導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用 論文

1、<p>　　導數(shù)與微分在經(jīng)濟中的簡單應用</p><p><b>　　作者：****</b></p><p><b>　　一、邊際和彈性</b></p><p>　?。ㄒ唬┻呺H與邊際分析</p><p>　　邊際概念是經(jīng)濟學中的一個重要概念，通常指經(jīng)濟變量的變化率，即經(jīng)濟函數(shù)的導數(shù)稱為邊際

2、。而利用導數(shù)研究經(jīng)濟變量的邊際變化的方法，就是邊際分析方法。</p><p>　　1、總成本、平均成本、邊際成本</p><p>　　總成本是生產(chǎn)一定量的產(chǎn)品所需要的成本總額，通常由固定成本和可變成本兩部分構成。用c(x)表示，其中x表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，c(x)表示當產(chǎn)量為x時的總成本。</p><p>　　不生產(chǎn)時，x=0，這時c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本

3、。</p><p>　　平均成本是平均每個單位產(chǎn)品的成本，若產(chǎn)量由x0變化到，則：</p><p>　　稱為c(x)在內的平均成本，它表示總成本函數(shù)c(x)在內的平均變化率。</p><p>　　而稱為平均成本函數(shù)，表示在產(chǎn)量為x時平均每單位產(chǎn)品的成本。</p><p>　　例1，設有某種商品的成本函數(shù)為：</p><p&

4、gt;　　其中x表示產(chǎn)量（單位：噸），c(x)表示產(chǎn)量為x噸時的總成本（單位：元），當產(chǎn)量為400噸時的總成本及平均成本分別為：</p><p>　　如果產(chǎn)量由400噸增加到450噸，即產(chǎn)量增加=50噸時，相應地總成本增加量為：</p><p>　　這表示產(chǎn)量由400噸增加到450噸時，總成本的平均變化率，即產(chǎn)量由400噸增加到450噸時，平均每噸增加成本13.728元。</p>

5、;<p>　　類似地計算可得：當產(chǎn)量為400噸時再增加1噸，即=1時，總成本的變化為：</p><p>　　表示在產(chǎn)量為400噸時，再增加1噸產(chǎn)量所增加的成本。</p><p>　　產(chǎn)量由400噸減少1噸，即=-1時，總成本的變化為：</p><p>　　表示產(chǎn)量在400噸時，減少1噸產(chǎn)量所減少的成本。</p><p>　　在經(jīng)

6、濟學中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加或減少一個單位產(chǎn)品時所增加或減少的總成本。即有如下定義：</p><p>　　定義1：設總成本函數(shù)c=c(x)，且其它條件不變，產(chǎn)量為x0時，增加（減少）1個單位產(chǎn)量所增加（減少）的成本叫做產(chǎn)量為x0時的邊際成本。即：</p><p><b>　　其中=1或=-1。</b></p><p>　　由例1的計算可知，在

7、產(chǎn)量x0=400噸時，增加1噸的產(chǎn)量時，邊際成本為13.7495；減少1噸的產(chǎn)量時，邊際成本為13.7505。由此可見，按照上述邊際成本的定義，在產(chǎn)量x0=400噸時的邊際成本不是一個確定的數(shù)值。這在理論和應用上都是一個缺點，需要進一步的完善。</p><p>　　注意到總成本函數(shù)中自變量x的取值，按經(jīng)濟意義產(chǎn)品的產(chǎn)量通常是取正整數(shù)。如汽車的產(chǎn)量單位“輛”，機器的產(chǎn)量單位“臺”，服裝的產(chǎn)量單件“件”等，都是正整數(shù)

8、。因此，產(chǎn)量x是一個離散的變量，若在經(jīng)濟學中，假定產(chǎn)量的單位是無限可分的，就可以把產(chǎn)量x看作一個連續(xù)變量，從而可以引人極限的方法，用導數(shù)表示邊際成本。</p><p>　　事實上，如果總成本函數(shù)c(x)是可導函數(shù)，則有：</p><p>　　由極限存在與無窮小量的關系可知：</p><p><b>　?。?）</b></p>&l

