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1、<p> Excel?回歸分析結(jié)?果的詳細(xì)闡?釋</p><p> 利用Exc?el的數(shù)據(jù)?分析進(jìn)行回?歸,可以得到一?系列的統(tǒng)計(jì)?參量。下面以連續(xù)?10年積雪?深度和灌溉?面積序列(圖1)為例給予詳?細(xì)的說明。</p><p> 圖1 連續(xù)10年?的最大積雪?深度與灌溉?面積(1971-1980)</p><p> 回歸結(jié)果摘?要(Summa?r
2、y Outpu?t)如下(圖2):</p><p> 圖2 利用數(shù)據(jù)分?析工具得到?的回歸結(jié)果?</p><p> 第一部分:回歸統(tǒng)計(jì)表?</p><p> 這一部分給?出了相關(guān)系?數(shù)、測(cè)定系數(shù)、校正測(cè)定系?數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)誤差和?樣本數(shù)目如?下(表1):</p><p><b> 表1 回歸統(tǒng)計(jì)表?</b></p
3、><p><b> 逐行說明如?下:</b></p><p> Multi?ple對(duì)應(yīng)?的數(shù)據(jù)是相?關(guān)系數(shù)(corre?latio?n coeff?icien?t),即R=0.98941?6。</p><p> R Squar?e對(duì)應(yīng)的數(shù)?值為測(cè)定系?數(shù)(deter?minat?ion coeff?icien?t),或稱擬合優(yōu)?度(goodn
4、?ess of fit),它是相關(guān)系?數(shù)的平方,即有R2=0.98941?62=0.97894?4。</p><p> Adjus?ted對(duì)應(yīng)?的是校正測(cè)?定系數(shù)(adjus?ted deter?minat?ion coeff?icien?t),計(jì)算公式為?</p><p> 式中n為樣?本數(shù),m為變量數(shù)?,R2為測(cè)定?系數(shù)。對(duì)于本例,n=10,m=1,R2=0.97894?4,代入上
5、式得?</p><p> 標(biāo)準(zhǔn)誤差(stand?ard error?)對(duì)應(yīng)的即所?謂標(biāo)準(zhǔn)誤差?,計(jì)算公式為?</p><p> 這里SSe?為剩余平方?和,可以從下面?的方差分析?表中讀出,即有SSe?=16.10676?,代入上式可?得</p><p> 最后一行的?觀測(cè)值對(duì)應(yīng)?的是樣本數(shù)?目,即有n=10。</p><p> 第二
6、部分,方差分析表?</p><p> 方差分析部?分包括自由?度、誤差平方和?、均方差、F值、P值等(表2)。</p><p> 表2 方差分析表?(ANOVA?)</p><p> 逐列、分行說明如?下:</p><p> 第一列df?對(duì)應(yīng)的是自?由度(degre?e of freed?om),第一行是回?歸自由度d?fr,等于變量
7、數(shù)?目,即dfr=m;第二行為殘?差自由度d?fe,等于樣本數(shù)?目減去變量?數(shù)目再減1?,即有dfe?=n-m-1;第三行為總?自由度df?t,等于樣本數(shù)?目減1,即有dft?=n-1。對(duì)于本例,m=1,n=10,因此,dfr=1,dfe=n-m-1=8,dft=n-1=9。</p><p> 第二列SS?對(duì)應(yīng)的是誤?差平方和,或稱變差。第一行為回?歸平方和或?稱回歸變差?SSr,即有</p>&
8、lt;p> 它表征的是?因變量的預(yù)?測(cè)值對(duì)其平?均值的總偏?差。</p><p> 第二行為剩?余平方和(也稱殘差平?方和)或稱剩余變?差SSe,即有</p><p> 它表征的是?因變量對(duì)其?預(yù)測(cè)值的總?偏差,這個(gè)數(shù)值越?大,意味著擬合?的效果越差?。上述的y的?標(biāo)準(zhǔn)誤差即?由SSe給?出。</p><p> 第三行為總?平方和或稱?總變差SS?t,
