學(xué)建模課程設(shè)計(jì)(血樣的分組檢驗(yàn))

1、<p><b>　　血樣的分組檢驗(yàn)</b></p><p>　　摘要: 本文以醫(yī)學(xué)的調(diào)查統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，進(jìn)行抽象，利用概率論知識(shí)組建模型，對(duì)何時(shí)分組和怎樣分組給出了詳盡的討論并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了符合實(shí)際情況的解釋，結(jié)合真實(shí)的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，最后對(duì)模型加以改進(jìn)和推廣。</p><p><b>　　問題描述</b></p><

2、;p>　　要在人群中（數(shù)量很大，基本上是健康人）找出某種病毒的感染者，為減少檢驗(yàn)次數(shù)（目的是降低費(fèi)用），通常采用篩選的辦法。即假設(shè)人群總數(shù)為，將人群分成組，每組的人數(shù)為，將每組的份血樣混在一起進(jìn)行化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則需要對(duì)改組的每個(gè)人重新進(jìn)行化驗(yàn)，以確定誰是病毒感染者；若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則表明該組全體成員均為陰性，不需要重新化驗(yàn)。</p><p>　　已知陽性的先驗(yàn)概率為，當(dāng)固定時(shí)，如何分組可使得化驗(yàn)

3、次數(shù)最?。?lt;/p><p>　　找出不應(yīng)分組的的取值范圍；</p><p>　　討論兩次分組的情況，即檢測為陽性的組再次分組檢驗(yàn)的情況。</p><p><b>　　問題的分析</b></p><p>　　本問題所述的情況在醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、病毒檢測等諸多醫(yī)學(xué)問題中是必須首要解決的問題。進(jìn)行某種疾病的調(diào)查需要大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，而統(tǒng)

4、計(jì)數(shù)據(jù)的取得主要靠實(shí)驗(yàn)的方法，這就不可避免地要面臨如何分組的問題是效率最高（花銷最少），找出最優(yōu)分組方法是本文的主要目的。</p><p>　　由于人群總體數(shù)固定，在討論問題時(shí)，我們可以借助于平均每人檢驗(yàn)次數(shù)這個(gè)量來衡量分組與不分組情況的好壞，這是概率模型的主要思路。對(duì)于該問題，若不分組，一個(gè)人一個(gè)人檢驗(yàn)，共需檢驗(yàn)次，平均每個(gè)人檢驗(yàn)一次；采取分組的方法，直觀上可以感覺到會(huì)降低檢驗(yàn)次數(shù)。分組時(shí)計(jì)算每個(gè)人的平均檢驗(yàn)次

5、數(shù)，若該值小于1，即認(rèn)為分組比不分組好。對(duì)于兩次分組的問題，也采用上述思路，只要兩次分組時(shí)平均每個(gè)人檢驗(yàn)次數(shù)小于一次分組時(shí)平均每個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)，就可以認(rèn)為兩次分組的方法優(yōu)于一次分組的方法。</p><p><b>　　模型假設(shè)</b></p><p>　　下面給出該模型的基本假設(shè)：</p><p>　　在實(shí)際操作中，多次分組的方法要比只分一次組

6、或不分組的方法操作起來繁瑣、耗時(shí)，且需要更多的人力把工作的重點(diǎn)放在分組的方案上，實(shí)際增加了開支。所以若在人數(shù)不太多，且兩種方法平均每人檢驗(yàn)次數(shù)相近，宏觀上解釋就是當(dāng)不分組或不繼續(xù)分組比分組或繼續(xù)分組的次數(shù)少或二者差距不大時(shí)，使用少分組的方法效率更高、費(fèi)用更省。本題由于敘述了人數(shù)很大的條件，故哪種方法平均每人檢驗(yàn)次數(shù)少，就采用那種方法；</p><p>　　可以理解先驗(yàn)概率為對(duì)某個(gè)人檢驗(yàn)一次，結(jié)果呈陽性的概率，并假