9、t;p><b>　　其中，當很小時有：</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　產(chǎn)品的增加=1時，相對于產(chǎn)品的總產(chǎn)量而言，已經(jīng)是很小的變化了，故當=1時（2）成立，其誤差也滿足實際問題的需要。這表明可以用總成本函數(shù)在x0處的導數(shù)近似地代替產(chǎn)量為x0時的邊際成本。如在例1中，產(chǎn)量x0=400時的邊際成本近似地為

10、，即：</p><p>　　誤差為0.05，這在經(jīng)濟上是一個很小的數(shù)，完全可以忽略不計。而且函數(shù)在一點的導數(shù)如果存在就是唯一確定的。因此，現(xiàn)代經(jīng)濟學把邊際成本定義為總成本函數(shù)c(x)在x0處的導數(shù)，這樣不僅克服了定義1邊際成本不唯一的缺點，也使邊際成本的計算更為簡便。</p><p>　　定義2：設總成本函數(shù)c(x)為一可導函數(shù)，稱</p><p>　　為產(chǎn)量是x0

11、時的邊際成本。</p><p>　　其經(jīng)濟意義是：近似地等于產(chǎn)量為x0時再增加（減少）一個單位產(chǎn)品所增加（減少）的總成本。</p><p>　　若成本函數(shù)c(x)在區(qū)間I內可導，則為c(x)在區(qū)間I內的邊際成本函數(shù)，產(chǎn)量為x0時的邊際為邊際成本函數(shù)在x0處的函數(shù)值。</p><p>　　例2：已知某商品的成本函數(shù)為：</p><p><

12、b>　　（Q表示產(chǎn)量）</b></p><p>　　求：（1）當Q=10時的平均成本及Q為多少時，平均成本最??？</p><p>　　（2）Q=10時的邊際成本并解釋其經(jīng)濟意義。</p><p>　　解：（1）由得平均成本函數(shù)為：</p><p><b>　　當Q=10時：</b></p>

13、<p><b>　　記，則</b></p><p>　　令 得：Q=20</p><p>　　而，所以當Q=20時，平均成本最小。</p><p>　　這個不能省去的，見課本P155（第二充分條件）</p><p>　?。?）由得邊際成本函數(shù)為：</p><p>　　則當產(chǎn)量Q=

14、10時的邊際成本為5，其經(jīng)濟意義為：當產(chǎn)量為10時，若再增加（減少）一個單位產(chǎn)品，總成本將近似地增加（減少）5個單位。</p><p>　　2、總收益、平均收益、邊際收益</p><p>　　總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得以的全部收入，表示為R(x)，其中x表示銷售量（在以下的討論中，我們總是假設銷售量、產(chǎn)量、需求量均相等）。</p><p>　　平均收益函數(shù)為，

15、表示銷售量為x時單位銷售量的平均收益。</p><p>　　在經(jīng)濟學中，邊際收益指生產(chǎn)者每多（少）銷售一個單位產(chǎn)品所增加（減少）的銷售總收入。</p><p>　　按照如上邊際成本的討論，可得如下定義。</p><p>　　定義3：若總收益函數(shù)R（x）可導，稱</p><p>　　為銷售量為x0時該產(chǎn)品的邊際收益。</p>&l

16、t;p>　　其經(jīng)濟意義為在銷售量為x0時，再增加（減少）一個單位的銷售量，總收益將近似地增加（減少）個單位。</p><p>　　稱為邊際收益函數(shù)，且</p><p>　　3、總利潤、平均利潤、邊際利潤</p><p>　　總利潤是指銷售x個單位的產(chǎn)品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記L(x)為總利潤，則：</p><p>　?。?/p>

