測(cè)量數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)誤差分析處理畢業(yè)論文

1、<p><b>　　畢業(yè)</b></p><p><b>　　設(shè)計(jì)（論文）</b></p><p>　　測(cè)量數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)誤差分析處理</p><p>　　姓 名： </p><p>　　學(xué) 號(hào)：

2、 </p><p>　　班 級(jí)： 應(yīng)用電子1001班 </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師： </p><p>　　所 在 系 部： 信息工程系 </p><p>　　二○一三年六畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告</p><p&

3、gt;　　畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）成績(jī)?cè)u(píng)定</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　由于實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測(cè)量程序等限制，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值和真值之間，總是存在一定的差異。人們常用絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差或有效數(shù)字來(lái)說(shuō)明一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度。為了評(píng)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認(rèn)清誤差的來(lái)源及其影響，需要對(duì)實(shí)驗(yàn)的誤差進(jìn)行分析和討論

4、。由此可以判定哪些因素是影響實(shí)驗(yàn)精確度的主要方面，從而在以后實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)一步改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案，縮小實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值和真值之間的差值，提高實(shí)驗(yàn)的精確性。</p><p>　　關(guān)鍵字：測(cè)量值 誤差 平均值 精確度</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　As a result of experimental methods a

5、nd equipment are not perfect, the surrounding environment, as well as people 's observation, measurement procedures and other constraints, the experimentally observed values and true values in between, there is some

6、difference. People often use absolute error, relative error or the effective figures to illustrate an approximation accuracy. In order to assess the accuracy of experimental data or error, recognize the error sources and

7、 their effects, the need fo</p><p>　　Key Words: measurement error average precision.目 錄</p><p><b>　　引 言5</b></p><p>　　第一章 測(cè)量誤差基本概念6</p><p>　　1.1 測(cè)量和誤差的比

8、較：6</p><p>　　1.2 誤差分類：6</p><p>　　1.3 算術(shù)平均值：7</p><p>　　第二章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析8</p><p>　　2.1 誤差的基本概念8</p><p>　　2.2 誤差的分類9</p><p>　　2.3 精密度、準(zhǔn)確度和精確度

9、10</p><p>　　2.4 誤差的表示方法11</p><p>　　第三章 誤差的基本性質(zhì)15</p><p>　　3.1 測(cè)量集合的最佳值16</p><p>　　3.2 函數(shù)誤差18</p><p>　　第四章 有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則23</p><p><b>　　

10、結(jié)束語(yǔ)25</b></p><p><b>　　致謝25</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)25</b></p><p><b>　　引 言</b></p><p>　　測(cè)量是人類認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過(guò)測(cè)量和實(shí)驗(yàn)?zāi)苁谷藗儗?duì)事物獲得定量的

11、概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性。科學(xué)上很多新的發(fā)現(xiàn)和突破都是以實(shí)驗(yàn)測(cè)量為基礎(chǔ)的。測(cè)量就是用實(shí)驗(yàn)的方法，將被測(cè)物理量與所選用作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，從而確定它的大小。</p><p>　　為了評(píng)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認(rèn)清誤差的來(lái)源及其影響，需要對(duì)實(shí)驗(yàn)的誤差進(jìn)行分析和討論。從而在以后實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)一步改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案，縮小實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值和真值之間的差值，提高實(shí)驗(yàn)的精確性。</p><p>　　第一章 測(cè)量誤

12、差基本概念</p><p>　　1.1 測(cè)量和誤差的比較：</p><p><b>　　測(cè)量的方式：</b></p><p>　?。?）直接測(cè)量：米尺量桌子可直接知道桌子長(zhǎng)度。</p><p>　?。?）間接測(cè)量：由直接測(cè)量的數(shù)據(jù)，通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系，計(jì)算求得結(jié)果的測(cè)量方法</p><p>　　靜

13、態(tài)測(cè)量與動(dòng)態(tài)測(cè)量：按照被測(cè)量在測(cè)量過(guò)程中的狀態(tài)是否隨時(shí)間變化判斷靜態(tài)/動(dòng)態(tài)，常規(guī)、穩(wěn)態(tài)/過(guò)程、瞬態(tài)</p><p>　　真值：在一定時(shí)空條件下，某物理量的理想值，表達(dá)為A。真值僅為理想概念。真值可以用修正過(guò)的測(cè)量值的算術(shù)平均值代替。</p><p><b>　　誤差的表達(dá)方法：</b></p><p>　　絕對(duì)誤差: 測(cè)量值與被測(cè)量物理量

14、的真值的差</p><p>　　示值相對(duì)誤差: 絕對(duì)誤差與真值的百分比</p><p>　　測(cè)量值相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與測(cè)量值x的百分比 </p><p>　　[例1] 儀表的精度用額定相對(duì)誤差（滿度誤差）表示。額定相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與儀器滿度值 A0的百分比。</p><p>　　A0——表盤上的最大值（滿度值）。儀器工作在滿度值2/3

15、以上區(qū)域 。</p><p><b>　　1.2 誤差分類：</b></p><p>　　系統(tǒng)誤差 ——多次測(cè)量同一被測(cè)量物體過(guò)程中，誤差的數(shù)值在一定條件下保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差的分量。</p><p>　　來(lái)源于測(cè)量?jī)x器本身精度、操作流程、操作方式、環(huán)境條件。 </p><p>　　隨機(jī)誤差 ——多次測(cè)量