7、設(shè)先驗(yàn)概率在一次檢驗(yàn)中保持不變（即假設(shè)該概率只與疾病有關(guān)，而對(duì)同一種疾病該值為常量）；</p><p>　　每個(gè)人檢驗(yàn)一次是陽性的概率相互獨(dú)立（即不考慮是否有遺傳性與病毒的傳染）；</p><p>　　為了簡化模型便于討論分析，假設(shè)每次分組時(shí)都能達(dá)到平均分配，而且在進(jìn)行再次分組時(shí)采用的對(duì)呈陽性的組進(jìn)行組內(nèi)分組的形式。這在實(shí)際中是普遍采用的一種方法，它比把呈陽性的組的人重新打亂再進(jìn)行分組的效

8、率高出很多而且易被人接受。如果設(shè)分別表示第一、二次分組時(shí)分出的組數(shù)， 分別表示第一、二次分組每組的人數(shù)，則第一次分組總?cè)藬?shù)，第二次分組的總?cè)藬?shù)?？梢酝ㄟ^調(diào)整的值實(shí)現(xiàn)最優(yōu)分組方案。</p><p><b>　　模型的建立及求解</b></p><p>　　4.1 一次分組的情況</p><p>　　利用概率中的數(shù)學(xué)期望來計(jì)算平均每人的檢驗(yàn)次數(shù)。&

9、lt;/p><p>　　在一次分組的情況下，如上所示變量假設(shè)，每組的人數(shù)為（由假設(shè)（4），）；陽性的先驗(yàn)概率為；另設(shè)變量表示每人的平均檢驗(yàn)次數(shù)；，即為每個(gè)人檢驗(yàn)一次呈陰性的概率。因此，如果一組檢驗(yàn)為陰性，則其中每個(gè)人均不是病毒的感染者，在由每個(gè)人是否是感染者是相互獨(dú)立的（假設(shè)（3）），可得出現(xiàn)此種情況的概率為，每個(gè)人平均檢驗(yàn)次數(shù)為次（該組只檢驗(yàn)了一次）；如果一組檢驗(yàn)為陽性，該組中有病毒感染者，仍由假設(shè)（3），可知出現(xiàn)

10、此種情況的概率為，每個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為次（該組每個(gè)人又被一一檢驗(yàn)，故次數(shù)加一）。故可得的分布律為</p><p><b>　　由上表可得，</b></p><p>　　所以對(duì)于個(gè)人平均檢驗(yàn)次數(shù)為次。所以由假設(shè)（1）可得，只要，即分組后平均每人檢驗(yàn)次數(shù)小于不分組每個(gè)人檢驗(yàn)的次數(shù)（1次），就進(jìn)行分組檢驗(yàn)。由，可得以下約束條件：（后稱第一次分組的約束條件）</p&g

11、t;<p>　　此時(shí)對(duì)于不同疾病，不同，調(diào)整滿足上式，即可認(rèn)為分一次組比不分組好。</p><p>　　下面進(jìn)行更深層次的討論：</p><p>　　由于本題的人數(shù)是離散變量，故無法直接采用數(shù)學(xué)分析的方法，所以先把離散變量連續(xù)化。采用與離散變量變化趨勢相同的連續(xù)性函數(shù)，即設(shè)</p><p><b>　　，</b></p>

12、;<p>　　因?yàn)?，根?jù)上述條件及假設(shè)，對(duì)求導(dǎo)得，</p><p>　　由此可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少，而時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加，在時(shí)取得最大值。做出函數(shù)的圖像，見下圖：</p><p>　　對(duì)于本題所討論的離散值，從上圖可知在時(shí)，取得滿足條件時(shí)的最大值，也就是只有在時(shí)，調(diào)整的值總能滿足上述約束條件。即此時(shí)分一次組才比不分組每人平均檢驗(yàn)次數(shù)少。而對(duì)于大于此值的，不滿足約束條件，故

13、不分組比分一次組平均每人檢驗(yàn)次數(shù)少。</p><p><b>　　對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，</b></p><p>　　由函數(shù)取極值的必要條件得，</p><p>　　如果對(duì)于給定的（當(dāng)然必須滿足約束條件）值，可以通過數(shù)值解法求得使最小的值。（可以證明此值為函數(shù)在本題所給范圍內(nèi)的最小值）由于本題變量（每組人數(shù)）均為離散變量，故取與最相近的兩個(gè)值(上取整