17、其中x表示銷售量）</p><p><b>　　稱為平均利潤函數(shù)</b></p><p>　　定義4：若總利潤函數(shù)L(x)為可導函數(shù)，稱</p><p>　　為L(x)在x0處的邊際利潤。</p><p>　　其經(jīng)濟意義為在銷售量為x0時，再多（少）銷售一個單位產(chǎn)品所增加（減少）的利潤。</p><p

18、>　　根據(jù)總利潤函數(shù)，總收益函數(shù)、總成本函數(shù)的定義及函數(shù)取得最大值的必要條件與充分條件可得如下結論。</p><p><b>　　由定義，</b></p><p><b>　　令</b></p><p>　　結論1：函數(shù)取得最大利潤的必要條件是邊際收益等于邊際成本。</p><p>　　又

19、由L(x)取得最大值的充分條件：</p><p><b>　　可得：</b></p><p>　　結論2：函數(shù)取得最大利潤的充分條件是：邊際收益等于邊際成本且邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率。</p><p>　　結論1與結論2稱為最大利潤原則。</p><p>　　例3：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本2000元，每生

20、產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元。已知總收益R為年產(chǎn)量Q的函數(shù)，且</p><p>　　問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，總利潤最大？此時總利潤是多少？</p><p>　　解：由題意總成本函數(shù)為：</p><p>　　從而可得利潤函數(shù)為：</p><p><b>　　令</b></p><p>　　所以Q=3

21、00時總利潤最大，此時L(300)=25000，即當年產(chǎn)量為300個單位時，總利潤最大，此時總利潤為25000元。</p><p>　　若已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=P(x)，P為單位產(chǎn)品售價，x為產(chǎn)品需求量，則需求與收益之間的關系為：</p><p><b>　　這時</b></p><p>　　其中為邊際需求，表示當需求量為x時，再增加一個單

22、位的需求量，產(chǎn)品價格近似地增加個單位。關于其它經(jīng)濟變量的邊際，這里不再贅述。我們以一道例題結束邊際的討論。</p><p>　　例4：設某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其中P為價格，x為需求量，求邊際收入函數(shù)以及x=20、50和70時的邊際收入，并解釋所得結果的經(jīng)濟意義。</p><p>　　解：由題設有，于是，總收入函數(shù)為：</p><p>　　于是邊際收入函數(shù)為：</

23、p><p>　　由所得結果可知，當銷售量（即需求量）為20個單位時，再增加銷售可使總收入增加，多銷售一個單位產(chǎn)品，總收入約增加12個單位；當銷售量為50個單位時，總收入的變化率為零，這時總收入達到最大值，增加一個單位的銷售量，總收入基本不變；當銷售量為70個單位時，再多銷售一個單位產(chǎn)品，反而使總收入約減少8個單位，或者說，再少銷售一個單位產(chǎn)品，將使總收入少損失約8個單位。</p><p>　　

24、（二）彈性與彈性分析</p><p>　　彈性概念是經(jīng)濟學中的另一個重要概念，用來定量地描述一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化的反應程度。</p><p><b>　　1．問題的提出</b></p><p>　　設某商品的需求函數(shù)為，其中P為價格。當價格P獲得一個增量時，相應地需求量獲得增量，比值表示Q對P的平均變化率，但這個比值是一個與度量單位

25、有關的量。</p><p>　　比如，假定該商品價格增加1元，引起需求量降低10個單位，則；若以分為單位，即價格增加100分（1元），引起需求量降低10個單位，則。由此可見，當價格的計算單位不同時，會引起比值的變化。為了彌補這一缺點，采用價格與需求量的相對增量，它們分別表示價格和需求量的相對改變量，這時無論價格和需求量的計算單位怎樣變化，比值都不會發(fā)生變化，它表示Q對P的平均相對變化率，反映了需求變化對價格變化的

