數(shù)學(xué)建模論文-城市重金屬污染及地質(zhì)環(huán)境演變分析

1、<p>　　2011高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽</p><p><b>　　承 諾 書(shū)</b></p><p>　　我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.</p><p>　　我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。&

2、lt;/p><p>　　我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。</p><p>　　我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。</p><p>　　我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C

3、/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： </p><p>　　我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： </p><p>　　所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：中國(guó)石油大學(xué)（北京） </p><p>　　參賽隊(duì)員

4、(打印并簽名) ：1.崔天賜 </p><p>　　2. 李彥奇 </p><p>　　3. 劉逸飛 </

5、p><p>　　指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： </p><p>　　日期： 年 月 日</p><p>　　賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：</p><p>　　2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽</p><p>&

6、lt;b>　　編 號(hào) 專 用 頁(yè)</b></p><p>　　賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：</p><p>　　賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：</p><p>　　全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：</p><p>　　全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：</p><

7、;p>　　城市重金屬污染及地質(zhì)環(huán)境演變分析</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　在問(wèn)題1中，我們首先根據(jù)離散的300余個(gè)樣本的坐標(biāo)及其相應(yīng)的重金屬濃度，用matlab分別擬合繪制8種重金屬元素濃度隨坐標(biāo)位置變化的濃度分布漸變圖，用不同顏色代表不同的污染程度，定性直觀地看出8種重金屬元素在該城區(qū)的空間分布。同時(shí)，我們引入污染指數(shù)，利用地累

8、積指數(shù)法對(duì)8種元素在5塊區(qū)域的污染程度進(jìn)行定量計(jì)算，并且對(duì)污染程度進(jìn)行分級(jí)，不僅定量分析了不同區(qū)域的重金屬污染情況，而且對(duì)第一部分的擬合圖做了檢驗(yàn)，兩部分吻合很好。</p><p>　　在問(wèn)題2中，我們建立主成分分析模型，運(yùn)用主成分分析法，用較少的新變量（主成分）代替原來(lái)較多的舊變量（8種重金屬元素），既減少了變量個(gè)數(shù)，又保證了新變量能夠覆蓋大部分信息。這樣便可以比較容易地通過(guò)主成分挖掘出各污染元素與區(qū)域功能之間

9、的關(guān)系，進(jìn)而確定重金屬污染物的來(lái)源。 在問(wèn)題3中，我們分析了重金屬污染物在地層中的擴(kuò)散屬于“分子擴(kuò)散”而無(wú)“對(duì)流擴(kuò)散”，符合菲克擴(kuò)散定律的傳播特征。我們根據(jù)空間中任一體積元內(nèi)金屬污染物的物料守恒，結(jié)合反映金屬元素傳播特征的菲克擴(kuò)散定律，建立金屬元素在地層中的擴(kuò)散模型，得到濃度關(guān)于坐標(biāo)的拉普拉斯方程。我們采用有限差分法進(jìn)行數(shù)值求解，在問(wèn)題一濃度分布圖的基礎(chǔ)上，利用直觀濃度最大點(diǎn)附近的若干已知樣本數(shù)據(jù)作為邊界條件，借助Excel進(jìn)行

10、迭代運(yùn)算，使所得到的數(shù)值解與真實(shí)情況最大誤差為0.001。再用matlab篩選出濃度最大點(diǎn)的坐標(biāo)即為要求的污染源位置。由此分別求得8種重金屬的污染源。</p><p>　　在問(wèn)題4中，我們首先分析了研究地質(zhì)環(huán)境轉(zhuǎn)換的具體內(nèi)容，也就是既要研究不同區(qū)域地質(zhì)環(huán)境狀況的“橫向?qū)Ρ取?，又要研究不同時(shí)間地質(zhì)環(huán)境狀況的“縱向?qū)Ρ取?，?duì)前三問(wèn)建立的模型進(jìn)行了優(yōu)缺點(diǎn)分析。并且提出要從物質(zhì)組成、地質(zhì)結(jié)構(gòu)、動(dòng)力作用三個(gè)方面補(bǔ)充收集14

11、類信息，建立層次分析模型，得到了一套地質(zhì)環(huán)境狀況評(píng)價(jià)指標(biāo)，也就是各因素所占權(quán)重（權(quán)重的變化可以看出演化的過(guò)程）及綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)。再將不同時(shí)期的評(píng)價(jià)體系進(jìn)行對(duì)比，即可得出城市地質(zhì)環(huán)境在的演變模式。</p><p>　　關(guān)鍵詞：地污染指數(shù)；主成分分析；菲克定律；層次分析</p><p><b>　　問(wèn)題重述</b></p><p>　　為了對(duì)某城市

12、城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查，研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，現(xiàn)將城區(qū)按功能劃分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、……、5類區(qū)，進(jìn)行研究，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動(dòng)影響的程度不同。</p><p>　　將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)表層土進(jìn)行取樣、編號(hào)，并用GPS記錄采樣點(diǎn)的位置。應(yīng)用專門(mén)儀器測(cè)試分析，獲得了每個(gè)樣本所含的多種

