

56、t;　　或</b></p><p><b>　?。?-21）</b></p><p>　　對(duì)于矩形域的其它角點(diǎn)可作類似的處理。對(duì)于二維TE波情況，將式（2-19），（2-21）式中的換為即可。</p><p>　　圖2-6 矩形域四個(gè)角點(diǎn)</p><p>　　2.4.3 完全匹配層</p>&l

57、t;p>　　完全匹配層[16~18]（Perfectly Matched Layer, PML）是1994年由J.P.Berenger首先提出，并將其設(shè)置在FDTD計(jì)算區(qū)域截?cái)噙吔缣?，用?lái)吸收外向電磁波。Berenger假設(shè)將電磁場(chǎng)分量在PML介質(zhì)中分裂，并分別對(duì)各個(gè)分裂的場(chǎng)分量賦以不同的損耗。這就相當(dāng)于在FDTD區(qū)域截?cái)噙吔缤庠O(shè)置了一種特殊的非物理的吸收介質(zhì)層，該層介質(zhì)的波阻抗與相鄰介質(zhì)的波阻抗完全匹配，因而外向波將無(wú)反射地穿過(guò)

58、分界面進(jìn)入PML。同時(shí)，由于PML為有耗介質(zhì)，而且不依賴于外向波的入射角和波阻抗，即使為有限厚度，外向波在其中也會(huì)迅速衰減。在實(shí)際計(jì)算中，PML是目前一種很常用的吸收邊界條件，有很好的吸收效果，其總的網(wǎng)格噪聲能量是使用普通吸收邊界條件時(shí)的1/107，可使FDTD模擬的最大動(dòng)態(tài)范圍達(dá)到80dB。</p><p>　　在PML介質(zhì)中，其網(wǎng)格剖分方式與常規(guī)FDTD網(wǎng)格完全一致，每個(gè)場(chǎng)分量在網(wǎng)格中的位置也不變，只是都被分

59、裂為兩個(gè)子分量。這樣，式(2-1)可寫(xiě)成</p><p><b>　　(2-22a)</b></p><p><b>　　(2-22b)</b></p><p><b>　　(2-22c)</b></p><p><b>　　(2-22d)</b><

60、/p><p><b>　　(2-22e)</b></p><p><b>　　(2-22f)</b></p><p><b>　　(2-22g)</b></p><p><b>　　(2-22h)</b></p><p><b&g

61、t;　　(2-22i)</b></p><p><b>　　(2-22j)</b></p><p><b>　　(2-17k)</b></p><p><b>　　(2-22l)</b></p><p>　　式中，，，，，為電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率，描述了PML介質(zhì)的各向異性

62、。當(dāng)且時(shí)， PML介質(zhì)退化為普通有耗介質(zhì);當(dāng)且時(shí)，退化為自由空間中的Maxwell方程。同時(shí)，要滿足PML介質(zhì)的重要基本條件即阻抗匹配條件，如下式所示：</p><p><b>　　(2-23)</b></p><p>　　式中和分別為真空的介電常數(shù)和真空的磁導(dǎo)率。</p><p>　　對(duì)式(2-18)做差分處理，可得到PML介質(zhì)中的FDTD差

63、分方程表達(dá)式：</p><p><b>　　(2-23a)</b></p><p><b>　　(2-23b)</b></p><p><b>　　(2-23c)</b></p><p><b>　　(2-23d)</b></p><p

64、><b>　　(2-23e)</b></p><p><b>　　(2-23f)</b></p><p><b>　　(2-23g)</b></p><p><b>　　(2-23h)</b></p><p><b>　　(2-23i)&l

65、t;/b></p><p><b>　　(2-23j)</b></p><p><b>　　(2-23k)</b></p><p><b>　　(2-23l)</b></p><p><b>　　式中</b></p><p>

66、　　， (2-24)</p><p><b>　　， (2-25)</b></p><p><b>　　其中，；</b></p><p>　　在實(shí)際計(jì)算中，在FDTD計(jì)算中PML的設(shè)置不可能延伸到半無(wú)限空間，只能是有限厚度，因此PML的外側(cè)邊界需要特殊處理，通常情況下采用理想導(dǎo)體邊界截?cái)?。這樣，透入PML中的外向波到