16、同一被測(cè)量物體過(guò)程中，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知方式變化著的測(cè)量誤差的分量。</p><p>　　具有隨機(jī)變量特點(diǎn)，一定條件下服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律的誤差。</p><p>　　來(lái)源于測(cè)量中的隨機(jī)因素：實(shí)驗(yàn)裝置操作上的變動(dòng)性、觀測(cè)者本人的判斷和估計(jì)讀數(shù)上的變動(dòng)性等。</p><p>　　1.3 算術(shù)平均值：</p><p>　　最小二乘法指出：對(duì)等精度的多

17、個(gè)測(cè)量值，最佳值（可信賴值）是使各測(cè)量值的誤差的平方和為最小時(shí)所求的值。</p><p>　　推導(dǎo)： 絕對(duì)誤差： </p><p><b>　　概率：</b></p><p>　　誤差同時(shí)出現(xiàn)的概率是各個(gè)概率的乘積：</p><p>　　p最大則 最小 </p><p

18、>　　結(jié)論：足夠次數(shù)的等精度測(cè)量的算術(shù)平均值是測(cè)量最佳值</p><p>　　定義：誤差的均方根值</p><p>　　(1) 貝塞爾公式法求 </p><p><b>　　推導(dǎo)：</b></p><p><b>　　方差的基本預(yù)算法則</b></p><p>　　用殘

19、差 vi 代替絕對(duì)誤差 時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差 與 v 在N趨于無(wú)窮時(shí)才相等。</p><p>　　(2) 最大殘差法求 </p><p>　　由正態(tài)分布，獲得不同N次測(cè)量下的最大殘差ni的平均值，則任一次測(cè)量</p><p>　　殘差：真值A(chǔ)用算術(shù)平均值代替時(shí)的誤差</p><p>　　可查表（已知），由正態(tài)分布理論給出。 </p>

20、<p>　　第二章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析</p><p>　　由于實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測(cè)量程序等限制，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值和真值之間，總是存在一定的差異。人們常用絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差或有效數(shù)字來(lái)說(shuō)明一個(gè)近似值的準(zhǔn)確程度。為了評(píng)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認(rèn)清誤差的來(lái)源及其影響，需要對(duì)實(shí)驗(yàn)的誤差進(jìn)行分析和討論。由此可以判定哪些因素是影響實(shí)驗(yàn)精確度的主要方面，從而在以后實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)一步

21、改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案，縮小實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值和真值之間的差值，提高實(shí)驗(yàn)的精確性。</p><p>　　2.1 誤差的基本概念</p><p>　　測(cè)量是人類認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過(guò)測(cè)量和實(shí)驗(yàn)?zāi)苁谷藗儗?duì)事物獲得定量的概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性?？茖W(xué)上很多新的發(fā)現(xiàn)和突破都是以實(shí)驗(yàn)測(cè)量為基礎(chǔ)的。測(cè)量就是用實(shí)驗(yàn)的方法，將被測(cè)物理量與所選用作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，從而確定它的大小。</p>&

22、lt;p><b>　　1.真值與平均值</b></p><p>　　真值是待測(cè)物理量客觀存在的確定值，也稱理論值或定義值。通常真值是無(wú)法測(cè)得的。若在實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量的次數(shù)無(wú)限多時(shí)，根據(jù)誤差的分布定律，正負(fù)誤差的出現(xiàn)幾率相等。再經(jīng)過(guò)細(xì)致地消除系統(tǒng)誤差，將測(cè)量值加以平均，可以獲得非常接近于真值的數(shù)值。但是實(shí)際上實(shí)驗(yàn)測(cè)量的次數(shù)總是有限的。用有限測(cè)量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列

23、幾種:</p><p>　　(1) 算術(shù)平均值 算術(shù)平均值是最常見的一種平均值。</p><p>　　設(shè)、、……、為各次測(cè)量值，代表測(cè)量次數(shù)，則算術(shù)平均值為 (2-1)</p><p>　　(2) 幾何平均值 幾何平均值是將一組n個(gè)測(cè)量值連乘并開n次方求得的平均

24、值。即</p><p><b>　　(2-2)</b></p><p>　?。?）均方根平均值 </p><p><b>　　(2-3)</b></p><p>　　(4) 對(duì)數(shù)平均值 在化學(xué)反應(yīng)、熱量和質(zhì)量傳遞中，其分布曲線多具有對(duì)數(shù)的特性，在這種情況下表征平均值常用對(duì)數(shù)平均值。</p&

25、gt;<p>　　設(shè)兩個(gè)量、，其對(duì)數(shù)平均值</p><p><b>　　(2-4)</b></p><p>　　應(yīng)指出，變量的對(duì)數(shù)平均值總小于算術(shù)平均值。當(dāng)/≤2時(shí)，可以用算術(shù)平均值代替對(duì)數(shù)平均值。</p><p>　　當(dāng)/=2，=1.443, 1.50, (-)／=4.2%, 即/≤2，引起的誤差不超過(guò)4.2%。</p&g