13、化學(xué)元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠(yuǎn)離人群及工業(yè)活動(dòng)的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。</p><p>　　這樣便得到了采樣點(diǎn)的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)；8種主要重金屬元素在采樣點(diǎn)處的濃度；8種主要重金屬元素的背景值。</p><p>　　依據(jù)以上信息，通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決以下問(wèn)題：</p><p>　?。?）給出8種主要重金屬元

14、素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。</p><p>　?。?）通過(guò)數(shù)據(jù)分析，說(shuō)明重金屬污染的主要原因。</p><p>　?。?）分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。</p><p>　　（4）分析所建立模型的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，還應(yīng)收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問(wèn)題？<

15、/p><p><b>　　問(wèn)題分析</b></p><p>　　對(duì)于問(wèn)題1，分析題目要求可以看出它有兩部分構(gòu)成：重金屬元素在各區(qū)域的空間分布分析，以及不同區(qū)域重金屬污染程度評(píng)價(jià)。要分析重金屬元素在各區(qū)域的空間分布，結(jié)合題目所給出的離散的樣品點(diǎn)，我們想到用matlab擬合出每種重金屬元素的分布圖，可以直觀地看出重金屬的分布特征。對(duì)于第二部分，要想對(duì)不同區(qū)域重金屬的污染程度進(jìn)

16、行評(píng)價(jià)，只要引入一個(gè)污染評(píng)價(jià)指標(biāo)便可以定量評(píng)價(jià)每個(gè)區(qū)域的污染程度。</p><p>　　對(duì)于問(wèn)題2，要分析重金屬污染的原因，也就是各種金屬的來(lái)源，需要找出區(qū)域的功能與不同污染元素之間的關(guān)系。但由于污染元素一共有8種，變量因子過(guò)多，且原始數(shù)據(jù)紛雜，不利于找出內(nèi)在聯(lián)系，于是想到用較少的新變量代替原來(lái)較多的舊變量，而且保證新變量盡可能多的保留原來(lái)變量所反映的信息。這樣就可以通過(guò)分析少量新變量之間的關(guān)系，挖掘出內(nèi)在聯(lián)系。

17、主成分分析法便可以實(shí)現(xiàn)這一目的。</p><p>　　對(duì)于問(wèn)題3，要得到污染源，必須要得到地層中重金屬元素的濃度分布，以求濃度最大點(diǎn)。首先我們要明確重金屬元素在地層中的擴(kuò)散規(guī)律，然后根據(jù)這一規(guī)律建立擴(kuò)散模型。通過(guò)查閱大量文獻(xiàn)，我們總結(jié)出重金屬元素在地層中的擴(kuò)散只有“分子擴(kuò)散”，而無(wú)“對(duì)流擴(kuò)散”，滿足菲克定律。這樣我們根據(jù)特定地層區(qū)域內(nèi)重金屬“物料守恒”建立了擴(kuò)散模型，求得了地層中的濃度分布，進(jìn)而得到濃度最大點(diǎn)也就

18、是污染源。</p><p>　　對(duì)于問(wèn)題4，要研究地質(zhì)環(huán)境演變時(shí)，既要研究不同區(qū)域地質(zhì)環(huán)境狀況的“橫向?qū)Ρ取保忠芯坎煌瑫r(shí)間地質(zhì)環(huán)境狀況的“縱向?qū)Ρ取?，并且要明確地質(zhì)環(huán)境這一概念所包含的因素（重金屬污染只是其中一種）。明確了以上兩點(diǎn)也就明確了我們研究地質(zhì)環(huán)境演變規(guī)律所需要的信息。而在“橫向?qū)Ρ取边^(guò)程中，我們必須要對(duì)地質(zhì)環(huán)境狀況有一套評(píng)價(jià)指標(biāo)，也就是各因素所占權(quán)重（權(quán)重的變化可以看出演化的過(guò)程）及綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)?！?/p>

19、縱向?qū)Ρ取敝恍枰獙?duì)比不同時(shí)間同一區(qū)域的地質(zhì)環(huán)境狀況即可。</p><p><b>　　模型假設(shè)</b></p><p>　?、僦亟饘傥廴疚餄舛仍诳臻g的分布連續(xù)；</p><p>　?、谥亟饘傥廴疚镌诘貙又械臄U(kuò)散系數(shù)為常數(shù)；</p><p>　?、墼摮菂^(qū)的重金屬污染物分布在短時(shí)間內(nèi)不隨時(shí)間變化，是穩(wěn)定狀態(tài)。</p&g

20、t;<p><b>　　模型建立與求解</b></p><p>　　4.1重金屬元素分布與不同區(qū)域污染程度（問(wèn)題1）</p><p>　　4.1.1各重金屬元素在不同區(qū)域的分布圖</p><p>　　要分析8種重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，我們想到了根據(jù)給出的樣本測(cè)量數(shù)據(jù)，把8種元素分開(kāi)討論，剔除樣本中的特異點(diǎn)后，對(duì)于每一種元素都

21、用matlab軟件的“griddata”語(yǔ)句繪制出該種元素在5個(gè)區(qū)域內(nèi)的連續(xù)分布（在不同區(qū)域內(nèi)的濃度大小）的網(wǎng)格圖，進(jìn)而直觀地看出不同區(qū)域每一種重金屬污染的程度。如下圖，是通過(guò)matlab繪制的各種重金屬元素的污染分布圖（繪圖源代碼見(jiàn) 附錄—Matlab程序—第1問(wèn)）。</p><p>　　由于圖片所占頁(yè)面空間太大，這里只貼出As、Cd元素的分布圖作為代表，剩下6種元素的分布圖見(jiàn)附件。</p>&l