67、達(dá)理想導(dǎo)體邊界處會(huì)反射回來(lái)，重新進(jìn)入計(jì)算區(qū)域，PML的反射系數(shù)不再等于零。PML介質(zhì)內(nèi)沿方向的電導(dǎo)率分布通常采取以下函數(shù)形式</p><p><b>　?。?-26）</b></p><p>　　式中，為PML層的厚度，為PML層靠近FDTD分界面的距離，是電導(dǎo)率分布階數(shù)，表示PML中電導(dǎo)率變化的程度，取整數(shù)。式（2-26）說(shuō)明了實(shí)際計(jì)算中PML介質(zhì)層厚度必須取若干個(gè)

68、空間步長(zhǎng)，使電導(dǎo)率從FDTD-PML分界面的0漸變到PML最外面的，避免電導(dǎo)率躍變太大，盡量消除數(shù)值反射。這樣，如果相對(duì)于FDTD-PML分界面定義的外向波入射角為，則PML內(nèi)側(cè)表面反射系數(shù)為</p><p><b>　?。?-27）</b></p><p>　　使用PML吸收邊界條件時(shí)，首先要選定三個(gè)參數(shù)：PML層數(shù)，電導(dǎo)率分布階數(shù)，PML表面反射系數(shù)。大量的數(shù)值實(shí)

69、驗(yàn)表明：（1）當(dāng)層數(shù)N固定時(shí)，減小，即增加PML的衰減，可以使局部及總體誤差都單調(diào)地減小。然而，當(dāng)減小到一定程度后，這種現(xiàn)象不再出現(xiàn)，原因是存在由空間網(wǎng)格引起的固有誤差。（2）增加PML層數(shù)，可以使局部及總體誤差都單調(diào)地減小，但是N過(guò)大又會(huì)使計(jì)算量劇增，需折衷考慮吸收效果和計(jì)算量。（3）電導(dǎo)率分布階數(shù)的改變不會(huì)影響計(jì)算量，卻會(huì)影響PML的吸收效果，一般情況下，越大，吸收效果越好。因此，在實(shí)際計(jì)算中參數(shù)的選擇隨所處理問(wèn)題的不同而不同，需綜

70、合考慮，并由數(shù)值實(shí)驗(yàn)尋找最佳值。</p><p>　　2.5 FDTD計(jì)算所需時(shí)間步的估計(jì)</p><p>　　為了使計(jì)算達(dá)到穩(wěn)定,通常計(jì)算所需要時(shí)間步按照電磁波往返穿越FDTD計(jì)算區(qū)對(duì)角線3～5次來(lái)估計(jì)。若FDTD計(jì)算區(qū)總元胞數(shù)為，則對(duì)角線上元胞約為 （三維)。按照Courant穩(wěn)定條件，設(shè)計(jì)算中心區(qū)，即穿越對(duì)角線一次需要時(shí)間步為?？傆?jì)算時(shí)間步約需步。對(duì)于二維情況則約為?；蛘哒f(shuō)，計(jì)算時(shí)間

71、步大約等于FDTD計(jì)算區(qū)對(duì)角線上元胞數(shù)目的12～20倍。實(shí)際上，計(jì)算所需時(shí)間步還與散射體具體形狀、結(jié)構(gòu)有關(guān)。</p><p>　　圖2-9給出了應(yīng)用FDTD分析電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)的程序流程圖</p><p>　　圖2-9 FDTD 程序流程圖</p><p>　　第三章 MATLAB的仿真的程序及模擬</p><p>　　3.1 MATLAB程序

72、及相應(yīng)說(shuō)明</p><p>　　% 二維FDTD TE波仿真</p><p>　　clear all;</p><p><b>　　% 定義常數(shù)</b></p><p>　　pi=3.1415;</p><p>　　c=3.0e10; %高斯制下光速</p

73、><p>　　f=1.0e15; %頻率</p><p>　　lambda=c/f; %波長(zhǎng)</p><p>　　nmax=400; %時(shí)間步數(shù)</p><p>　　del_s=lambda/20; %每最小波長(zhǎng)20個(gè)采樣點(diǎn)<

74、;/p><p>　　del_t=0.5*del_s/c; %迭代時(shí)間步長(zhǎng)</p><p>　　n=182; %真空區(qū)域網(wǎng)格數(shù)</p><p>　　np=9; %pml層數(shù)</p><p>　　N1=n+2*np;

75、%總網(wǎng)格數(shù)</p><p>　　N=N1+1; %采樣點(diǎn)數(shù)</p><p>　　M=4; %導(dǎo)電率漸變指數(shù)</p><p>　　sigma_max=(M+1)/1.50/pi/del_s; %最大導(dǎo)電率</p><p>　　% TE波的分量初始化</p>