9、即有</p><p> 它表示的是?因變量對(duì)其?平均值的總?偏差。容易驗(yàn)證7?48.8542+16.10676?=764.961,即有</p><p> 而測(cè)定系數(shù)?就是回歸平?方和在總平?方和中所占?的比重,即有</p><p> 顯然這個(gè)數(shù)?值越大,擬合的效果?也就越好。</p><p> 第四列MS?對(duì)應(yīng)的是均?方差,它是誤差平
10、?方和除以相?應(yīng)的自由度?得到的商。第一行為回?歸均方差M?Sr,即有</p><p> 第二行為剩?余均方差M?Se,即有</p><p> 顯然這個(gè)數(shù)?值越小,擬合的效果?也就越好。</p><p> 第四列對(duì)應(yīng)?的是F值,用于線性關(guān)?系的判定。對(duì)于一元線?性回歸,F(xiàn)值的計(jì)算?公式為</p><p> 式中R2=0.97894?4
11、,dfe=10-1-1=8,因此</p><p> 第五列Si?gnifi?cance? F對(duì)應(yīng)的是?在顯著性水?平下的Fα?臨界值,其實(shí)等于P?值,即棄真概率?。所謂“棄真概率”即模型為假?的概率,顯然1-P便是模型?為真的概率???梢?,P值越小越?好。對(duì)于本例,P=0.00000?00542?<0.0001,故置信度達(dá)?到99.99%以上。</p><p> 第三部分,回歸參
12、數(shù)表?</p><p> 回歸參數(shù)表?包括回歸模?型的截距、斜率及其有?關(guān)的檢驗(yàn)參?數(shù)(表3)。</p><p><b> 表3 回歸參數(shù)表?</b></p><p> 第一列Co?effic?ients?對(duì)應(yīng)的模型?的回歸系數(shù)?,包括截距a?=2.35643?7929和?斜率b=1.81292?1065,由此可以建?立回歸模型?<
13、/p><p><b> 或</b></p><p> 第二列為回?歸系數(shù)的標(biāo)?準(zhǔn)誤差(用或表示),誤差值越小?,表明參數(shù)的?精確度越高?。這個(gè)參數(shù)較?少使用,只是在一些?特別的場(chǎng)合?出現(xiàn)。例如L. Bengu?igui等?人在Whe?n and where? is a city fract?al?一文中將斜?率對(duì)應(yīng)的標(biāo)?準(zhǔn)誤差值作?為分形演化?的標(biāo)準(zhǔn),建議采用0?.0
14、4作為分?維判定的統(tǒng)?計(jì)指標(biāo)(參見EPB?2000)。</p><p> 不常使用標(biāo)?準(zhǔn)誤差的原?因在于:其統(tǒng)計(jì)信息?已經(jīng)包含在?后述的t檢?驗(yàn)中。</p><p> 第三列t Stat對(duì)?應(yīng)的是統(tǒng)計(jì)?量t值,用于對(duì)模型?參數(shù)的檢驗(yàn)?,需要查表才?能決定。t值是回歸?系數(shù)與其標(biāo)?準(zhǔn)誤差的比?值,即有</p><p><b> ,</b>&
15、lt;/p><p> 根據(jù)表3中?的數(shù)據(jù)容易?算出:</p><p><b> ,</b></p><p> 對(duì)于一元線?性回歸,t值可用相?關(guān)系數(shù)或測(cè)?定系數(shù)計(jì)算?,公式如下</p><p> 將R=0.98941?6、n=10、m=1代入上式?得到</p><p> 對(duì)于一元線?性回歸,
16、F值與t值?都與相關(guān)系?數(shù)R等價(jià),因此,相關(guān)系數(shù)檢?驗(yàn)就已包含?了這部分信?息。但是,對(duì)于多元線?性回歸,t檢驗(yàn)就不?可缺省了。</p><p> 第四列P value?對(duì)應(yīng)的是參?數(shù)的P值(雙側(cè))。當(dāng)P<0.05時(shí),可以認(rèn)為模?型在α=0.05的水平?上顯著,或者置信度?達(dá)到95%;當(dāng)P<0.01時(shí),可以認(rèn)為模?型在α=0.01的水平?上顯著,或者置信度?達(dá)到99%;當(dāng)P<0.001時(shí),可以
17、認(rèn)為模?型在α=0.001的水?平上顯著,或者置信度?達(dá)到99.9%。對(duì)于本例,P=0.00000?00542?<0.0001,故可認(rèn)為在?α=0.0001的?水平上顯著?,或者置信度?達(dá)到99.99%。P值檢驗(yàn)與?t值檢驗(yàn)是?等價(jià)的,但P值不用?查表,顯然要方便?得多。</p><p> 最后幾列給?出的回歸系?數(shù)以95%為置信區(qū)間?的上限和下?限??梢钥闯觯讦?0.05的顯著?水平上,截距的變化?上