26、t;<p>　　以上介紹各平均值的目的是要從一組測(cè)定值中找出最接近真值的那個(gè)值。在化工實(shí)驗(yàn)和科學(xué)研究中，數(shù)據(jù)的分布較多屬于正態(tài)分布，所以通常采用算術(shù)平均值。</p><p><b>　　2.2 誤差的分類</b></p><p>　　根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，一般分為三類：</p><p>　?。?）系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差是指在測(cè)

27、量和實(shí)驗(yàn)中未發(fā)覺或未確認(rèn)的因素所引起的誤差，而這些因素影響結(jié)果永遠(yuǎn)朝一個(gè)方向偏移，其大小及符號(hào)在同一組實(shí)驗(yàn)測(cè)定中完全相同，當(dāng)實(shí)驗(yàn)條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就獲得一個(gè)客觀上的恒定值。</p><p>　　當(dāng)改變實(shí)驗(yàn)條件時(shí)，就能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。</p><p>　　系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：測(cè)量?jī)x器不良，如刻度不準(zhǔn)，儀表零點(diǎn)未校正或標(biāo)準(zhǔn)表本身存在偏差等；周圍環(huán)境的改變，如溫度、壓力、濕度等偏離校

28、準(zhǔn)值；實(shí)驗(yàn)人員的習(xí)慣和偏向，如讀數(shù)偏高或偏低等引起的誤差。針對(duì)儀器的缺點(diǎn)、外界條件變化影響的大小、個(gè)人的偏向，待分別加以校正后，系統(tǒng)誤差是可以清除的。</p><p>　?。?）偶然誤差 在已消除系統(tǒng)誤差的一切量值的觀測(cè)中，所測(cè)數(shù)據(jù)仍在末一位或末兩位數(shù)字上有差別，而且它們的絕對(duì)值和符號(hào)的變化，時(shí)而大時(shí)而小，時(shí)正時(shí)負(fù)，沒有確定的規(guī)律，這類誤差稱為偶然誤差或隨機(jī)誤差。偶然誤差產(chǎn)生的原因不明，因而無(wú)法控制和補(bǔ)償。但是

29、，倘若對(duì)某一量值作足夠多次的等精度測(cè)量后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)偶然誤差完全服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，誤差的大小或正負(fù)的出現(xiàn)完全由概率決定。因此，隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于零，所以多次測(cè)量結(jié)果的算數(shù)平均值將更接近于真值。</p><p>　　（3）過(guò)失誤差 過(guò)失誤差是一種顯然與事實(shí)不符的誤差，它往往是由于實(shí)驗(yàn)人員粗心大意、過(guò)度疲勞和操作不正確等原因引起的。此類誤差無(wú)規(guī)則可尋，只要加強(qiáng)責(zé)任感、多方警惕、細(xì)心操作，過(guò)失誤

30、差是可以避免的。</p><p>　　2.3 精密度、準(zhǔn)確度和精確度</p><p>　　反映測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值接近程度的量，稱為精度（亦稱精確度）。它與誤差大小相對(duì)應(yīng)，測(cè)量的精度越高，其測(cè)量誤差就越小?！熬取睉?yīng)包括精密度和準(zhǔn)確度兩層含義。</p><p>　　（1）精密度：測(cè)量中所測(cè)得數(shù)值重現(xiàn)性的程度，稱為精密度。它反映偶然誤差的影響程度，精密度高就表示偶然誤差小

31、。</p><p>　?。?）準(zhǔn)確度 測(cè)量值與真值的偏移程度，稱為準(zhǔn)確度。它反映系統(tǒng)誤差的影響精度，準(zhǔn)確度高就表示系統(tǒng)誤差小。</p><p>　?。?）精確度（精度） 它反映測(cè)量中所有系統(tǒng)誤差和偶然誤差綜合的影響程度。</p><p>　　在一組測(cè)量中，精密度高的準(zhǔn)確度不一定高，準(zhǔn)確度高的精密度也不一定高，但精確度高，則精密度和準(zhǔn)確度都高。</p>

32、<p>　　為了說(shuō)明精密度與準(zhǔn)確度的區(qū)別，可用下述打靶子例子來(lái)說(shuō)明。如圖2-1所示。</p><p>　　圖2-1(a)中表示精密度和準(zhǔn)確度都很好，則精確度高；圖2-1(b)表示精密度很好，但準(zhǔn)確度卻不高；圖2-1(c)表示精密度與準(zhǔn)確度都不好。在實(shí)際測(cè)量中沒有像靶心那樣明確的真值，而是設(shè)法去測(cè)定這個(gè)未知的真值。</p><p>　　學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，往往滿足于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的重現(xiàn)性

33、，而忽略了數(shù)據(jù)測(cè)量值的準(zhǔn)確程度。絕對(duì)真值是不可知的，人們只能訂出一些國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)作為測(cè)量?jī)x表準(zhǔn)確性的參考標(biāo)準(zhǔn)。隨著人類認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的推移和發(fā)展，可以逐步逼近絕對(duì)真值。</p><p>　?。╝） （b） （c）</p><p>　　圖 2-1 精密度和準(zhǔn)確度的關(guān)系</p><p>　　2.4 誤差的表示方法<

