數(shù)學(xué)建模數(shù)碼相機(jī)定位獲獎(jiǎng)優(yōu)秀論文

1、<p>　　高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽</p><p><b>　　承 諾 書</b></p><p>　　我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.</p><p>　　我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。</

2、p><p>　　我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。</p><p>　　我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。</p><p>　　我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選

3、擇一項(xiàng)填寫）： A </p><p>　　我們的參賽報(bào)名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號的話）： </p><p>　　所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?</p><p>　　參賽隊(duì)員 (打印并簽名)

4、：1. </p><p>　　2. </p><p>　　3. </p><p>　　指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (

5、打印并簽名)： </p><p>　　日期： 2012 年 7 月 2 日</p><p>　　賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：</p><p>　　2008高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽</p><p><b>　　編 號 專 用 頁</b&g

6、t;</p><p>　　賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：</p><p>　　賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：</p><p>　　全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：</p><p>　　全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：</p><p>　　數(shù)碼相機(jī)的雙目定位研究</p&g

7、t;<p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文通過建立世界坐標(biāo)系、光心坐標(biāo)系、圖像坐標(biāo)系、像素坐標(biāo)系這四個(gè)坐標(biāo)系，對數(shù)碼相機(jī)雙目定位進(jìn)行了研究。</p><p>　　對于問題一和問題二，我們建立了矩陣變換模型</p><p>　　對于問題三，我們建立</p><p><b>　　對

8、于問題四，</b></p><p>　　關(guān)鍵詞：小孔成像、變換矩陣、雙目定位</p><p><b>　　問題重述</b></p><p><b>　　問題背景：</b></p><p>　　數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相

9、片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。</p><p>　　標(biāo)定的一種做法是：在一塊平

10、板上畫若干個(gè)點(diǎn)， 同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。</p><p>　　有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1

11、個(gè)邊長為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓。 </p><p><b>　　需要解決的問題：</b></p><p>　　建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；</p&

12、gt;<p>　　對由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024×768；</p><p>　　設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并對方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；</p><p>　　建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型

13、和方法。</p><p><b>　　模型假設(shè)</b></p><p>　　假設(shè)數(shù)碼相機(jī)成像系統(tǒng)是小孔成像；</p><p>　　假設(shè)兩臺相機(jī)的焦距及其他內(nèi)部參數(shù)均相等；</p><p>　　相機(jī)光軸與圖像平面的交點(diǎn)就是圖片的幾何中心。也就是說，圖片的中心即為像平面的原點(diǎn)。</p><p><

14、;b>　　符號說明</b></p><p>　?。菏澜缱鴺?biāo)系，其中 ， ， 分別為坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸</p><p>　　：攝像機(jī)坐標(biāo)系，其中， ，分別為坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸</p><p>　　：圖像坐標(biāo)系，其中，分別為坐標(biāo)軸</p><p>　?。合袼刈鴺?biāo)系，其中 ， 分別為坐標(biāo)軸</p><p>　　

15、：攝像機(jī)光心，即攝像機(jī)坐標(biāo)系的原點(diǎn)</p><p>　　：在，坐標(biāo)系中的坐標(biāo)</p><p>　?。好恳粋€(gè)像素在軸方向上的物理尺寸</p><p>　?。好恳粋€(gè)像素在軸方向上的物理尺寸</p><p><b>　?。簲z相機(jī)焦距</b></p><p><b>　?。盒D(zhuǎn)矩陣</b&

16、gt;</p><p><b>　　：三維平移向量</b></p><p>　　f ：焦距</p><p><b>　　模型建立與求解</b></p><p>　　在分析題目之后，我們建立了以下四個(gè)坐標(biāo)系。</p><p>　　世界坐標(biāo)系（，，，）：

17、是假想的參考坐標(biāo)系，可固定于場景中某物體上，用于描述相機(jī)的位置。在題中設(shè)其原點(diǎn)設(shè)為靶標(biāo)中心， 垂直于靶標(biāo)面。</p><p>　　光心坐標(biāo)系：--以攝像機(jī)的光心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),軸、軸分別垂直于光軸,攝像機(jī)的光軸為軸,坐標(biāo)值用表示。</p><p>　　圖像坐標(biāo)系：坐標(biāo)原點(diǎn)為照相機(jī)光州與圖像平面的交點(diǎn),X軸、Y軸分別為平行于光心坐標(biāo)系的X軸，Y軸，與光軸XOY平面與光軸垂直,坐標(biāo)值用表示。&l

18、t;/p><p>　　像素坐標(biāo)系：坐標(biāo)原點(diǎn)在圖像平面左上角U軸、V軸分別為平行于圖像坐標(biāo)系的X軸、Y軸,坐標(biāo)值用表示,且為離散的整數(shù)值。</p><p><b>　　攝像機(jī)的線性模型：</b></p><p>　　透視投影是最常用的成像模型，可以用針孔成像模型近似表示。其特點(diǎn)是所有來自場景的光線均通過一個(gè)投影中心，它對應(yīng)于透鏡的中心。經(jīng)過投影中心且

