常數(shù)變易法及應(yīng)用課程設(shè)計(jì)

1、<p><b>　　綜合課程設(shè)計(jì)</b></p><p>　　題目：常數(shù)變易法及應(yīng)用</p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　§1摘要………………………………………………………….2</p><p>　　§2關(guān)鍵詞……………………………………………

2、…….........2</p><p>　　§3常數(shù)變易法簡介……………………………………….....…..2</p><p>　　§4常數(shù)變易水運(yùn)的幾個(gè)應(yīng)用…………………………….......…..2</p><p>　　4.1常數(shù)變易法在一階線性齊次微分方程中的應(yīng)用……………….2</p><p>　　4.2常數(shù)變易

3、法在二階常 系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用........6 </p><p>　　4.3常數(shù)變易法在三階常系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用.…….8</p><p>　　4.4常數(shù)變易法在二階變系數(shù)非齊次線性方程中的應(yīng)用……….…11</p><p>　　§5個(gè)人總結(jié)……………………………………………………14</p><p&g

4、t;　　§6參考文獻(xiàn)………………………………………………...….15</p><p><b>　　常數(shù)變易法及應(yīng)用</b></p><p>　　1 摘要：本文主要對(duì)常數(shù)變易法作了簡單的介紹和歸納整理了常微分方程常數(shù)變易法的幾個(gè)應(yīng)用，以便能夠熟悉的撐握常數(shù)變易法的解題思路和步驟且運(yùn)用到解決問題中。</p><p>　　2 關(guān)鍵詞：

5、常數(shù)變易法；微分方程；齊次；系數(shù)</p><p>　　3 常數(shù)變易法簡介</p><p>　　常數(shù)變易法是微分方程中解線性微分方程 的方法，就是將齊次線性微分方程通解中的變換為函數(shù),它是拉格朗日（Lagrangr Joseph Louis,1736-1813）十一年的研究成果，微分方程中所用的公是他的結(jié)論。</p><p>　　4 常數(shù)變易水運(yùn)的幾個(gè)應(yīng)用<

6、/p><p>　　4.1.常數(shù)變易法在一階線性齊次微分方程中的應(yīng)用</p><p>　　一階線性 （1）</p><p>　　它所對(duì)應(yīng)的齊次方程為 （2）</p><p>　　是變量分離方程，它的通解為</p><p&

7、gt;<b>　　（3）</b></p><p>　　下面討論一隊(duì)線性非齊次微分方程（1）的解法。</p><p>　　方程（2）與方程（1）既有聯(lián)系又有區(qū)別設(shè)想它們的解也有一定的聯(lián)系，（3）中的恒為常數(shù)， 它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，不再是常數(shù)，將是的待定函數(shù)，為此令</p><p><b>　　（4）<

8、;/b></p><p><b>　　兩邊積分得到</b></p><p>　　將（4）代入（1），得到</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　兩邊積分得</

9、b></p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　這里是任意的常數(shù)，將 代入 得到</p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　這就是方程的通解</b></p><p>　　求方程的通解，這里的為常數(shù)

10、</p><p><b>　　解 將方程改寫為</b></p><p><b>　　（7）</b></p><p>　　先求對(duì)應(yīng)齊次方程 </p><p><b>　　的通解，得</b></p><p>　　又令

11、 （8）</p><p><b>　　微分得到</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　將（8）、（9）代入（7）中再積分，得</p><p>　　將其代入（8）中，即得原方程的通解</p><p><b

12、>　　這里是任意的常數(shù)</b></p><p><b>　　求方程的通解</b></p><p><b>　　解 原方程改寫為</b></p><p><b>　?。?0）</b></p><p>　　把看作未知函數(shù)，看作自變量，這樣，對(duì)于及來說，方程（10）

13、就是一個(gè)線性非齊次方程</p><p>　　先求齊次線性方程 的通解為 </p><p><b>　　（11）</b></p><p><b>　　令，于是</b></p><p><b>　　代入（10），得到</b></p><p&