34、/p><p>　　利用任何量具或儀器進(jìn)行測(cè)量時(shí)，總存在誤差，測(cè)量結(jié)果總不可能準(zhǔn)確地等于被測(cè)量的真值，而只是它的近似值。測(cè)量的質(zhì)量高低以測(cè)量精確度作指標(biāo)，根據(jù)測(cè)量誤差的大小來(lái)估計(jì)測(cè)量的精確度。測(cè)量結(jié)果的誤差愈小，則認(rèn)為測(cè)量就愈精確。</p><p>　　（1）絕對(duì)誤差 測(cè)量值和真值之差為絕對(duì)誤差，通常稱為誤差。記為：</p><p><b>　　(2-5)&l

35、t;/b></p><p>　　由于真值一般無(wú)法求得，因而上式只有理論意義。常用高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值作為實(shí)際值以代替真值。由于高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器存在較小的誤差，因而A不等于，但總比更接近于。與之差稱為儀器的示值絕對(duì)誤差。記為</p><p><b>　　(2-6)</b></p><p>　　與d相反的數(shù)稱為修正值，記為</p>

36、<p><b>　　(2-7)</b></p><p>　　通過(guò)檢定，可以由高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器給出被檢儀器的修正值。利用修正值便可以求出該儀器的實(shí)際值。即</p><p><b>　　(2-8)</b></p><p>　?。?）相對(duì)誤差 衡量某一測(cè)量值的準(zhǔn)確程度，一般用相對(duì)誤差來(lái)表示。示值絕對(duì)誤差與被測(cè)量的實(shí)際

37、值的百分比值稱為實(shí)際相對(duì)誤差。記為</p><p><b>　　(2-9) </b></p><p>　　以儀器的示值代替實(shí)際值的相對(duì)誤差稱為示值相對(duì)誤差。記為</p><p><b>　　(2-10) </b></p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，除了某些理論分析外，用示值相對(duì)誤差較為適宜。</p

38、><p>　?。?）引用誤差 為了計(jì)算和劃分儀表精確度等級(jí)，提出引用誤差概念。其定義為儀表示值的絕對(duì)誤差與量程范圍之比。</p><p><b>　　(2-11)</b></p><p>　　-- 示值絕對(duì)誤差；</p><p>　　-- 標(biāo)尺上限值-標(biāo)尺下限值。</p><p>　?。?）算術(shù)平均

39、誤差 算術(shù)平均誤差是各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的誤差的平均值。</p><p><b>　　(2-12)</b></p><p><b>　　—測(cè)量次數(shù)；</b></p><p>　　—為第 次測(cè)量的誤差。</p><p>　?。?）標(biāo)準(zhǔn)誤差 標(biāo)準(zhǔn)誤差亦稱為均方根誤差。其定義為</p><p

40、><b>　　(2-13)</b></p><p>　　上式使用于無(wú)限測(cè)量的場(chǎng)合。實(shí)際測(cè)量工作中，測(cè)量次數(shù)是有限的，則改用下式</p><p><b>　　(2-14)</b></p><p>　　標(biāo)準(zhǔn)誤差不是一個(gè)具體的誤差，的大小只說(shuō)明在一定條件下等精度測(cè)量集合所屬的每一個(gè)觀測(cè)值對(duì)其算術(shù)平均值的分散程度，如果的值愈

41、小則說(shuō)明每一次測(cè)量值對(duì)其算術(shù)平均值分散度就小，測(cè)量的精度就高，反之精度就低。</p><p>　　在化工原理實(shí)驗(yàn)中最常用的形管壓差計(jì)、轉(zhuǎn)子流量計(jì)、秒表、量筒、電壓等儀表原則上均取其最小刻度值為最大誤差，而取其最小刻度值的一半作為絕對(duì)誤差計(jì)算值。</p><p><b>　　5、測(cè)量?jī)x表精確度</b></p><p>　　測(cè)量?jī)x表的精確等級(jí)是用最

42、大引用誤差（又稱允許誤差）來(lái)標(biāo)明的。它等于儀表示值中的最大絕對(duì)誤差與儀表的量程范圍之比的百分?jǐn)?shù)。</p><p><b>　　(2-15)</b></p><p>　　式中：δmax——儀表的最大測(cè)量引用誤差；</p><p>　　dmax——儀表示值的最大絕對(duì)誤差；</p><p>　　Xn——標(biāo)尺上限值—標(biāo)尺下限值。

43、</p><p>　　通常情況下是用標(biāo)準(zhǔn)儀表校驗(yàn)較低級(jí)的儀表。所以，最大示值絕對(duì)誤差就是被校表與標(biāo)準(zhǔn)表之間的最大絕對(duì)誤差。</p><p>　　測(cè)量?jī)x表的精度等級(jí)是國(guó)家統(tǒng)一規(guī)定的，把允許誤差中的百分號(hào)去掉，剩下的數(shù)字就稱為儀表的精度等級(jí)。儀表的精度等級(jí)常以圓圈內(nèi)的數(shù)字標(biāo)明在儀表的面板上。例如某臺(tái)壓力計(jì)的允許誤差為1.5%，這臺(tái)壓力計(jì)電工儀表的精度等級(jí)就是1.5，通常簡(jiǎn)稱1.5級(jí)儀表。<

44、;/p><p>　　儀表的精度等級(jí)為a，它表明儀表在正常工作條件下，其最大引用誤差的絕對(duì)值δmax不能超過(guò)的界限，即</p><p><b>　　(2-16)</b></p><p>　　由式(2-16)可知，在應(yīng)用儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí)所能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差（簡(jiǎn)稱誤差限）為</p><p><b>　　(2-17)<