76、;<p><b>　　tic;</b></p><p>　　figure(1);</p><p>　　axis([0 N 0 N -0.5 0.5]);</p><p>　　Ex=zeros(N1,N); %x方向?yàn)闄M向，采樣點(diǎn)為網(wǎng)格的橫向邊，故行數(shù)+1</p><p>　　Ey=zer

77、os(N,N1); %y方向?yàn)榭v向，采樣點(diǎn)為網(wǎng)格的縱向邊，故列數(shù)+1</p><p>　　Bz=zeros(N1,N1); %矩陣行為縱向網(wǎng)格數(shù)，矩陣列為橫向網(wǎng)格數(shù),循環(huán)中用j表示行數(shù)，i表示列數(shù)</p><p>　　Bzx=zeros(N1,N1);</p><p>　　Bzy=zeros(N1,N1);</p>

78、<p>　　Bzxx=zeros(nmax,2);</p><p>　　%進(jìn)入電磁場(chǎng)迭代計(jì)算</p><p>　　for tt=1:nmax</p><p>　　for i=1:N1</p><p>　　if i>=np+1&&i<=N1-np</p><p><b>

79、　　di=0;</b></p><p>　　elseif i<=np</p><p>　　di=np-i+0.5;</p><p>　　elseif i>=N1-np+1</p><p>　　di=np+i-N1-0.5;</p><p>　　end %

80、di是采樣點(diǎn)橫向距PML內(nèi)邊界的距離</p><p>　　sigma_mx=sigma_max*(di/np)^M;</p><p>　　for j=1:N1</p><p>　　if j>=np+1&&j<=N1-np</p><p><b>　　dj=0;</b></p>&

81、lt;p>　　elseif j<=np</p><p>　　dj=np-j+0.5;</p><p>　　elseif j>=N1-np+1</p><p>　　dj=np+j-N1-0.5;</p><p>　　end %dj是采樣點(diǎn)縱向距PML內(nèi)邊界的距離</p>&

82、lt;p>　　sigma_my=sigma_max*(dj/np)^M;</p><p>　　if sigma_mx+sigma_my==0 %真空區(qū)</p><p>　　if j==100&&i==100</p><p>　　t=30; %可選擇高斯脈沖</p><p>　　

83、term=(tt-t);</p><p>　　pulse=exp(-4*pi*term^2/20^2);</p><p>　　pulse=sin(2*pi*tt/40); %可選正弦時(shí)諧源</p><p>　　c_miu=c*del_t/del_s;</p><p>　　Eterm1=c_miu*(Ex(i,j+1)-Ex(i,j));<

84、;/p><p>　　Eterm2=c_miu*(Ey(i+1,j)-Ey(i,j));</p><p>　　Bz(i,j)=Bz(i,j)+Eterm1-Eterm2+pulse;%加入脈沖源</p><p><b>　　else</b></p><p>　　c_miu=c*del_t/del_s;</p>&

85、lt;p>　　Eterm1=c_miu*(Ex(i,j+1)-Ex(i,j));</p><p>　　Eterm2=c_miu*(Ey(i+1,j)-Ey(i,j));</p><p>　　Bz(i,j)=Bz(i,j)+Eterm1-Eterm2;</p><p><b>　　end</b></p><p>　　

86、else %PML區(qū)</p><p>　　cpm=(1-2*c*sigma_mx*del_t)/(1+2*c*sigma_mx*del_t);</p><p>　　cqm=c*del_t/(1+2*c*sigma_mx*del_t)/del_s;</p><p>　　Bzx(i,j)=cpm*Bzx(i,j)-c

87、qm*(Ey(i+1,j)-Ey(i,j));</p><p>　　cpm=(1-2*c*sigma_my*del_t)/(1+2*c*sigma_my*del_t);</p><p>　　cqm=c*del_t/(1+2*c*sigma_my*del_t)/del_s;</p><p>　　Bzy(i,j)=cpm*Bzy(i,j)+cqm*(Ex(i,j+1)-

88、Ex(i,j));</p><p>　　Bz(i,j)=Bzx(i,j)+Bzy(i,j);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　for

89、i=2:N1</p><p>　　if i>=np+1&&i<=N1-np</p><p><b>　　di=0;</b></p><p>　　elseif i<=np</p><p>　　di=np-i+1;</p><p>　　elseif i>=N1-