14、gt;<b>　　從而原方程的通解為</b></p><p>　　這里是任意的常數(shù)，另外也是方程和解。</p><p><b>　　初值問題</b></p><p><b>　　為了求初值問題</b></p><p>　　常數(shù)變易法可采用定積分形式，即（4）可取為</p&

15、gt;<p><b>　　（12）</b></p><p><b>　　代入（1）化簡得</b></p><p><b>　　積分得</b></p><p><b>　　代入（12）得到</b></p><p>　　將初值條件、代入上式于是所

16、求的初值問題為</p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　定理</b></p><p>　　一階非線性方程（1）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊次線性方程（2）之解；</p><p>　　若是（2）的非零解，而是（1）的解，則的通解可表示為，其中為任意常數(shù)；</p>

17、<p>　　方程（2）任一解的常數(shù)倍或兩解之和（或差）仍是方程（2）</p><p>　　證明：① 設(shè)、是非齊次線性方程的兩個(gè)不同的解，則應(yīng)滿足方程使</p><p><b>　　兩式相減有 </b></p><p>　　說明非齊次線性方程任意兩個(gè)解的差是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的解</p><p><b>

18、;　　②因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　故結(jié)論②成立。</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　故結(jié)論③成立。</b></p><p&

19、gt;　　4.2.常數(shù)變易法在二階常 系數(shù)非齊次線性微分方程中的應(yīng)用 </p><p>　　我們知道常數(shù)變易法用來求非齊次線性方程 的通解十分有效，現(xiàn)將常數(shù)變易法應(yīng)用于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中。該方法是新的，具有以下優(yōu)點(diǎn)；</p><p>　　無需求非齊次方程的特解，從而免去記憶二階微分方程各種情況特解的形式；</p><p>　　無需求出相應(yīng)齊次方程的 會(huì)部

20、解組，僅需求也一個(gè)即可；</p><p><b>　　可得其通解公式；</b></p><p>　　現(xiàn)考慮二階常系數(shù)非齊次線性微分方程</p><p><b>　　（1）</b></p><p><b>　　其對(duì)應(yīng)的齊次方程為</b></p><p>&

21、lt;b>　　（2）</b></p><p>　　下面對(duì)（2）的特征方程</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　有實(shí)數(shù)根和復(fù)根加以考慮</p><p>　　若為（3）的一實(shí)根，則是(2)的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（1）的解為通過求導(dǎo)得到</p><p>

22、<b>　　（4）</b></p><p>　　將（4）和代入（1）化簡得</p><p>　　這是關(guān)于的一階線性方程，其通解為</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　若為（3）的一復(fù)根，不妨設(shè)，且，則為(2)的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（1）的解為，與①的推到情形類似，不難

23、求得方（1的通解公式為 （6）</p><p><b>　　例求的通解</b></p><p>　　解： 相應(yīng)的特征方程為</p><p>　　有解，故設(shè)非齊次方程的解為</p><p><b>　　對(duì)其求導(dǎo)得</b></p><p

24、><b>　　代入原方程化簡得</b></p><p><b>　　其通解為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　從而原方程的通解為</b></p><p>　　4.3.常數(shù)變易法在三階常系數(shù)非齊次線性微分方

25、程中的應(yīng)用</p><p>　　前文中對(duì)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法進(jìn)行了討論，以下對(duì)一般的三階常系數(shù)非齊次線性微分方程詳細(xì)論述，此方法彌補(bǔ)了一般情況下特殊才能求解的缺陷，擴(kuò)大的適用范圍。</p><p>　　由前面知，二階常 系數(shù)非齊次線性微分方程</p><p>　　對(duì)應(yīng)的齊次微分方程 的特征方程為</p><p>　　若為實(shí)特征根

26、，通解為</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　若為一復(fù)根，通解為</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　三階常系數(shù)非齊次線性方程</p><p><b>　　（3）</

27、b></p><p><b>　　則對(duì)應(yīng)的齊次方程為</b></p><p><b>　　（4）</b></p><p><b>　　其對(duì)應(yīng)的特征方程為</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　

