對(duì)非輕質(zhì)彈簧性質(zhì)的研究

1、<p><b>　　期末小組力學(xué)課題</b></p><p>　　題目：對(duì)計(jì)入自身質(zhì)量彈簧性質(zhì)的研究 </p><p>　　背景引入：從中學(xué)到大學(xué)，我們見過無數(shù)的物理題目，其中更是包含著許多與彈簧有關(guān)的習(xí)題，它們都有著一個(gè)共同的特點(diǎn)：彈簧是輕質(zhì)彈簧。將彈簧視為沒有重力，胡克定律則可以在很小的誤差范圍內(nèi)精確地成立。但生活中的問題并不是理想化情況，絕對(duì)的輕彈簧并

2、不存在，而且現(xiàn)實(shí)中的彈簧則大多是由金屬材料制作的，擁有著較大的質(zhì)量，毫無疑問，在這種情況下，我們不能忽略彈簧本身的質(zhì)量，應(yīng)當(dāng)在計(jì)算時(shí)將其質(zhì)量納入，這樣一來所得到的解的誤差就會(huì)大幅減小。</p><p>　　因此，我們小組準(zhǔn)備從理論上對(duì)彈簧在不同狀態(tài)下自身質(zhì)量對(duì)受力的影響，嘗試解在不同實(shí)際情境下的運(yùn)動(dòng)情況，并對(duì)以上計(jì)算結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。</p><p>　　同類問題當(dāng)前研究進(jìn)展：此問題典型的

3、經(jīng)典力學(xué)問題，由于涉及到的量不是很多，因此現(xiàn)在已有許多研究成果。此類問題一般會(huì)有多種解決方案，我們小組的目標(biāo)是利用這一學(xué)期以來學(xué)習(xí)的微積分知識(shí)對(duì)此問題進(jìn)行獨(dú)立研究與分析，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)自己的研究成果進(jìn)行檢驗(yàn)。</p><p>　　最簡(jiǎn)單的情況——豎直靜止受力</p><p>　　一根質(zhì)量為m的彈簧，其勁度系數(shù)為k，在沒有任何外力作用下的原長(zhǎng)度為l，分析其在被豎直懸掛時(shí)的伸長(zhǎng)量，并懸掛重物，再

4、次分析。</p><p>　　1.利用力學(xué)和數(shù)學(xué)原理進(jìn)行計(jì)算：</p><p>　　我們嘗試以下兩種思路解決這個(gè)問題：</p><p>　　將彈簧視作為質(zhì)點(diǎn)系，利用質(zhì)心進(jìn)行等效代替從而計(jì)算：</p><p>　　如上圖所示，A，B為彈簧的兩端，C為彈簧的質(zhì)心，當(dāng)緩慢放開B點(diǎn)使彈簧自由下垂時(shí)，彈簧便會(huì)伸長(zhǎng)。假設(shè)彈簧的質(zhì)量均集中在C點(diǎn)，則等效為A

5、C彈簧承受重力mg，由彈簧的勁度系數(shù)特點(diǎn)知，AC段的勁度系數(shù)為2k。由胡克定律知伸長(zhǎng)量。</p><p>　　思考：這樣做似乎是正確的，但如果仔細(xì)推敲就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種等效代替是不嚴(yán)密的，因?yàn)樵趶椈商幱谪Q直狀態(tài)時(shí)，彈簧每一處的拉力都不同。很明顯，下面部分的受力比上面的小（越靠近懸掛點(diǎn)所要拉起的質(zhì)量越大，從而伸長(zhǎng)量越大）。因此彈簧每一點(diǎn)的伸長(zhǎng)量都不同，因此胡克定律應(yīng)該只對(duì)每一段小微元是成立的，而此種等效代替則直接對(duì)一整

6、段彈簧運(yùn)用胡克定律，從方法上看是不嚴(yán)密的，因此我們考慮換一種做法。</p><p>　　b.考慮彈簧各點(diǎn)的伸長(zhǎng)量不同，利用微積分方法進(jìn)行求解：</p><p>　　如上圖所示，將彈簧的懸掛點(diǎn)設(shè)為O點(diǎn)，向下作一條坐標(biāo)軸。設(shè)彈簧在自由狀態(tài)時(shí)其上某點(diǎn)為D，其坐標(biāo)為x，則在D點(diǎn)，長(zhǎng)度為dx的微小段彈簧受到了其下方彈簧的拉力，此力的大小等于下方彈簧的重力。</p><p>　

7、　這是一小段彈簧的伸長(zhǎng)量，要得到整根彈簧的伸長(zhǎng)量需要對(duì)其積分：</p><p>　　我們可以看出，此種解法于上一種解法所得答案相同，因此我們有如下思考：在這種情況下，盡管彈簧的重力不能被忽略，但是在僅僅受到重力作用的情況下，彈簧受到的力和它的坐標(biāo)是線性關(guān)系，第一種嘗試實(shí)際上是一種平均值的計(jì)算，但恰好由于嚴(yán)格的線性關(guān)系，平均值不需要加權(quán)，與微積分方法所得結(jié)果相同。</p><p>　　2.利