22、t;p>　　對(duì)于8種重金屬元素的分布圖來(lái)說(shuō)，紅色表示濃度最大，紫色表示濃度最小。顏色由暖色至冷色表示濃度遞減。</p><p>　　圖1：As元素在各區(qū)域的分布</p><p>　　從圖1中可以直觀地看出As元素主要分布在工業(yè)區(qū)、生活區(qū)與綠地周?chē)诮煌▍^(qū)分布較少。在山區(qū)大部分地區(qū)分布較少，少部分地方有分布。</p><p>　　圖2：Cd元素在各區(qū)域的分布

23、</p><p>　　對(duì)于圖2，可以直觀地看出Cd元素主要分布在工業(yè)區(qū)與交通區(qū)周?chē)?，次之分布在生活區(qū)與綠地，在山區(qū)分布較少。</p><p>　　另外，由其它6種重金屬元素的分布圖（見(jiàn)附件—圖像—第1問(wèn)）可以看出Cr元素主要分布在生活區(qū)與交通區(qū)，在工業(yè)區(qū)、綠地與山區(qū)分布較少。</p><p>　　對(duì)于Cu元素，發(fā)現(xiàn)工業(yè)區(qū)與交通區(qū)分布較多，其它地方分布較少。</

24、p><p>　　對(duì)于Hg元素，發(fā)現(xiàn)只有少部分生活區(qū)與交通區(qū)分布較多，其它部分基本上沒(méi)有受到Hg元素的污染。</p><p>　　對(duì)于Ni元素，發(fā)現(xiàn)在山區(qū)、生活區(qū)與工業(yè)區(qū)分布較多，在交通區(qū)與綠地分布較少。</p><p>　　對(duì)于Pb元素，發(fā)現(xiàn)在交通區(qū)分布最多，在部分生活區(qū)與部分工業(yè)區(qū)也有所分布，而在其它區(qū)域都分布較少。</p><p>　　對(duì)于Z

25、n元素，發(fā)現(xiàn)在生活區(qū)與工業(yè)區(qū)分布較多，其它區(qū)域分布較少。</p><p>　　4.1.2 地累積指數(shù)法評(píng)價(jià)不同區(qū)域重金屬污染程度</p><p>　　地累積指數(shù)法是一種常用的研究沉積物中重金屬污染的定量指標(biāo)，其計(jì)算公式為： （1）</p><p>　　式

26、中：是實(shí)測(cè)元素在地層中的含量；為元素在地層中的背景值；是考慮了各地巖石差異可能會(huì)引起的變動(dòng)而取得變動(dòng)系數(shù)（一般情況下取值為1.5）?！?】</p><p>　　得到的地積累指數(shù)可分為不同的等級(jí)，分級(jí)情況與污染程度的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)下表：</p><p>　　表1：重金屬污染級(jí)別、地積累指數(shù)（）和分級(jí)比較</p><p>　　對(duì)于本題，是題目中所給的各種元素的背景值。是通過(guò)

27、題目所給的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到的各區(qū)域中各種重金屬元素的平均含量，如下表：</p><p>　　表2：各區(qū)域中各種重金屬元素的平均含量</p><p>　　把代入到式（1）后，得到5塊區(qū)域內(nèi)各種重金屬元素的地積累指數(shù)值（），如下表：</p><p>　　表3：各區(qū)域內(nèi)各種重金屬元素的地積累指數(shù)值</p><p>　　通過(guò)上表各區(qū)域的污染級(jí)別可以看出：

28、</p><p>　　對(duì)于生活區(qū)，Cd、Cr、Cu、Hg、Pb、Zn這幾種重金屬元素屬于偏中度污染；As、Ni兩種重金屬元素屬于輕度污染。</p><p>　　對(duì)于工業(yè)區(qū)，Hg是重污染；Cu是偏重污染；Zn是中度污染；As、Cd、Pb屬于偏中度污染；Cr、Ni屬于輕度污染。</p><p>　　對(duì)于山區(qū)，所有的重金屬元素都是輕度污染。</p><

29、p>　　對(duì)于交通區(qū)，Hg是偏重污染；Cu是中度污染；Cd、Pb、Zn均屬于偏中度污染；As、Ni屬于輕度污染。</p><p>　　對(duì)于綠地區(qū)，Cd、Cu、Hg、Zn屬于偏中度污染；As、Cr、Ni、Pb均屬于輕度污染。</p><p>　　另外，為了對(duì)比各區(qū)域的總污染程度，我們對(duì)各個(gè)區(qū)域內(nèi)的所有重金屬元素的地積累指數(shù)求和，得到各區(qū)域的總地積累指數(shù)（），結(jié)果如下表：</p>