28、若為其一實(shí)根，為方程的根，則方程（3）的通解為</p><p><b>　　當(dāng)為實(shí)根時(shí)</b></p><p>　　當(dāng)為復(fù)根時(shí)，不妨設(shè)且</p><p>　　證明 因?yàn)樘卣鞣匠蹋?）是三階方程，所以它至少有一實(shí)根，不妨設(shè)為特征方程一實(shí)根，則是（4）的一解，這時(shí)可設(shè)（3）的解為，將其代入（3）中可得</p><p>　　因

29、為關(guān)天為特征方程一根，所以因此</p><p>　　這是關(guān)于的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其特征方程為</p><p>　　若其根為為實(shí)根，則由二階方程通解公式（1）可得</p><p><b>　　那么（3）的通解為</b></p><p>　　若其根為復(fù)根時(shí)，不妨設(shè)且則由二階方程通解公式（2）可得</p>

30、;<p><b>　　那么（3）的通解為</b></p><p><b>　　例 求解方程的通解</b></p><p>　　解 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為</p><p><b>　　其根為</b></p><p><b>　　方程，即，</b

31、></p><p><b>　　其根為</b></p><p><b>　　所以取代入公式</b></p><p><b>　　則其通解為</b></p><p>　　求解過程只需依次積分即可得</p><p><b>　　令</b

32、></p><p><b>　　那么方程的通解為</b></p><p><b>　?。槿我獬?shù)）</b></p><p>　　4.4.常數(shù)變易法在二階變系數(shù)非齊次線性方程中的應(yīng)用</p><p><b>　　二階變系數(shù)微分方程</b></p><p

33、>　　其中在某區(qū)間上連續(xù)，如果其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為</p><p>　　那么可以通過常數(shù)變易法求得非齊方程的通解</p><p>　　設(shè)非齊次方程具有形式</p><p>　　的特解，其中是兩個(gè)待定函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)數(shù)得</p><p><b>　　我們補(bǔ)充一個(gè)條件</b></p><p>&

34、lt;b>　　這樣</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　將其代入化簡得</b></p><p><b>　　聯(lián)立方程解得</b></p><p>　　積分并取得一個(gè)原函數(shù)</p><p><

35、;b>　　則所求的特解為</b></p><p><b>　　所以方程的通解為</b></p><p><b>　　例 求方程的通解</b></p><p>　　解 原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為</p><p><b>　　由得</b></p>&l

36、t;p><b>　　積分得</b></p><p><b>　　即，得其通解為</b></p><p>　　所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解是和1，為了求非齊次方程的一個(gè)特解，將換成待定函數(shù)滿足下 列方程</p><p><b>　　解得</b></p><p>　

37、　于是原方程的一個(gè)特解為</p><p><b>　　從而原方程的通解</b></p><p><b>　　5 個(gè)人總結(jié)</b></p><p>　　通過這次課程設(shè)計(jì)，鞏固了我之前的學(xué)習(xí)知識(shí)，并且也擴(kuò)充了我對(duì)常數(shù)變易法的理解，尤其是對(duì)常數(shù)變易法的理解更深刻、更熟悉，讓我對(duì)常數(shù)變易法有了一個(gè)重新的認(rèn)識(shí)，能熟悉地運(yùn)用常數(shù)變易

38、法來解決一些問題。</p><p><b>　　6 參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 鄧春紅.關(guān)于二、三階線性微分方程通解求法[J].零陵報(bào).2004,25(6):41-45.</p><p>　　[2] 劉許成.三階線性微分方和系數(shù)的常數(shù)化定理及應(yīng)用[J].濰坊學(xué)報(bào).2003，3（2）：39-40.</p><

39、;p>　　[3] 常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.（4）：22-26.</p><p>　　[4] 崔士襄.常數(shù)變易法來歷的探討[J].邯鄲農(nóng)業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1998，（1）：40-41.</p><p>　　[5] 俞岑源.關(guān)于一階線性常微分方程常數(shù)變易法的一點(diǎn)注記[J].2001，（3）：13-14.</p><p>　　[6] 田飛