14、和下取整)，代入，比較兩個(gè)函數(shù)值，找出較小的一個(gè)。此時(shí)的值即為只分一次組總次數(shù)最少的值。下面給出對(duì)于不同的先驗(yàn)概率，相應(yīng)的最小檢驗(yàn)次數(shù)的每組人數(shù)：</p><p>　　4.2 兩次分組的情況</p><p>　　這時(shí)，在檢驗(yàn)為陽性的組中繼續(xù)分組，按照假設(shè)的變量及另設(shè)表示兩次分組時(shí)每人平均檢驗(yàn)的次數(shù)，如5.1.1設(shè)每人檢驗(yàn)一次呈陰性的概率為。同5.1.1，若第一次分組時(shí)，一組的個(gè)人均為陰性的

15、概率為，此時(shí)每人平均檢驗(yàn)了次；若為陽性，此時(shí)的概率為，再次分組：第二次分組時(shí)，一組全為陰性的概率為，此時(shí)每個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為；若為陽性，此時(shí)的概率為，每個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為。由上所述，可得的分布率為：</p><p><b>　　由此可得</b></p><p><b>　　經(jīng)過化簡得</b></p><p>　　由實(shí)際

16、情況知，此時(shí)的。為使兩次分組的情況優(yōu)于一次分組的情況，只須。經(jīng)過計(jì)算，可得。此時(shí)發(fā)現(xiàn)兩次分組的約束條件與一次分組的約束條件只是取值范圍的不同，下面進(jìn)行進(jìn)一步的討論：</p><p>　　A． 由于時(shí)，第二次分組的約束條件在第一次分組的約束條件滿足時(shí)總是能夠滿足（），（即使當(dāng)?shù)谝淮畏纸M時(shí)取使最小時(shí)的值，我們?nèi)钥稍跐M足假設(shè)（4）的條件下，取，而此條件滿足二次分組的約束條件），故在大多數(shù)情況，能夠進(jìn)行一次分組時(shí)進(jìn)行第二

17、次分組，一定能使總次數(shù)減少。見下圖：</p><p>　　假設(shè)給定陽性先驗(yàn)概率為，由圖可以看出在時(shí)，滿足一次分組的約束條件，任意取小于30的值均可減少每人平均檢驗(yàn)次數(shù)（相對(duì)于不分組），只要令或更小的值但滿足條件，由于此時(shí)亦滿足兩次分組的約束條件，故分兩組可以比只分一組的平均每人檢驗(yàn)次數(shù)少。</p><p>　　B．在一次分組時(shí)，取時(shí)可知，代入到里發(fā)現(xiàn)上述兩值相等（見圖一中兩白點(diǎn)），故在做分

18、析5.1.2.A時(shí)沒有考慮的情況，實(shí)際上，當(dāng)時(shí)取，取先驗(yàn)概率分別代入到分一次組和分兩次組的平均每人檢驗(yàn)次數(shù)的期望中可得。由此可見，只要所給的值小于0.2929（而且滿足假設(shè)（4）），分兩次組就比分一次組要好。在此種情況下，還可以計(jì)算分兩次組時(shí)平均每人檢驗(yàn)次數(shù)的最小值，方法同分一次組時(shí)的情況，只要進(jìn)行求導(dǎo)便可，在此不贅述。所以不應(yīng)再分組的先驗(yàn)概率的取值范圍是。</p><p>　　在時(shí)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在值大于0.281

19、95時(shí)，有二次分組（此時(shí)第二次分組每組至多2人）的平均化驗(yàn)次數(shù)大于一次分組的情況發(fā)生，所以當(dāng)，且有時(shí)，不宜再分組; 當(dāng)，且有時(shí)，不宜再分組。</p><p><b>　　結(jié)果分析及模型檢驗(yàn)</b></p><p>　　綜上所述，當(dāng)所給陽性的先驗(yàn)概率時(shí)，不分組每個(gè)人一次一次的檢驗(yàn)可以使總次數(shù)最少；當(dāng)所給時(shí)，進(jìn)行一次檢驗(yàn)比分兩次組和不分組均可使總次數(shù)最少；當(dāng)時(shí)，分兩次組總