30、;<p>　　表4：各區(qū)域的總地積累指數(shù)（）</p><p>　　通過(guò)上表比較可以發(fā)現(xiàn)不同區(qū)域的污染程度為：工業(yè)區(qū)>交通區(qū)>生活區(qū)>綠地區(qū)>山區(qū)。</p><p>　　通過(guò)對(duì)比4.1.1與4.1.2的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)重金屬元素的分布情況與各區(qū)域內(nèi)的重金屬污染程度相互呼應(yīng)，吻合的很好。該城區(qū)的重金屬污染特點(diǎn)，我們可以總結(jié)為：該城區(qū)的主要污染元素為Hg、Cu、Z

31、n；且污染主要集中在工業(yè)區(qū)與交通區(qū)。</p><p>　　4.2主成分分析模型（問(wèn)題2）</p><p>　　要研究重金屬污染的主要原因，就要發(fā)現(xiàn)不同區(qū)域內(nèi)主要污染物與該區(qū)域功能的關(guān)聯(lián)性，進(jìn)而確定各區(qū)域污染原因之間的關(guān)聯(lián)性，以確定整個(gè)城區(qū)污染的原因。</p><p>　　但由于導(dǎo)致每個(gè)區(qū)域污染的重金屬元素眾多，沒(méi)法直接通過(guò)重金屬元素之間的關(guān)系確定各區(qū)域污染原因之間的

32、關(guān)聯(lián)性。于是想到用較少的新變量代替原來(lái)較多的舊變量，而且保證新變量盡可能多的保留原來(lái)變量所反映的信息。主成分分析法便可以實(shí)現(xiàn)，主成分分析法是把原來(lái)多個(gè)變量劃為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。 </p><p>　　4.2.1主成分分析模型的建立</p><p>　　假定有個(gè)地理樣本，每個(gè)樣本共有個(gè)變量描述，這樣就構(gòu)成了一個(gè)階的地理數(shù)據(jù)矩陣：</p><p>&l

33、t;b>　?。?）</b></p><p>　　要想從這么多變量的數(shù)據(jù)中抓住地理事物的內(nèi)在規(guī)律，自然要在維空間中加以考察，這是比較麻煩的。為了克服這一困難，就需要用較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)較多的變量指標(biāo)，這些綜合指標(biāo)（即新變量）選取最簡(jiǎn)單的形式就是取原來(lái)變量指標(biāo)的線性組合，適當(dāng)調(diào)整組合系數(shù)，使新的變量指標(biāo)之間相互獨(dú)立且代表性最好。</p><p>　　若原來(lái)的變量指標(biāo)

34、為，它們的綜合指標(biāo)——新變量指標(biāo)為，則</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　在（3）式中，系數(shù)由下列原則來(lái)決定：</p><p><b>　?、伲ǎ┫嗷o(wú)關(guān)；</b></p><p>　?、谑堑囊磺芯€性組合中方差最大者；是與不相關(guān)的的所有線性組合中方差最大者；……；是與都

35、不相關(guān)的的所有線性組合中方差最大者。</p><p>　　這樣決定的新變量指標(biāo)分別稱為原變量指標(biāo)的第一，第二，…，第主成分。其中，在總方差中占的比例最大，的方差依次遞減。在實(shí)際問(wèn)題的分析中，常挑選前幾個(gè)最大的主成分，這樣既減少了變量的數(shù)目，又抓住了主要矛盾，簡(jiǎn)化了變量之間的關(guān)系。</p><p>　　從以上分析可以看出，找主成分就是確定原來(lái)變量()在諸主成分（）上的載荷（），從數(shù)學(xué)上容易知

36、道，它們分別是的相關(guān)矩陣個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。</p><p><b>　　模型計(jì)算步驟：</b></p><p>　　①計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　為原變量與的相關(guān)系數(shù)，，計(jì)算公式為：</p><p><

37、;b>　　（5）</b></p><p>　?、谟?jì)算特征值與特征向量。</p><p>　　先解特征方程，常用雅克比法求出特征值，并使其按大小順序排列：。</p><p>　　然后，分別求出對(duì)于特征值的特征向量，要求，即，其中表示向量的第個(gè)分量。</p><p>　?、塾?jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率。</p>&

38、lt;p>　　貢獻(xiàn)率： （6）</p><p>　　累計(jì)貢獻(xiàn)率： （7）</p><p>　　一般累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到80%以上的特征值所對(duì)應(yīng)的為第1、第2、…、第個(gè)主成分。</p&

39、gt;<p><b>　　④計(jì)算主成分載荷</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　4.2.2模型求解</b></p><p><b>　?、儆?jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣</b></p><p>　　對(duì)所給的數(shù)據(jù)進(jìn)

40、行分區(qū)域標(biāo)準(zhǔn)化處理，利用式（5）得到5個(gè)區(qū)域的相關(guān)系數(shù)矩陣如下：（具體計(jì)算源代碼見(jiàn) 附錄—matlab—相關(guān)系數(shù)）</p><p><b>　　生活區(qū)：</b></p><p><b>　　工業(yè)區(qū)：</b></p><p><b>　　山區(qū)：</b></p><p><b

41、>　　交通區(qū)：</b></p><p><b>　　綠地區(qū)：</b></p><p>　?、谟?jì)算特征值、特征向量，求貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率</p><p>　　根據(jù)式（6）（7）可以求得各個(gè)區(qū)域的主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率，見(jiàn)下表：（具體計(jì)算源代碼見(jiàn) 附錄—matlab程序—第2問(wèn)）</p><p>　　表