45、;/b></p><p>　　而用儀表測(cè)量的最大值相對(duì)誤差為</p><p><b>　　(2-18)</b></p><p>　　由上式可以看出，用只是儀表測(cè)量某一被測(cè)量所能產(chǎn)生的最大示值相對(duì)誤差，不會(huì)超過(guò)儀表允許誤差a% 乘以儀表測(cè)量上限Xn與測(cè)量值X的比。在實(shí)際測(cè)量中為可靠起見，可用下式對(duì)儀表的測(cè)量誤差進(jìn)行估計(jì)，即</p>

46、;<p><b>　　(2-19)</b></p><p>　　[例2-1] 用量限為5A，精度為0.5級(jí)的電流表，分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)電流，I1 =5A,I2 =2.5A,試求測(cè)量I1和I2的相對(duì)誤差為多少？</p><p>　　由此可見，當(dāng)儀表的精度等級(jí)選定時(shí)，所選儀表的測(cè)量上限越接近被測(cè)量的值，則測(cè)量的誤差的絕對(duì)值越小。</p><p

47、>　　[例2-2] 想要測(cè)量90V的電壓，實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有0.5級(jí)0-300V和1.0級(jí)0-100V的電壓表。問(wèn)選用哪一種電壓表進(jìn)行測(cè)量為好？</p><p>　　用0.5級(jí)0-300V的電壓表測(cè)量90V的相對(duì)誤差為</p><p>　　用1.0級(jí)0-100V的電壓表測(cè)量90V的相對(duì)誤差為</p><p>　　上例說(shuō)明，如果選擇得當(dāng)，用量程范圍適當(dāng)?shù)?.0級(jí)儀表進(jìn)行

48、測(cè)量，能得到比用量程范圍大的0.5級(jí)儀表更準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，在選用儀表時(shí)，應(yīng)根據(jù)被測(cè)量值的大小，在滿足被測(cè)量數(shù)值范圍的前提下，盡可能選擇量程小的儀表，并使測(cè)量值大于所選儀表滿刻度的三分之二，即X＞2Xn/3 。這樣就可以達(dá)到滿足測(cè)量誤差要求，又可以選擇精度等級(jí)較低的測(cè)量?jī)x表，從而降低儀表的成本。</p><p>　　第三章 誤差的基本性質(zhì)</p><p>　　在化工原理實(shí)驗(yàn)中通常直接測(cè)量或

49、間接測(cè)量得到有關(guān)的參數(shù)數(shù)據(jù)，這些參數(shù)數(shù)據(jù)的可靠程度如何？如何提高其可靠性？因此，必須研究在給定條件下誤差的基本性質(zhì)和變化規(guī)律。</p><p><b>　　1、誤差的正態(tài)分布</b></p><p>　　如果測(cè)量數(shù)列中不包括系統(tǒng)誤差和過(guò)失誤差，從大量的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)偶然誤差的大小有如下幾個(gè)特征：</p><p>　?。?）絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的

50、誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，即誤差的概率與誤差的大小有關(guān)。這是誤差的單峰性。</p><p>　?。?）絕對(duì)值相等的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)，即誤差的概率相同。這是誤差的對(duì)稱性。</p><p>　?。?）極大的正誤差或負(fù)誤差出現(xiàn)的概率都非常小，即大的誤差一般不會(huì)出現(xiàn)。這是誤差的有界性。</p><p>　?。?）隨著測(cè)量次數(shù)的增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。這叫誤差

51、的低償性。</p><p>　　根據(jù)上述的誤差特征，可疑的出誤差出現(xiàn)的概率分布圖，如圖2-2所示。圖中橫坐標(biāo)表示偶然誤差，縱坐標(biāo)表示個(gè)誤差出現(xiàn)的概率，圖中曲線稱為誤差分布曲線，以表示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式有高斯提出，具體形式為：</p><p>　　(2--20)或 (2--21)</p

52、><p>　　上式稱為高斯誤差分布定律亦稱為誤差方程。式中σ為標(biāo)準(zhǔn)誤差，h為精確度指數(shù)，σ和h的關(guān)系為 (2--22)</p><p>　　若誤差按函數(shù)關(guān)系分布，則稱為正態(tài)分布。σ越小，測(cè)量精度越高，分布曲線的峰值越高切窄；σ越大，分布曲線越平坦且越寬，如圖1-3所示。由此可知

53、，σ越小，小誤差占的比重越大，測(cè)量精度越高。反之，則大誤差占的比重越大，測(cè)量精度越低。</p><p>　　3.1 測(cè)量集合的最佳值</p><p>　　在測(cè)量精度相同的情況下，測(cè)量一系列觀測(cè)值,,,……,所組成的測(cè)量集合，假設(shè)圖 2-2 誤差分布</p><p>　　其平均值為,則各次測(cè)量誤差為</p><p>　　, i=1、2…

54、n，</p><p>　　當(dāng)采用不同的方法計(jì)算平均值時(shí)，所得到誤差值不同，誤差出現(xiàn)的概率亦不同。若選取適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，使誤差最小，而概率最大，由此計(jì)算的平均值為最佳值。根據(jù)高斯分布定律，只有各點(diǎn)誤差平方和最小，才能實(shí)現(xiàn)概率最大。這就是最小乘法值。由此可見，對(duì)于一組精度相同的觀測(cè)值，采用算術(shù)平均得到的值是該組觀測(cè)值的最佳值。