18、限和下限?為-1.85865?和6.57153?,即有</p><p> 斜率的變化?極限則為1?.59615?和2.02969?,即有</p><p> 第四部分,殘差輸出結(jié)?果</p><p> 這一部分為?選擇輸出內(nèi)?容,如果在“回歸”分析選項(xiàng)框?中沒有選中?有關(guān)內(nèi)容,則輸出結(jié)果?不會(huì)給出這?部分結(jié)果。</p><p> 殘差輸
19、出中?包括觀測(cè)值?序號(hào)(第一列,用i表示),因變量的預(yù)?測(cè)值(第二列,用表示),殘差(resid?uals,第三列,用ei表示?)以及標(biāo)準(zhǔn)殘?差(表4)。</p><p> 表4 殘差輸出結(jié)?果</p><p> 預(yù)測(cè)值是用?回歸模型</p><p> 計(jì)算的結(jié)果?,式中xi即?原始數(shù)據(jù)的?中的自變量?。從圖1可見?,x1=15.2,代入上式,得</p&
20、gt;<p><b> 其余依此類?推。</b></p><p> 殘差ei的?計(jì)算公式為?</p><p> 從圖1可見?,y1=28.6,代入上式,得到</p><p><b> 其余依此類?推。</b></p><p> 標(biāo)準(zhǔn)殘差即?殘差的數(shù)據(jù)?標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果?,借助均值命
21、?令aver?age和標(biāo)?準(zhǔn)差命令s?tdev容?易驗(yàn)證,殘差的算術(shù)?平均值為0?,標(biāo)準(zhǔn)差為1?.33777?4。利用求平均?值命令st?andar?dize(殘差的單元?格范圍,均值,標(biāo)準(zhǔn)差)立即算出表?4中的結(jié)果?。當(dāng)然,也可以利用?數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化?公式</p><p> 逐一計(jì)算。將殘差平方?再求和,便得到殘差?平方和即剩?余平方和,即有</p><p> 利用Exc?el的求平?方
22、和命令s?umsq容?易驗(yàn)證上述?結(jié)果。</p><p> 以最大積雪?深度xi為?自變量,以殘差ei?為因變量,作散點(diǎn)圖,可得殘差圖?(圖3)。殘差點(diǎn)列的?分布越是沒?有趨勢(shì)(沒有規(guī)則,即越是隨機(jī)?),回歸的結(jié)果?就越是可靠?。</p><p> 用最大積雪?深度xi為?自變量,用灌溉面積?yi及其預(yù)?測(cè)值為因變?量,作散點(diǎn)圖,可得線性擬?合圖(圖4)。</p><
23、;p><b> 圖3 殘差圖</b></p><p><b> 圖4 線性擬合圖?</b></p><p> 第五部分,概率輸出結(jié)?果</p><p> 在選項(xiàng)輸出?中,還有一個(gè)概?率輸出(Proba?bilit?y Outpu?t)表(表5)。第一列是按?等差數(shù)列設(shè)?計(jì)的百分比?排位,第二列則是?原始數(shù)據(jù)因
24、?變量的自下?而上排序(即從小到大?)——選中圖1中?的第三列(C列)數(shù)據(jù),用鼠標(biāo)點(diǎn)擊?自下而上排?序按鈕,立即得到表?5中的第二?列數(shù)值。當(dāng)然,也可以沿著?主菜單的“數(shù)據(jù)(D)→排序(S)”路徑,打開數(shù)據(jù)排?序選項(xiàng)框,進(jìn)行數(shù)據(jù)排?序。</p><p> 用表5中的?數(shù)據(jù)作散點(diǎn)?圖,可以得到E?xcel所?謂的正態(tài)概?率圖(圖5)。</p><p><b> 表5 概率輸出表
25、?</b></p><p><b> 圖5 正態(tài)概率圖?</b></p><p><b> 【幾點(diǎn)說明】</b></p><p> 多元線性回?歸與一元線?性回歸結(jié)果?相似,只是變量數(shù)?目m≠1,F(xiàn)值和t值?等統(tǒng)計(jì)量與?R值也不再?等價(jià),因而不能直?接從相關(guān)系?數(shù)計(jì)算出來?。</p><
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