42、5：生活區(qū)特征值及貢獻(xiàn)率 表6：工業(yè)區(qū)特征值及貢獻(xiàn)率</p><p>　　表7：山區(qū)特征值及貢獻(xiàn)率 表8：交通區(qū)特征值及貢獻(xiàn)率</p><p>　　表9：綠地區(qū)特征值及貢獻(xiàn)率</p><p>　　一般情況下認(rèn)為前幾個(gè)較大的主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到65%便可以代替原來(lái)的多個(gè)指

43、標(biāo)，能基本覆蓋其中的信息。</p><p>　　所以，根據(jù)以上5個(gè)區(qū)域的貢獻(xiàn)率表格可以看出，對(duì)于生活區(qū)只需求出前3個(gè)主成分即可；對(duì)于工業(yè)區(qū)只需求出前2個(gè)主成分即可；對(duì)于山區(qū)，只需求出前3個(gè)主成分即可；對(duì)于交通區(qū)，只需求出前3個(gè)主成分即可；對(duì)于綠地區(qū)，只需求出前3個(gè)主成分即可。</p><p><b>　?、矍笾鞒煞州d荷</b></p><p>

44、　　對(duì)于5個(gè)區(qū)域，利用式（8），分別求出原變量在各個(gè)選定的較大主成分上的載荷。如下表：（具體算法見(jiàn) 附錄—matlab—第2問(wèn)；詳細(xì)數(shù)據(jù)見(jiàn) 附錄—附表—第2問(wèn)）</p><p>　　表10：各區(qū)域主成分載荷</p><p>　?。ㄕf(shuō)明：由于計(jì)算載荷時(shí)我們只精確到小數(shù)點(diǎn)后一位，所以，有的載荷值經(jīng)過(guò)“四舍五入”，為0.0）</p><p><b>　?、芙Y(jié)果分

45、析：</b></p><p>　　對(duì)于生活區(qū)，第一主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量在Cr、Cu、Hg的濃度上有較高的正載荷，反映了Cr、Cu、Hg的富集程度；第二主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量As的濃度上有很大的正載荷，反映了As的富集程度；第三主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量Hg上有很大的正載荷，反映了Hg的富集程度。</p><p>　　對(duì)于工業(yè)區(qū)，第一主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量Cu、Pb

46、上有較高的正載荷，反映了Cu、Pb的富集程度；第二主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量As、Ni上有較高的正載荷，反應(yīng)了As、Ni的富集程度。</p><p>　　對(duì)于山區(qū)，第一主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量Cu、Ni、Zn上有較高的正載荷，反應(yīng)了Cu、Ni、Zn的富集程度；第二主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量Cd上具有很高的正載荷，反應(yīng)了Cd的富集程度；第三主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量As、Cd、Cu、Hg上具有很高的正載荷，反映了

47、As、Cd、Cu、Hg。</p><p>　　對(duì)于交通區(qū)，第一主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量Pb上具有較高的正載荷，反映了Pb的富集程度；第二主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量As上具有很高的正載荷，反映了As的富集程度；第三主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量Cd、Hg上具有較高的正載荷，反映了Cd、Hg的富集程度。</p><p>　　對(duì)于綠地區(qū)，第一主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量Cd、Hg上具有較高的正載荷，

48、反映了Cd、Hg的富集程度；第二主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量As、Cu上具有較高的正載荷，反映了As、Cd的富集程度；第三主成分的特點(diǎn)表現(xiàn)在因子變量As、Hg上具有較高的正載荷，反映了As、Hg的富集程度。</p><p>　　總結(jié)上面的分析可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于As，在5個(gè)區(qū)域的第一主因素上都沒(méi)有反應(yīng)，在生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、交通區(qū)以及綠地區(qū)的第二主因素上有所反應(yīng)，說(shuō)明As元素的污染主要來(lái)源于人類生活、工業(yè)排放、汽車(chē)尾氣排放以

49、及大氣沉降等；對(duì)于Cd，只在綠地區(qū)的第一主因素上，可能來(lái)源與汽車(chē)尾氣或大氣沉降；對(duì)于Cr，只在生活區(qū)的第一主元素上有所反應(yīng)，表明起污染主要來(lái)源于人類生活；對(duì)于Cu，在生活區(qū)、工業(yè)區(qū)以及山區(qū)的第一主元素上均有所反應(yīng)，說(shuō)明其污染來(lái)源于人類生活、工業(yè)排放和土壤本身；對(duì)于Hg，在生活區(qū)與綠地區(qū)的第一主因素上均有所反應(yīng)，說(shuō)明其主要來(lái)源于人類生活和大氣沉降；對(duì)于Ni，只在山區(qū)的第一主因素上有所反應(yīng)，說(shuō)明其來(lái)源于土壤本身；對(duì)于Pb，發(fā)現(xiàn)其在交通區(qū)與工