55、圖2-3 不同σ的誤差分布曲線 </p><p>　　有限測(cè)量次數(shù)中標(biāo)準(zhǔn)誤差σ的計(jì)算</p><p>　　由誤差基本概念知，誤差是觀測(cè)值和真值之差。在沒有系統(tǒng)誤差存在的情況下，以無(wú)限多次測(cè)量所得到的算術(shù)平均值為真值。當(dāng)測(cè)量次數(shù)為有限時(shí)，所得到的算術(shù)平均值近似于真值，稱最佳值。因此，觀測(cè)值與真值之差不同于觀測(cè)值與最佳值之差。</p>

56、<p>　　令真值為A，計(jì)算平均值為a，觀測(cè)值為M，并令d=M-a，D=M-A，則</p><p>　　…………… ……………</p><p><b>　　因?yàn)?</b></p><p><b>　　代入中，即得</b></p><p><b>　?。?—2

57、3）</b></p><p>　　將式（2—23）式代入di =Mi -a中得</p><p><b>　　（2—24）</b></p><p>　　將式（2—24）兩邊各平方得</p><p>　　…………… ……………</p><p><b>　　對(duì)i求和 <

58、;/b></p><p>　　因在測(cè)量中正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，故將（ΣDi）2展開后，D1﹒D2、D1 ﹒D3…，為正為負(fù)的數(shù)目相等，彼此相消，故得</p><p>　　從上式可以看出，在有限測(cè)量次數(shù)中，自算數(shù)平均值計(jì)算的誤差平方和永遠(yuǎn)小于自真值計(jì)算的誤差平方和。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義</p><p>　　式中ΣDi2代表觀測(cè)次數(shù)為無(wú)限多時(shí)誤差的平方和，故當(dāng)觀測(cè)

59、次數(shù)有限時(shí)，</p><p><b>　?。?—25）</b></p><p>　　4．可疑觀測(cè)值的舍棄 </p><p>　　由概率積分知，隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線下的全部積分，相當(dāng)于全部誤差同時(shí)出現(xiàn)的概率，</p><p>　　即

60、 （2—26）</p><p>　　若誤差x以標(biāo)準(zhǔn)誤差σ的倍數(shù)表示，即x=tσ，則在±tσ范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為2Φ(t)，超出這個(gè)范圍的概率為1-2Φ(t)。Φ(t)稱為概率函數(shù)，表示為</p><p><b>　　（2—27）</b></p><p>　　2Φ(t)與t的對(duì)應(yīng)值在數(shù)學(xué)手冊(cè)或?qū)Ｖ芯接写祟惙e分表，讀者需要時(shí)可自行

61、查取。在使用積分表時(shí)，需已知t值。由表2-1和圖（2-4）給出幾個(gè)典型及其相應(yīng)的超出或不超出|x|的概率。</p><p>　　由表2-1知，當(dāng)t=3, |x|=3σ時(shí)，在370次觀測(cè)中只有一次測(cè)量的誤差超過(guò)3σ范圍。在有限次的觀測(cè)中，一般測(cè)量次數(shù)不超過(guò)十次，可以認(rèn)為誤差大于3σ，可能是由于過(guò)失誤差或?qū)嶒?yàn)條件變化未被發(fā)覺等原因引起的。因此，凡是誤差大于3σ的數(shù)據(jù)點(diǎn)予以舍棄。這種判斷可疑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則稱為3σ準(zhǔn)則。

62、</p><p>　　3.2 函數(shù)誤差 </p><p>　　上述討論主要是直接測(cè)量的誤差計(jì)算問(wèn)題，但在許多場(chǎng)合下，往往涉及間接測(cè)量的變量，所謂間接測(cè)量是通過(guò)直接測(cè)量的量之間有一定的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)函數(shù)被測(cè)的量，如傳熱問(wèn)題中的傳熱速率。因此，間接測(cè)量值就是直接測(cè)量得到的各個(gè)測(cè)量值的函數(shù)。其測(cè)量誤差是各個(gè)測(cè)量值誤差的函數(shù)。</p><p>　　圖 2-4 誤差分布

63、曲線的積分</p><p>　　表2-1 誤差概率和出現(xiàn)次數(shù)</p><p>　　函數(shù)誤差的一般形式：在間接測(cè)量中，一般為多元函數(shù)，而多元函數(shù)可用下式表示：</p><p>　　y= f (x1,x2,…,xn) （2—28）</p><p>

64、　　式中 y—間接測(cè)量值；</p><p><b>　　xi—直接測(cè)量值。</b></p><p><b>　　由臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開得</b></p><p><b>　?。?—29）或 </b></p><p>　　它的最大絕對(duì)誤差為：</p><p>&

65、lt;b>　?。?—30）</b></p><p>　　式中 —誤差傳遞系數(shù)；</p><p>　　Δxi —直接測(cè)量值的誤差；</p><p>　　Δy — 間接測(cè)量值的最大絕對(duì)誤差。</p><p><b>　　函數(shù)的相對(duì)誤差δ為</b></p><p><b>　