26、反應程度。</p><p><b>　　2、彈性的定義</b></p><p>　　定義1：設函數(shù)在點的某鄰域內有定義，且，如果極限</p><p>　　存在，則稱此極限值為函數(shù)在點x0處的點彈性，記為；</p><p><b>　　稱比值</b></p><p>　　為函數(shù)

27、在之間的平均相對變化率，經(jīng)濟上也叫做點之間的弧彈性。</p><p>　　由定義可知：，且當時，有：</p><p>　　即點彈性近似地等于弧彈性。</p><p>　　如果函數(shù)在區(qū)間（a、b）內可導，且，則稱為函數(shù)在區(qū)間（a、b）內的點彈性函數(shù)，簡稱為彈性函數(shù)。</p><p>　　函數(shù)在點x0處的點彈性與之間的弧彈性的數(shù)值可以是正數(shù)，也可

28、以是負數(shù)，取決于變量y與變量x是同方向變化（正數(shù)）還是反方向變化（負數(shù)）。彈性數(shù)值絕對值的大小表示變量變化程度的大小，且彈性數(shù)值與變量的度量單位無關。下面給出證明。</p><p>　　設為一經(jīng)濟函數(shù)，變量x與y的度量單位發(fā)生變化后，自變量由x變?yōu)?，函?shù)值由y變?yōu)?，且，則。</p><p><b>　　證明：</b></p><p><b

29、>　　即彈性不變。</b></p><p>　　由此可見，函數(shù)的彈性（點彈性與弧彈性）與量綱無關，即與各有關變量所用的計量單位無關。這使得彈性概念在經(jīng)濟學中得到廣泛應用，因為經(jīng)濟中各種商品的計算單位是不盡相同的，比較不同商品的彈性時，可不受計量單位的限制。</p><p>　　下面介紹幾個常用的經(jīng)濟函數(shù)的彈性。</p><p><b>　

30、　3、需求的價格彈性</b></p><p>　　需求指在一定價格條件下，消費者愿意購買并且有支付能力購買的商品量。消費者對某種商品的需求受多種因素影響，如價格、個人收入、預測價格、消費嗜好等，而價格是主要因素。因此在這里我們假設除價格以外的因素不變，討論需求對價格的彈性。</p><p>　　定義2：設某商品的市場需求量為Q，價格為P，需求函數(shù)Q=Q(P)可導，則稱</

31、p><p>　　為該商品的需求價格彈性，簡稱為需求彈性，通常記為。</p><p>　　需求彈性表示商品需求量Q對價格P變動的反應強度。由于需求量與價格P反方向變動，即需求函數(shù)為價格的減函數(shù)，故需求彈性為負值，即。因此需求價格彈性表明當商品的價格上漲（下降）1%時，其需求量將減少（增加）約。</p><p>　　在經(jīng)濟學中，為了便于比較需求彈性的大小，通常取的絕對值，并

32、根據(jù)的大小，將需求彈性化分為以下幾個范圍。</p><p>　?、?當=1（即）時，稱為單位彈性，這時當商品價格增加（減少）1%時，需求量相應地減少（增加）1%，即需求量與價格變動的百分比相等。</p><p>　?、?當>1（即）時，稱為高彈性（或富于彈性），這時當商品的價格變動1%時，需求量變動的百分比大于1%，價格的變動對需求量的影響較大。</p><p&g

33、t;　?、?當<1（即）時，稱為低彈性（或缺乏彈性），這時當商品的價格變動1%，需求量變動的百分比小于1%，價格的變動對需求量的影響不大。</p><p>　?、?當=0（即）時，稱為需求完全缺乏彈性，這時，不論價格如何變動，需求量固定不變。即需求函數(shù)的形式為Q=K（K為任何既定常數(shù)）。如果以縱坐標表示價格，橫坐標表示需求量，則需求曲線是垂直于橫坐標軸的一條直線（如圖(1)）。</p><