50、業(yè)區(qū)的第一主因素上有所反應(yīng)，說(shuō)明其來(lái)源于汽車(chē)尾氣排放與工業(yè)排放；對(duì)于Zn，發(fā)現(xiàn)其只在山區(qū)的第一主因素上有所反應(yīng)，說(shuō)明其污染主要來(lái)源與土壤本身。</p><p>　　4.3重金屬在地層中的擴(kuò)散模型（問(wèn)題3）</p><p>　　4.3.1重金屬元素在地層中的擴(kuò)散特點(diǎn)</p><p>　　由于我們研究表層土壤中重金屬元素的分布，所以其擴(kuò)散規(guī)律不涉及到隨流體流動(dòng)而產(chǎn)生的“

51、對(duì)流擴(kuò)散”，也就是說(shuō)其擴(kuò)散情況只有“分子擴(kuò)散”。分子擴(kuò)散完全是因?yàn)榻M分分布不均勻，即在空間中存在濃度梯度，導(dǎo)致這些組分依靠分子熱運(yùn)動(dòng)從高濃度帶擴(kuò)散到低濃度帶，最后趨于平衡。根據(jù)描述物質(zhì)“分子擴(kuò)散”現(xiàn)象的規(guī)律——菲克擴(kuò)散定律，在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于擴(kuò)散方向的單位截面積的擴(kuò)散物質(zhì)流量（稱為擴(kuò)散通量）與濃度沿該截面外法向的方向?qū)?shù)成正比，也就是說(shuō)，濃度沿截面法向單位距離的變化率越大，擴(kuò)散通量越大。</p><p>　　

52、4.3.2擴(kuò)散模型的建立</p><p>　　在地層中，若各點(diǎn)金屬元素濃度不同，就會(huì)有重金屬元素由高濃度帶向低濃度帶擴(kuò)散。確定污染源的位置，就是要找到重金屬元素的濃度最高點(diǎn)，故問(wèn)題歸結(jié)為研究地層中重金屬元素的濃度分布，即根據(jù)重金屬元素在地層中的擴(kuò)散特點(diǎn)建立濃度關(guān)于位置的函數(shù)關(guān)系。

53、

54、 </p><p>　　假設(shè)地層中任意一點(diǎn)在時(shí)刻t的重金屬污染物濃度為。假設(shè)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)，流過(guò)點(diǎn)處面積為的曲面重金屬流量為，則由菲克定律的得：</p><p><b>　　（9）</b&g

55、t;</p><p>　　其中比例系數(shù)稱為重金屬的擴(kuò)散系數(shù)（大于0），在一般情況下都把它作為常數(shù)處理。是曲面的外法線單位向量。負(fù)號(hào)表示流量方向與濃度梯度方向相反。</p><p>　　在地層中任取一封閉曲面，記它所包圍的區(qū)域?yàn)?。于是，從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2，通過(guò)曲面流出該區(qū)域的重金屬污染物質(zhì)量為：</p><p><b>　　（10）</b>&l

56、t;/p><p>　　若內(nèi)有污染源不斷產(chǎn)生污染物，設(shè)污染源密度為（在時(shí)刻t于任一點(diǎn)處單位時(shí)間、單位體積所產(chǎn)生的污染物質(zhì)量），則在時(shí)刻t1到t2內(nèi)產(chǎn)生的污染物質(zhì)量為：</p><p><b>　　（11）</b></p><p>　　由于物質(zhì)擴(kuò)散，在時(shí)刻t1到t2內(nèi)，中的污染物質(zhì)量的改變量為：</p><p><b>

57、;　　（12）</b></p><p><b>　　由物料守恒定律有：</b></p><p><b>　　，即</b></p><p><b>　?。?3）</b></p><p>　　式（13）就是我們建立的重金屬污染物在地層中的擴(kuò)散模型。根據(jù)這個(gè)方程便可以求得

58、。</p><p>　　由于我們研究的是該城區(qū)地層在這一確定時(shí)刻的污染情況，所以與時(shí)間無(wú)關(guān)，即的值為0。另外，在研究該問(wèn)題的時(shí)候，我們?cè)诙虝r(shí)間內(nèi)不考慮新的污染物的注入，所以。而又為常數(shù)，這樣我們的模型可以簡(jiǎn)化為即：</p><p><b>　?。?4）</b></p><p>　　由于方程（14）是偏微分方程,只有在問(wèn)題具有高度對(duì)稱的情況下,才

59、能求出解析解,但我們研究的重金屬元素在地層中的擴(kuò)散受到地貌、濃度分布、以及其他復(fù)雜因素的影響，顯然不能符合高度對(duì)稱這一條件。對(duì)于這些情況,只能尋求它的數(shù)值解?！?】</p><p>　　4.3.3模型求解（拉普拉斯方程的數(shù)值求解）</p><p>　　有限差分法是求解拉普拉斯數(shù)值解的一種常用算法【3】，其思想是用差分代替導(dǎo)數(shù)，用網(wǎng)格將求解區(qū)域覆蓋，對(duì)于平面拉普拉斯方程，第i行，第j列小格的

60、值由拉普拉斯五點(diǎn)差分格式給出：</p><p><b>　　（15）</b></p><p>　　我們根據(jù)這個(gè)算法來(lái)求上述擴(kuò)散模型的拉普拉斯方程的數(shù)值解，以確定As元素的一個(gè)污染源為例，具體操作步驟如下：</p><p>　?、僭谟蓡?wèn)題1得到的As元素濃度分布圖上，大致確定濃度最高點(diǎn)的位置，取以（12380，10043），（12380,3532