90、np+1</p><p>　　di=np+i-N1-1;</p><p>　　end %di是采樣點(diǎn)橫向距PML內(nèi)邊界的距離</p><p>　　sigma_ex=sigma_max*(di/np)^M;</p><p>　　for j=1:N1</p><p>　　ca

91、m=(1-2*c*sigma_ex*del_t)/(1+2*c*sigma_ex*del_t);</p><p>　　cbm=c*del_t/(1+2*c*sigma_ex*del_t)/del_s;</p><p>　　Ey(i,j)=cam*Ey(i,j)-cbm*(Bz(i,j)-Bz(i-1,j));</p><p><b>　　end</b

92、></p><p><b>　　end</b></p><p>　　for i=1:N1</p><p>　　for j=2:N1</p><p>　　if j>=np+1&&j<=N1-np</p><p><b>　　dj=0;</b>&

93、lt;/p><p>　　elseif j<=np</p><p>　　dj=np-j+1;</p><p>　　elseif j>=N1-np+1</p><p>　　dj=np+j-N1-1;</p><p>　　end %dj是采樣點(diǎn)縱向距PML內(nèi)邊界的距離<

94、/p><p>　　sigma_ey=sigma_max*(dj/np)^M;</p><p>　　cam=(1-2*c*sigma_ey*del_t)/(1+2*c*sigma_ey*del_t);</p><p>　　cbm=c*del_t/(1+2*c*sigma_ey*del_t)/del_s;</p><p>　　Ex(i,j)=cam*

95、Ex(i,j)+cbm*(Bz(i,j)-Bz(i,j-1));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　Bzxx(tt,1)=Bz(90,50); %對(duì)靠近邊界的中央磁場(chǎng)點(diǎn)采樣</p><p&g

96、t;　　Bzxx(tt,2)=Bz(50,90);</p><p><b>　　3.2 出圖及結(jié)果</b></p><p><b>　　3.2.1程序部分</b></p><p>　　figure(1); %可視化處理</p><p>&

97、lt;b>　　clf;</b></p><p>　　mesh(Bz); %磁場(chǎng)的幅值</p><p>　　axis([0 N 0 N -0.5 0.5]);</p><p>　　xlabel('i')</p><p>　　ylabel('j&

98、#39;)</p><p><b>　　drawnow;</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　figure(2);</p><p>　　plot(Bzxx);</p><p>　　figure(3);</p><p>

99、;　　title('磁場(chǎng)幅值分布圖');</p><p>　　surface(Bz);</p><p>　　shading interp;</p><p>　　axis square;</p><p><b>　　toc</b></p><p>　　3.2.2 所出的效果圖<

100、/p><p>　　正弦時(shí)諧場(chǎng)源輻射效果圖</p><p><b>　　高斯脈沖輻射效果圖</b></p><p><b>　　第四章 結(jié) 論</b></p><p>　　通過(guò)對(duì)時(shí)域差分法的學(xué)習(xí)而進(jìn)行的關(guān)于二維FDTD的TE波仿真，鞏固了迭代式的形式與相應(yīng)的循環(huán)編程技巧。但也存在一定問(wèn)題，由于在吸收上

101、我的編程思路不是很規(guī)范，所以在吸收效果上與理論上的完全匹配層吸收效果還有差距，但是已經(jīng)基本達(dá)到了我的預(yù)期目的?？赡苁俏业姆謪^(qū)方法不對(duì)的緣故，原因就是出在sigma_max的設(shè)置上面，在高斯制下長(zhǎng)度單位變?yōu)閏m，所以同樣的空間步長(zhǎng)在高斯制下數(shù)量級(jí)就擴(kuò)大了100倍，而sigma_max的計(jì)算式里面分母含有空間步長(zhǎng)，所以如果不加以修正，sigma_max在高斯制下就變成了國(guó)際制下的1%，太大的導(dǎo)電率和太小的導(dǎo)電率都不能實(shí)現(xiàn)較好的吸收效果，下階

102、段應(yīng)將其做適當(dāng)修正并且寫(xiě)粒子仿真時(shí)用高斯制Maxwell方程可以參考角點(diǎn)反射大，多設(shè)置幾層PML試一試。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]J.M.Jin, M.Zunoubi, K.C.Donepudi, W.C.Chew, Frequency-Domain and Time-Domain Finite-Element Solu

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