8、用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證計(jì)算所得的結(jié)論</p><p><b>　　a．實(shí)驗(yàn)器材</b></p><p>　　三種規(guī)格不同的勁度系數(shù)較小的較長(zhǎng)金屬?gòu)椈?、米尺、彈簧測(cè)力計(jì)、天平</p><p><b>　　b．試驗(yàn)方案</b></p><p>　　先用米尺測(cè)出彈簧的原長(zhǎng)并用天平測(cè)量彈簧的質(zhì)量，再用彈簧測(cè)力計(jì)水平將彈

9、簧拉伸至不同的長(zhǎng)度，算出其勁度系數(shù)。將彈簧懸掛起來，待其靜止后測(cè)量其長(zhǎng)度得到彈簧的伸長(zhǎng)量。</p><p>　　由于伸長(zhǎng)量過小難以測(cè)出，我們決定將若干個(gè)相同的長(zhǎng)彈簧進(jìn)行串聯(lián)從而增大質(zhì)量并減小勁度系數(shù)。</p><p>　　C．實(shí)驗(yàn)結(jié)果（每組均由五個(gè)相同的彈簧串聯(lián)而成）</p><p>　　將其懸掛后測(cè)得長(zhǎng)度如下（g取為9.8）：</p><p&g

10、t;　　實(shí)驗(yàn)結(jié)論：可見，在誤差允許范圍內(nèi)（米尺的精確度不足）計(jì)算結(jié)論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。</p><p><b>　　掛著物體水平運(yùn)動(dòng)</b></p><p>　　如上圖所示，水平面光滑，彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為M的滑塊作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，拉力的大小為恒定值F，現(xiàn)分析其伸長(zhǎng)程度。</p><p><b>　　進(jìn)行理論分析計(jì)算</b>&

11、lt;/p><p>　　仍然使用前面的等效代替法進(jìn)行計(jì)算</p><p>　　先計(jì)算質(zhì)心到彈簧端點(diǎn)的距離：</p><p>　　則端點(diǎn)到質(zhì)心的等效勁度系數(shù)：</p><p>　　則彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度為：</p><p>　　利用微積分算法進(jìn)行計(jì)算：</p><p>　　與上一個(gè)情況的思路相似進(jìn)行計(jì)算：&

12、lt;/p><p>　　則D處微小彈簧伸長(zhǎng):</p><p><b>　　則</b></p><p>　　思考：我們可以看出，兩種算法的計(jì)算結(jié)果是相同的，這就是說，只要加速度是一定的，彈簧各處受力便和位置成線性關(guān)系，無論是否掛有重物，均可以用質(zhì)點(diǎn)系及質(zhì)心的相關(guān)知識(shí)將其解出。</p><p>　　利用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證</

13、p><p>　　由于在這種情況下，彈簧處于運(yùn)動(dòng)之中，表面摩擦力不能忽略，而且伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度較小，我們無法準(zhǔn)確測(cè)出，以現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)條件無法較為準(zhǔn)確的進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。</p><p>　　應(yīng)用：探究水平狀態(tài)彈簧振子的周期</p><p><b>　　理論計(jì)算</b></p><p>　　如上圖所示，地面光滑，左端固定，下面嘗試解其振動(dòng)的周期：

14、</p><p>　　彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為</p><p>　　我們分析彈簧振子，彈簧上各部分可看作與A的振動(dòng)同相，對(duì)距離固定點(diǎn)的一小段彈簧，其速度可以表示為.</p><p>　　使用能量守恒進(jìn)行分析：</p><p>　　總的機(jī)械能由3部分組成：振子的動(dòng)能、彈簧的勢(shì)能、彈簧的動(dòng)能，其中：</p><p>　　則振子

15、的總機(jī)械能為：</p><p>　　其中系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有，即：</p><p><b>　　由上式子可以得到：</b></p><p>　　上式即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程，由此可以得到振動(dòng)的圓頻率為：</p><p><b>　　由此得其周期為：</b></p><p><

16、;b>　　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證</b></p><p><b>　　實(shí)驗(yàn)器材</b></p><p>　　彈簧、小車（不同配重）、天平、閃頻攝像機(jī)、秒表</p><p><b>　　實(shí)驗(yàn)方案</b></p><p>　　我們采用如上圖所示的裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，考慮到應(yīng)該盡可能減小阻尼，我們于是采用了

17、較為光滑的地面和小車進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，因?yàn)闈L動(dòng)的阻力很小。將彈簧拉伸后使其振動(dòng)，借助閃頻攝像機(jī)測(cè)出其運(yùn)動(dòng)周期。</p><p><b>　　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下</b></p><p>　　我們對(duì)組成彈簧1的一節(jié)小彈簧（m=23.0g,k=2135N/m）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)</p><p><b>　　結(jié)論</b></p><p

18、>　　可以看出，在誤差允許的范圍之內(nèi)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和計(jì)算結(jié)果吻合。</p><p><b>　　課題完成感想</b></p><p>　　我國(guó)的應(yīng)試教育使得我們?cè)谥袑W(xué)階段很少有機(jī)會(huì)能夠自己提出一些問題并解決之，但大學(xué)給我們提供了這樣的平臺(tái)，學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)以及更為深入的物理，我們有能力去解決一些生活中的物理問題，上述課題雖然你不是生活中常見問題的研究，但它很有代表性，我