61、），（15107，10043），（15107，3532）為頂點(diǎn)的矩形框?qū)⑵浼案浇?個(gè)已知濃度點(diǎn)圈在內(nèi)；</p><p>　　②將矩形框劃分為125×136個(gè)邊長(zhǎng)為20m的小正方形，得到126×137個(gè)交點(diǎn)，將8個(gè)已知濃度點(diǎn)的位置分別取為離其最近的交點(diǎn)處；</p><p>　　③用Excel中的單元格代表交點(diǎn)，單元格中的數(shù)值代表As元素濃度，建立126×137

62、的矩陣，在相應(yīng)單元格中輸入8個(gè)已知的濃度值，在其他未知濃度值的單元格中輸入0，將Excel表初始化；</p><p>　?、苋鐖D3所示，利用Excel作為計(jì)算工具利用公式（15）對(duì)各濃度值進(jìn)行32767次迭代運(yùn)算，使其最大誤差為0.001。</p><p>　　根據(jù)以上步驟，我們求得了矩形區(qū)域內(nèi)126×137個(gè)點(diǎn)處的As元素濃度值，即求得了該范圍內(nèi)滿足8個(gè)已知點(diǎn)濃度條件的拉普拉斯

63、方程的數(shù)值解。利用matlab編程找到其中的濃度最大點(diǎn)，即為該區(qū)域As元素污染源。根據(jù)以上步驟，我們?cè)贓xcel中輸入相關(guān)數(shù)據(jù)以及公式，進(jìn)行迭代計(jì)算，得到了8種元素的濃度最高的坐標(biāo)，也就是污染源的位置。下圖是As元素一個(gè)污染源的計(jì)算截圖。</p><p>　　圖3：Excel執(zhí)行有限差分法截圖</p><p>　　這樣，我們便得到了8種重金屬元素的污染源位置坐標(biāo)，如下表：</p>

64、;<p>　　表11：8種重元素的污染源位置坐標(biāo)</p><p>　　（說(shuō)明：每種元素的含量均有多個(gè)峰值，也就是有多個(gè)污染源。序號(hào)1,2…表示污染源的編號(hào)）</p><p>　　4.4城市地質(zhì)環(huán)境演變模式分析（問(wèn)題4）</p><p>　　4.4.1所建模型局限性</p><p>　?、僭谇?問(wèn)建立的所有模型中，城區(qū)地層評(píng)價(jià)指標(biāo)

65、都針對(duì)于城區(qū)以及不同區(qū)域的重金屬污染物而建立的，這些評(píng)價(jià)指標(biāo)都只能評(píng)價(jià)重金屬污染狀況，而重金屬污染狀況只是地質(zhì)環(huán)境的很小的一個(gè)方面，所以我們前面所建立的模型雖然能比較準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)地層重金屬污染的情況，但卻不足以全面地反應(yīng)地層的地質(zhì)環(huán)境狀況，模型反應(yīng)的信息太過(guò)于局限；</p><p>　　②要研究該城區(qū)地質(zhì)環(huán)境的演化模式，必須要對(duì)該城區(qū)的地質(zhì)狀況進(jìn)行縱向?qū)Ρ龋簿褪遣煌瑫r(shí)間的地質(zhì)環(huán)境狀況對(duì)比。而我們?cè)谇?問(wèn)建立的模型

66、，都是反映該城區(qū)地層在這一特定時(shí)間的地質(zhì)環(huán)境狀況，不包含時(shí)間這一參數(shù)，也就不能對(duì)地質(zhì)環(huán)境狀況進(jìn)行縱向?qū)Ρ?。反映不出地質(zhì)環(huán)境狀況隨時(shí)間的變化情況。</p><p>　　4.4.2研究地質(zhì)環(huán)境狀況演變所需要的信息</p><p>　　地質(zhì)環(huán)境指由巖石圈、水圈和大氣圈組成的環(huán)境系統(tǒng)。城市發(fā)展對(duì)環(huán)境的改造與擾動(dòng)主要通過(guò)三個(gè)方面, 即: 大規(guī)模的地面和地下工程建設(shè)；城市及其鄰區(qū)地下資源的開(kāi)發(fā)；城市垃

67、圾污染。基于4.4.1的局限性分析，我們可以總結(jié)出研究地質(zhì)狀況演變模式所需要的信息：</p><p>　　地基巖土的類別與結(jié)構(gòu)；巖土體承載力；特殊類巖土體引起的地面變形；地表水位置；地下水水位及侵蝕性；土壤厚度；水土流失程度；平均侵蝕模數(shù)；其他地質(zhì)資源；地質(zhì)構(gòu)造；地面坡度；地震及強(qiáng)度；洪水和河流侵蝕；新構(gòu)造活動(dòng)和風(fēng)化作用【4】。</p><p>　　以上信息均需要有不同年份的對(duì)比。<