20、次數(shù)比分一次組總次數(shù)要少。</p><p>　　當(dāng)然這都是在假設(shè)的前提下做出的，現(xiàn)舉一例具體說明上述假設(shè)的合理性：設(shè)時(shí)，經(jīng)過上述計(jì)算可得，當(dāng)時(shí)可使在一次分組的情況下平均每人檢驗(yàn)次數(shù)最小，為滿足假設(shè)（4），可以?。ù藭r(shí)平均每人檢驗(yàn)次數(shù)僅比時(shí)多次，故在檢驗(yàn)100000人時(shí)總次數(shù)才多一次，故可忽略），然后取或更小（如），此時(shí)均可以做到分兩次組比分一次組平均每人檢驗(yàn)次數(shù)要小。當(dāng)然此時(shí)還可以繼續(xù)求滿足條件的第二次分組平均每

21、人檢驗(yàn)次數(shù)的最小值。</p><p>　　由于題給條件是人群數(shù)量很大，基本是健康人，所以可以認(rèn)為先驗(yàn)概率很小，所以5.1.2.B的情況在實(shí)際當(dāng)中可以不予考慮（此時(shí)的概率在0.3左右，相當(dāng)大）。</p><p><b>　　模型評(píng)價(jià)及推廣</b></p><p>　　在實(shí)際中利用本模型還是可以跟分組檢驗(yàn)一定依據(jù)的。但在實(shí)際操作中，由于多次分組需要

22、多次混合血樣，在操作中會(huì)帶來很大的麻煩；而且，在混合當(dāng)中可能會(huì)造成很大的誤差，特別是當(dāng)多次混合血樣比一次混合或不分組的平均每人檢驗(yàn)次數(shù)不是少很多的時(shí)候，進(jìn)行一次分組或不分組效果可能會(huì)更好。</p><p>　　本模型可以說在所給定的假設(shè)內(nèi)解決了該問題。如果說對(duì)于假設(shè)的合理性做出判斷的話，如上所述，假設(shè)（1）在實(shí)際當(dāng)中可能不會(huì)被作為分組與不分組的判斷標(biāo)準(zhǔn)；假設(shè)（2）與（3）是可以接受的，直觀上可以認(rèn)為以陽性的先驗(yàn)概

23、率至于不同疾病有關(guān)，而不會(huì)與檢驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，同時(shí)在沒有遺傳病的情況下，做出假設(shè)（3）也是合理的；假設(shè)（4）在人群數(shù)目較小時(shí)是很容易實(shí)現(xiàn)的，但當(dāng)人群數(shù)目很大時(shí)，很難嚴(yán)格的達(dá)到平均分組的條件。例如對(duì)某幾個(gè)地區(qū)某病毒的感染情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)時(shí)，往往利用分治法的思想把人群按單位或更小的行政區(qū)域進(jìn)行分區(qū)調(diào)查，再將所有的數(shù)字匯總。這種分組的方法并不能保證平均分配人數(shù)。如果人群總數(shù)在幾十到幾千的范圍內(nèi)除了利用給出的兩種方法外，還可以利用二分法的思想將人群

24、重復(fù)的進(jìn)行二分操作，這樣也可以很快地得到理想的結(jié)果。</p><p>　　影響此模型的因素還有先驗(yàn)概率，先驗(yàn)概率是一定人群中的患病概率，如果人群的情況有所變化可能會(huì)對(duì)模型給出的結(jié)論有所影響。比如普通人群中艾滋病病毒抗體的感染率是很低的，如果用這個(gè)概率作為先驗(yàn)概率去進(jìn)行對(duì)以男性同／雙性戀者為對(duì)象的估計(jì)中，往往會(huì)出現(xiàn)較大的偏差。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b&