34、;p>　?、?當（即）時，稱為需求完全富于彈性。表示在既定價格下，需求量可以任意變動。即需求函數(shù)的形式是P=K（K為任何既定常數(shù)），這時需求曲線是與橫軸平行的一條直線（如圖(2)）。</p><p>　　圖（1） 圖（2）</p><p>　　在商品經(jīng)濟中，商品經(jīng)營者關心的是提價（）或降價（）對總收益的影響。下面我們就利用彈性的概念

35、，來分析需求的價格彈性與銷售者的收益之間的關系。</p><p><b>　　事實上，由于</b></p><p>　　可見，由價格P的微小變化（很小時）而引起的銷售收益R=PQ的改變量為</p><p><b>　　由可知，，于是</b></p><p>　　當時（單位彈性）收益的改變量是較價格改

36、變量的高階無窮小，價格的變動對收益沒有明顯的影響。當（高彈性），需求量增加的幅度百分比大于價格下降（上?。┑陌俜直?，降低價格（）需求量增加即購買商品的支出增加，即銷售者總收益增加（），可以采取薄利多銷多收益的經(jīng)濟策略；提高價格（）會使消費者用于購買商品的支出減少，即銷售收益減少（）。</p><p>　　當時，（低彈性）需求量增加（減少）的百分低于價格下降（上?。┑陌俜直龋档蛢r格（）會使消費者用于購買商品的支出

37、減少，即銷售收益減少（）；提高價格會使總收益增加（）。</p><p>　　綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨著需求彈性的變化而變化，其關系如圖（3）</p><p><b>　　圖（3）</b></p><p>　　例1：設某商品的需求函數(shù)為</p><p>　?。?）求需求彈性函數(shù)及P=6時的需求彈性，并給出

38、經(jīng)濟解釋。</p><p>　?。?）當P取什么值時，總收益最大？最大總收益是多少？</p><p><b>　　解：（1）</b></p><p><b>　　低彈性</b></p><p>　　經(jīng)濟意義為當價格P=6時，若增加1%，則需求量下降1/3%，而總收益增加（）。</p>

39、<p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　令 </b></p><p>　　且當P=12時，R’’<0</p><p>　　故當價格P =12時，總收益最大，最大總收益為72。</p><p>　　例2：已知在某企業(yè)某種產(chǎn)品的需求彈性在1.3-2.1之間，如

40、果該企業(yè)準備明年將價格降低10%，問這種商品的需求量預期會增加多少？總收益預期會增加多少？</p><p>　　解：由前面的分析可知</p><p><b>　　于是當時</b></p><p><b>　　當時</b></p><p>　　可見，明年降價10%時，企業(yè)銷售量預期將增加約13% -

41、21%；總收益預期將增加約3% - 11%。</p><p><b>　　4、供給的價格彈性</b></p><p>　　定義3：設某商品供給函數(shù)可導，（其中P表示價格，Q表示供給量）則稱：</p><p>　　為該商品的供給價格彈性，簡稱供給彈性，通常用表示。</p><p>　　由于同方向變化，故>0。它表明當

42、商品價格上漲1%時，供給量將增加%。</p><p>　　對的討論，完全類似于需求彈性，這里不再重復。</p><p>　　至于其它經(jīng)濟變量的彈性，讀者可根據(jù)上面介紹的需求彈性與供給彈性，進行類似的討論。</p><p><b>　　練習題</b></p><p>　　1、設某商品的需求函數(shù)和成本函數(shù)分別為：</p

43、><p>　　其中x為銷售量（產(chǎn)量），P為價格。求邊際利潤函數(shù)，并計算x=150和x=400時的邊際利潤，解釋所得結果的經(jīng)濟意義。</p><p>　　2．某種商品的需求量Q與價格P（單位：元）的關系式為：</p><p>　?。?）求需求彈性函數(shù)</p><p>　?。?）當價格P=10元時，再增加1%，該商品的需求量Q如何變化。</p&