19、垂直于圖像平面的直線稱為投影軸或光軸，如圖4.3所示。其中是固定在攝像機(jī)上的直角坐標(biāo)系，遵循右手法則，其原點(diǎn)位于投影中心，軸與投影重合并指向場景，軸和軸與圖像平面的坐標(biāo)軸和平行，平面與圖像平面的距離為攝像機(jī)的焦距f。在實(shí)際攝像機(jī)中，圖像平面位于投影中心后距離為f的位置，其投影圖像是倒立的，為了避免圖像倒立，假定有一個(gè)虛擬成像x 'y 'z'平面位于投影中心的前面，點(diǎn)在圖像平面上的投影位置(x ,y)可以通過計(jì)算點(diǎn)

20、的視線與虛擬成像平面的交點(diǎn)得到。</p><p><b>　　問題一、問題二：</b></p><p><b>　　模型的建立：</b></p><p><b>　　模型的求解：</b></p><p><b>　　問題三：</b></p>

21、<p><b>　　精確度的檢驗(yàn)：</b></p><p><b>　　模型的建立：</b></p><p>　　由小孔成像可知，直線經(jīng)小孔成像之后仍然是直線，所以，在標(biāo)靶上的圓A、B、C，他們的圓心在標(biāo)靶上是一條直線，那么經(jīng)過小孔成像之后，三個(gè)圓心的像的應(yīng)該仍然在一條直線上。因此，我們建立了圓心的像的共線性模型。該模型是針對同一條直線

22、上的三個(gè)圓心A、B、C所對應(yīng)的像點(diǎn)A 是否仍然在一條直線上進(jìn)行驗(yàn)證。我們通過對三個(gè)圓心A、B、C的像點(diǎn) 進(jìn)行擬合，可以得到一條擬合直線，然后計(jì)算三個(gè)圓心A、B、C的像點(diǎn) 到這條擬合直線的距離，如果距離非常小，說明擬合程度高。我們有理由相信，圓心A、B、C的像點(diǎn)仍具有共線性，也就說明模型的精確程度較高。</p><p><b>　　模型的求解：</b></p

23、><p>　　通過問題一和問題二的求解，我們知道了圓心A、B、C的坐標(biāo)分別為（ ），（ ），（ ），經(jīng)過擬合可得直線 </p><p>　　求得圓心A的像點(diǎn) 到直線的距離為：</p><p>　　求得圓心A的像點(diǎn) 到直線的距離為：</p><p>　　求得圓心A的像點(diǎn) 到直線的距離為：</p&g

24、t;<p><b>　　因?yàn)?</b></p><p>　　所以模型的精確度較較高。</p><p><b>　　穩(wěn)定性的檢驗(yàn)：</b></p><p><b>　　模型的建立：</b></p><p>　　由于種種原因，像的輪廓上的點(diǎn)具有很大的不確定性，所

25、以我們建立了選取數(shù)量的邊界點(diǎn)進(jìn)行擬合計(jì)算，得到相應(yīng)的橢圓擬合方程，比較每次擬合所得的橢圓系數(shù)，如果相對應(yīng)的所有系數(shù)的方差較小，說明模型的穩(wěn)定性強(qiáng)，反之，模型的穩(wěn)定性就弱。</p><p><b>　　模型的求解：</b></p><p>　　我們對所得到的邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)倪x取，分別去了80、65、50、35個(gè)坐標(biāo)進(jìn)行了計(jì)算，得到如下結(jié)果。</p>

26、<p><b>　　方差為：</b></p><p><b>　　問題四：</b></p><p>　　模型的建立與求解： </p><p><b>　　要畫圖</b></p><p>　　當(dāng)用兩部位置固定的相機(jī)進(jìn)行拍攝定位時(shí)，就會存在兩個(gè)相機(jī)得光心坐標(biāo)系，我們可以

27、將相機(jī)分別記為，故兩個(gè)相機(jī)的坐標(biāo)分別為,世界坐標(biāo)系與相機(jī)的光心坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)化的旋轉(zhuǎn)矩陣為，平移矩陣為，世界坐標(biāo)系與相機(jī)的光心坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)化的旋轉(zhuǎn)矩陣為，平移矩陣為，對于空間內(nèi)的任意點(diǎn)，其在世界坐標(biāo)系和相機(jī)中的坐標(biāo)可以記為,因此由上文可得：</p><p>　　因此消去,可得兩個(gè)位置固定的相機(jī)之間的相對位置為：</p><p><b>　　即 </b></p&

28、gt;<p><b>　　模型的評價(jià)與分析</b></p><p><b>　　模型的優(yōu)點(diǎn)：</b></p><p>　　1.變化矩陣模型具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，可以對一般的雙目定標(biāo)問題進(jìn)行求解。</p><p>　　2.穩(wěn)定性檢驗(yàn)過程中充分考慮了圖像邊界的信息，從整體的角度把握的信息。</p>&l

29、t;p>　　3.模型的穩(wěn)定性較好，精確度較高。</p><p><b>　　模型的缺點(diǎn)：</b></p><p>　　本文的模型是建立在小孔成像的基礎(chǔ)上的，而實(shí)際相機(jī)成像是透鏡成像，原理圖像中心處，透鏡畸變會比較大，從而會影響小孔成像，對模型造成一定的誤差。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p&

30、gt;<p>　　[1] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型.高等教育出版社，2003年8月。</p><p>　　[2] 周建華，陳建龍，張小向，幾何與代數(shù)，科學(xué)出版社，2009年6月。</p><p>　　[3] 蔡健榮，趙杰文 雙目立體視覺系統(tǒng)攝相機(jī)標(biāo)定 江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 第27卷 第1期：6-9 2006。</p><p>　　[4]