68、/p><p>　　4.4.3基于“層次分析法”模型的城市地質(zhì)環(huán)境演變模式分析</p><p>　　我們?cè)谘芯砍鞘械刭|(zhì)環(huán)境演變模式時(shí)，主要有兩部分工作：①根據(jù)“層次分析法”，結(jié)合反映地質(zhì)環(huán)境的主要信息確定一個(gè)評(píng)價(jià)某一區(qū)域地質(zhì)環(huán)境狀況的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，也就是地質(zhì)環(huán)境狀況各因素所占權(quán)重（權(quán)重的變化可以看出演化的過(guò)程）及綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)該城區(qū)的不同區(qū)域進(jìn)行橫向?qū)Ρ龋虎诟鶕?jù)不同年份得到的該城區(qū)的評(píng)價(jià)指標(biāo)體

69、系來(lái)進(jìn)行縱向?qū)Ρ?，分析其地質(zhì)演化過(guò)程。</p><p>　　①層次分析法建立評(píng)價(jià)體系</p><p>　　層次分析法是一種系統(tǒng)分析綜合方法，用于求解層次結(jié)構(gòu)或網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等復(fù)雜系統(tǒng)的評(píng)估問(wèn)題。它的基本原理是對(duì)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的有關(guān)方案的各種要素分解成若干層次，并以同一層次的各種要求按照上一層要求為準(zhǔn)則，進(jìn)行兩兩判斷比較和計(jì)算，求出各要素的權(quán)重，進(jìn)而確定綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)。</p><p&

70、gt;　　具體建模過(guò)程如下：【5】</p><p>　　1、假設(shè)要比較某一層n個(gè)元素對(duì)上一層一個(gè)因素O的影響。取兩個(gè)元素，用表示對(duì)O影響之比，全部比較結(jié)果組成成對(duì)比較矩陣：</p><p><b>　　（16）</b></p><p>　　2、采用“方根法”解特征方程，求得特征向量。其中即為這一層n個(gè)評(píng)價(jià)元素的權(quán)重。</p>&l

71、t;p>　　3、按照上述評(píng)價(jià)因子及其權(quán)值，確定綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)：</p><p>　　②根據(jù)不同年份得到的該城區(qū)的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系來(lái)進(jìn)行縱向?qū)Ρ?，分析其地質(zhì)演化過(guò)程。</p><p><b>　　模型評(píng)價(jià)</b></p><p><b>　　5.1模型優(yōu)點(diǎn)</b></p><p>　　問(wèn)題1，我們分兩

72、部分解決，第一部分是畫(huà)出各元素的分布圖，從感性上認(rèn)識(shí)其分布特征，直觀；第二部分運(yùn)用地積累指數(shù)法定量計(jì)算各區(qū)域的污染情況，既把各區(qū)域的污染狀況進(jìn)行了量化又對(duì)第一部分進(jìn)行了驗(yàn)證。</p><p>　　問(wèn)題2，主層次分析模型中運(yùn)用主要因素對(duì)復(fù)雜的變量因子進(jìn)行歸類，挖掘出了各變量之間并不明顯的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而確定出了各重金屬污染的可能來(lái)源。</p><p>　　問(wèn)題3，根據(jù)重金屬元素?cái)U(kuò)散規(guī)律建立的擴(kuò)

73、散模型，能真實(shí)地反映地層中重金屬元素的擴(kuò)散，并且應(yīng)用有限差分法巧妙地對(duì)沒(méi)有解析解的模型進(jìn)行了數(shù)值求解。</p><p>　　問(wèn)題4，在研究地質(zhì)環(huán)境演變時(shí)，既研究了不同區(qū)域地質(zhì)環(huán)境狀況的“橫向?qū)Ρ取?，又研究了不同時(shí)間地質(zhì)環(huán)境狀況的“縱向?qū)Ρ取?，并且?duì)地質(zhì)環(huán)境狀況的各要素做了層析分析，確定了其權(quán)重以及綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)。模型考慮全面，且邏輯清晰。</p><p><b>　　5.2模型缺點(diǎn)

74、</b></p><p>　　問(wèn)題2模型雖然能夠清晰地反映變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，很好的解釋污染物的來(lái)源，但是計(jì)算量較大，數(shù)據(jù)處理繁瑣。</p><p>　　問(wèn)題3中的擴(kuò)散模型，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，把擴(kuò)散系數(shù)規(guī)定為常數(shù)，而實(shí)際它是隨不同位置地層微觀上的變化而變化的，會(huì)對(duì)結(jié)果造成一定誤差。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></

75、p><p>　　祝云龍 姜加虎 孫占東 黃群 王紅娟 周云凱，洞庭湖沉積物中重金屬污染特征與評(píng)價(jià)，湖泊科學(xué)，2008,20(4): 477-485</p><p>　　曾紹標(biāo) 熊洪允 毛云英，應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，天津：天津大學(xué)出版社，1993.3</p><p>　　賈新民 嚴(yán)文，有限差分法求解拉普拉斯方程，昌吉學(xué)院學(xué)報(bào)，2009年第5期：105-109</p>

76、<p>　　倪師軍 魏倫武 張成江等，城市地質(zhì)環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)性分區(qū)評(píng)價(jià)體系，地質(zhì)通報(bào)，2006.11：1279-1286</p><p>　　蔣啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2003.8</p><p><b>　　附錄</b></p><p>　　下面六幅圖從左至右分別為Cr，Cu，Hg，Ni，Pb，Zn六種元素的