66、　（2—31）</b></p><p>　?。?）某些函數(shù)誤差的計(jì)算</p><p>　　函數(shù)y=x±z絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 </p><p>　　由于誤差傳遞系數(shù)，則函數(shù)最大絕對(duì)誤差</p><p>　　Δy=±（|Δx|+|Δz|）

67、 （2—32）</p><p><b>　　相對(duì)誤差：</b></p><p><b>　?。?—33）</b></p><p>　?、诤瘮?shù)形式為，x、z、w為變量</p><p>　　誤差傳遞系數(shù)為： </p><p>　　函數(shù)的最大絕對(duì)誤差為</p>

68、;<p><b>　　（2—34）</b></p><p>　　函數(shù)的最大相對(duì)誤差為</p><p><b>　?。?—35）</b></p><p>　　現(xiàn)將某些常用函數(shù)的最大絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差列于表2—2中。</p><p>　　[例2-3] 用量熱器測(cè)定固體比熱容時(shí)采用的公式

69、 </p><p>　　式中 M—量熱器內(nèi)水的質(zhì)量</p><p><b>　　m—被測(cè)物體的質(zhì)量</b></p><p>　　t0— 測(cè)量前水的溫度</p><p>　　t1— 放入量熱器前物體的溫度</p><p>　　t2— 測(cè)量時(shí)水的溫度</p><p>　　C

70、pH2O—水的熱容，4.187Kj/(kg.·K)</p><p><b>　　測(cè)量結(jié)果如下：</b></p><p>　　M=250±0.2g m=62.31±0.02g</p><p>　　t0=13.52±0.01℃ t1=99.32±0.04℃</

71、p><p>　　t2=17.79±0.01℃</p><p>　　試求測(cè)量物的比熱容之真值，并確定能否提高測(cè)量精度。</p><p>　　解：根據(jù)題意，計(jì)算函數(shù)之真值，需計(jì)算各變量的絕對(duì)誤差和誤差傳遞系數(shù)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，令θ0=t2--t0=4.27℃, θ1=t1—t2=81.53℃,. </p><p>　　方程改寫為

72、 </p><p>　　表2-2 某些函數(shù)的誤差傳遞公式</p><p><b>　　各變量的絕對(duì)誤差為</b></p><p>　　各變量的誤差傳遞系數(shù)為</p><p><b>　　函數(shù)的絕對(duì)誤差</b></p><p>　　=3.52×10-3×0

73、.2—1.41×10-2×0.02+0.206×0.02—1.08×10-2×0.05</p><p>　　=0.704×10-3—0.282×10-3 + 4.12×10-3--0.54×10-3</p><p>　　=4.00×10-3 J/(g·K)</p>

74、<p><b>　　J/(g·K)</b></p><p>　　故真值 Cp=0.8798±0.0003 J/(g·K)</p><p>　　由有效數(shù)字位數(shù)考慮以上的測(cè)量結(jié)果清度已滿足要求。若不僅考慮有效數(shù)字位數(shù)，尚需從比較各變量的測(cè)量精度，確定是否有可能提高測(cè)量精度。則本例可從分析比較各變量的相對(duì)誤差著手。</p&g

75、t;<p>　　各變量的相對(duì)誤差分別為</p><p>　　其中以θ0的相對(duì)誤差為0.468%，誤差最大，是M的5.85倍，是m的14.63倍。為了提高Cp的測(cè)量精度，可改善θ0的測(cè)量?jī)x表的精度，即提高測(cè)量水溫的溫度計(jì)精度，如采用貝克曼溫度計(jì)，分度值可達(dá)0.002，精度為0.001。則其相對(duì)誤差為</p><p>　　由此可見，變量的精度基本相當(dāng)。提高θ0精度后Cp的絕對(duì)誤差

76、為</p><p>　　ΔCp=3.52×10-3×0.2—1.41×10-2×0.02+0.206×0.002—1.08×10-2×0.05</p><p>　　=0.704×10-3—0.282×10-3 + 0.412×10-3--0.54×10-3</p>&

77、lt;p>　　=2.94×10-4J/(g·K)</p><p>　　系統(tǒng)提高精度后，Cp的真值為</p><p>　　Cp=0.8798±0.0003 J/(g·K)</p><p>　　第四章 有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則</p><p>　　在科學(xué)與工程中，該用幾位有效數(shù)字來(lái)表示測(cè)量或計(jì)算結(jié)果，總是

78、以一定位數(shù)的數(shù)字來(lái)表示。不是說(shuō)一個(gè)數(shù)值中小數(shù)點(diǎn)后面位數(shù)越多越準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)中從測(cè)量?jī)x表上所讀數(shù)值的位數(shù)是有限的，而取決于測(cè)量?jī)x表的精度，其最后一位數(shù)字往往是儀表精度所決定的估計(jì)數(shù)字。即一般應(yīng)讀到測(cè)量?jī)x表最小刻度的十分之一位。數(shù)值準(zhǔn)確度大小由有效數(shù)字位數(shù)來(lái)決定。</p><p><b>　　有效數(shù)字</b></p><p>　　一個(gè)數(shù)據(jù)，其中除了起定位作用的“0”外，其他

79、數(shù)都是有效數(shù)字。如0.0037只有兩位有效數(shù)字，而370.0則有四位有效數(shù)字。一般要求測(cè)試數(shù)據(jù)有效數(shù)字為4位。要注意有效數(shù)字不一定都是可靠數(shù)字。如測(cè)流體阻力所用的U形管壓差計(jì)，最小刻度是1mm，但我們可以讀到0.1mm，如342.4mmHg。又如二等標(biāo)準(zhǔn)溫度計(jì)最小刻度為0.1℃，我們可以讀到0.01℃，如15.16℃。此時(shí)有效數(shù)字為4位，而可靠數(shù)字只有三位，最后一位是不可靠的，稱為可疑數(shù)字。記錄測(cè)量數(shù)值時(shí)只保留一位可疑數(shù)字。</p

80、><p>　　為了清楚地表示數(shù)值的精度，明確讀出有效數(shù)字位數(shù)，常用指數(shù)的形式表示，即寫成一個(gè)小數(shù)與相應(yīng)10的整數(shù)冪的乘積。這種以10的整數(shù)冪來(lái)記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。</p><p>　　如 75200 有效數(shù)字為4位時(shí)，記為7.520*105</p><p>　　有效數(shù)字為3位時(shí)，記為7.52*105</p><p>　　有效數(shù)字為

81、2位時(shí)，記為7.5*105</p><p>　　0.00478 有效數(shù)字為4位時(shí)，記為4.780*10-3</p><p>　　有效數(shù)字為3位時(shí)，記為4.78*10-3</p><p>　　有效數(shù)字為2位時(shí)，記為4.7*10-3</p><p>　?。?）記錄測(cè)量數(shù)值時(shí)，只保留一位可疑數(shù)字。</p><p>　　

82、（2）當(dāng)有效數(shù)字位數(shù)確定后，其余數(shù)字一律舍棄。舍棄辦法是四舍六入，即末位有效數(shù)字后邊第一位小于5，則舍棄不計(jì)；大于5則在前一位數(shù)上增1；</p><p>　　等于5時(shí)，前一位為奇數(shù)，則進(jìn)1為偶數(shù)，前一位為偶數(shù)，則舍棄不計(jì)。這種舍入原則可簡(jiǎn)述為：“小則舍，大則入，正好等于奇變偶”。如：保留4位有效數(shù)字 3.71729→3.717;5.14285→5.143;7.62356→7.624;9.37656→9.376

83、;</p><p>　?。?）在加減計(jì)算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，應(yīng)與各數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的相同。例如將24.65 0.0082 1.632三個(gè)數(shù)字相加時(shí)，應(yīng)寫為 24.65 + 0.01 + 1.63 = 26.29。</p><p>　?。?）在乘除運(yùn)算中，各數(shù)所保留的位數(shù)，以各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)為準(zhǔn)；其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)亦應(yīng)與原來(lái)各數(shù)中有效數(shù)字最少的那個(gè)數(shù)相同。例如：0.01

84、21×25.64×1.05782應(yīng)寫成0.0121×25.64×1.06=0.328。上例說(shuō)明，雖然這三個(gè)數(shù)的乘積為0.3281823，但只應(yīng)取其積為0.328。</p><p>　?。?）在對(duì)數(shù)計(jì)算中，所取對(duì)數(shù)位數(shù)應(yīng)與真數(shù)有效數(shù)字位數(shù)相同。</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　

85、　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差的分析是人類認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過(guò)誤差分析，能使人們對(duì)事物獲得定量的概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性。它在審核這一功能中能夠?qū)Σ煌闆r的資料進(jìn)行處理，對(duì)需要的信息進(jìn)行概述，在本論文的開發(fā)過(guò)程中，由于本人是初次接觸，在知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)方面都存在著不足。加上時(shí)間也比較倉(cāng)促。因此，必然會(huì)存在一些缺陷和不足。雖然實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析在文明實(shí)際生活中的應(yīng)用不是很多，但是它代表未來(lái)的發(fā)展方向。通過(guò)這次論文設(shè)計(jì)，不是掌握了更多的專業(yè)知識(shí)，而是

86、學(xué)會(huì)了設(shè)計(jì)系統(tǒng)的思維方法，以及與同學(xué)們之間相互幫助的精神。</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在論文即將完成之際，回顧緊張而又充實(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，首先誠(chéng)摯的感謝指導(dǎo)老師zz，我從老師身上學(xué)到了很多東西。他認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我受益匪淺。他無(wú)論在理論上還是在實(shí)踐中，都給與我很大的幫助，使我得到很大的提高，這對(duì)于我

87、以后的工作和學(xué)習(xí)都有一種巨大的幫助，在此感謝他耐心的輔導(dǎo)。在撰寫論文階段，老師幾次審閱我們的論文，提出了許多寶貴意見。</p><p>　　另外，我還要感謝在這幾年來(lái)對(duì)我有所教導(dǎo)的老師，他們孜孜不倦的教誨不但讓我學(xué)到了很多知識(shí)，而且讓我掌握了學(xué)習(xí)的方法。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]朱鶴年.基礎(chǔ)物理實(shí)

88、驗(yàn)教程[M].北京:高等教育出版社,2003. </p><p>　　[2]權(quán)松.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的誤差理論[J].吉林建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào),2007.</p><p>　　[3]孫海燕.測(cè)量誤差與測(cè)量不確定度表述方法的研究[J].測(cè)繪工程程,2003.</p><p>　　[4] 張瑾《定量分析物理中誤差的判斷方法》 山西教育學(xué)院學(xué)報(bào) 2000.</p>