不等價不可約的群表示的判斷設(shè)計說明書

1、<p>　　本科畢業(yè)設(shè)計（論文）</p><p>　　不等價不可約的群表示的判斷</p><p>　　院 （系） XX學院 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　姓 名 </p><p

2、>　　學 號 </p><p>　　指 導 教 師 </p><p>　　完 成 時 間 2016年2月25日 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　第一章 引言1</b&

3、gt;</p><p>　　1.1課題的來源與研究的目的和意義1</p><p>　　1.1.1本課題的研究目的3</p><p>　　1.1.2本課題的研究意義5</p><p>　　1.2本課題研究的內(nèi)容6</p><p>　　1.3國內(nèi)外研究現(xiàn)狀8</p><p>　　第二章 群

4、表示理論基礎(chǔ)10</p><p>　　2.1群表示的基及群的表示11</p><p>　　2.1.1群表示的定義12</p><p>　　2.2不等價不可約群表示的分類13</p><p>　　2.2.1群的等價表示14</p><p>　　2.2.2群的完全可約表示15</p><p&

5、gt;　　2.2.3群的不可約表示16</p><p>　　2.2.4群的酉表示18</p><p>　　第三章 群的不可約表示19</p><p>　　第四章 群的不等價不可約的判斷條件21</p><p>　　第五章 判斷條件的證明22</p><p><b>　　結(jié) 論24</b&

6、gt;</p><p><b>　　致 謝25</b></p><p><b>　　參考文獻26</b></p><p><b>　　第一章 引 言</b></p><p>　　1.1 課題的來源與研究的目的和意義</p><p>　　本論文通

7、過對不等價不可約的群表示的判斷進行闡述和論證，從代數(shù)觀點來對不等價不可約的群表示的判斷，從而來了解群的不等價不可約表示，并且找出不等價不可約的群表示的判定并并證明所找方法的正確性，最后再應用到不等價不可約的表示中。</p><p>　　1.1.1 本課題的研究目的</p><p>　　本論文通過對不等價不可約的群表示的判斷進行闡述和論證，從代數(shù)觀點來對不等價不可約的群表示的判斷，從而來了解

8、群的不等價不可約表示，并且找出不等價不可約的群表示的判定并并證明所找方法的正確性，最后再應用到不等價不可約的表示中。</p><p>　　1.1.2 本課題的研究意義</p><p>　　群表示論是研究群的最有力的工具之一，也是代數(shù)學中具有根本性的問題，是當前國際上數(shù)學研究的前沿重點課題，通過對不等價不可約群表示進行判斷，從而來得出正確的結(jié)論，對于不等價不可約群的這種判斷過程，會對后續(xù)的應

9、用數(shù)學學科在不等價不可約群表示的判斷方法上面有著一定的參考作用和借鑒意義。在某種程度上面，能夠?qū)脭?shù)學領(lǐng)域起到一定的推動作用。</p><p>　　1.2 本課題研究的內(nèi)容</p><p>　　本次畢業(yè)論文的題目是不等價不可約的群表示的判斷，根據(jù)任務書要求，查閱相關(guān)資料，了解不等價不可約的群表示的判斷方法法，根據(jù)查找到的相關(guān)資料和數(shù)據(jù)，闡述不等價不可約群表示的判斷形勢及通過理論公式來證明

10、這個觀點，并且在原有的基礎(chǔ)上面對不等價不可約的群表示的判斷方法進行推廣，并對其中的某種重要的判斷方法進行推廣和論證，最后編寫畢業(yè)設(shè)計說明書。具體步驟如下：</p><p>　　1）查找資料了解什么是群；</p><p>　　2）掌握有關(guān)群表示的基本理論；</p><p>　　3）有關(guān)群的不等價、不可約表示；</p><p>　　4）找出不等價

11、不可約表示的判斷條件；</p><p>　　5）對其中的一種判斷條件進行證明；</p><p>　　6）編寫設(shè)計說明書；</p><p>　　1.3 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀</p><p>　　眾所周知,不等價不可約群理論是高等代數(shù)的重要組成部分 , 而不可約不等價不可約群是不等價不可約群中的重 要概念.在高等代數(shù)課本中不等價不可約群部分只講述了有理

12、數(shù)域上存在任意次不可約不等價不可約群這樣 一個事實,并介紹了艾森斯坦判別法 .但艾森斯坦判別法只是一個充分條件,還存在著大量 的不可約不等價不可約群不能用艾森斯坦判別法判別 .本文在現(xiàn)有不可約不等價不可約群判定方法的基礎(chǔ)之 上做了一些探討,給出了一些其它的判別方法使得有理數(shù)域上不等價不可約群不可約的判定方法更 加地完善.群表示論是近現(xiàn)代數(shù)學理論中的一個強有力的工具，它包含了許多分支，其中近年來在無限維表示理論中也嶄露頭角，并且在組合數(shù)學

13、、概率統(tǒng)計、糾錯編碼和密碼學中也越來越多的被運用起來。</p><p>　　李力、梁永昌等人在《不等價不可約群表示判斷方法的研討》中簡要概述不等價不可約群表示的判斷方法的分類和方法，并且很詳實地講述了其理論研究領(lǐng)域的發(fā)展歷史和最最新研究進展。</p><p>　　德國數(shù)學家艾森斯坦成功對不等價不可約的群表示的判斷進行了推廣，通過運用數(shù)學理論知識論證了這一課題。</p><

14、;p>　　英國數(shù)學家John James在艾森斯坦判別法的基礎(chǔ)上將其推廣,并補充了其它的判別方法,使得不等價不可約群表示的判定方法更為系統(tǒng)化和成熟化，而且在這一基礎(chǔ)上，對不等價不可約群表示的判斷方法進行了推廣。</p><p>　　第二章 群表示理論基礎(chǔ)</p><p>　　2.1 群表示的基及群的表示</p><p>　　2.1.1群表示的定義</p&

15、gt;<p>　　基:群元素作用的對象稱為與它相應的，群表示的基。基可以有各種類型,如矢量(x,y,z) ,波函數(shù)( 波函數(shù)(px,py,pz)。</p><p>　　數(shù)域K（實數(shù)域R或復數(shù)域C）上的線性空間V是一個向量集合，；該集合定義了加法和數(shù)乘兩種二元運算，且集合V在加法運算下構(gòu)成交換群，滿足：</p><p>　　數(shù)乘運算KV→V滿足：</p><

16、p><b>　　線性無關(guān)和維數(shù)</b></p><p>　　線性空間V中，任意n個向量，其線性組合當且僅當時成立，則稱此n個向量線性無關(guān)，否則它們線性相關(guān)。線性空間中線性無關(guān)向量的最大個數(shù)m，稱為空間V的維數(shù)，記為dimV = m。</p><p><b>　　基矢</b></p><p>　　設(shè)V是n維線性空間，則

17、V中任意一組n個線性無關(guān)的向量，稱為空間V的基矢，記為。空間中任意矢量均可表示為n個基矢的線性組合，。矩陣形式：</p><p><b>　　線性變換</b></p><p>　　線性變換A是將V映入V的線性映射，滿足：</p><p>　　線性變換的矩陣形式：采用列矢量記法</p><p><b>　　故有矩

18、陣形式：</b></p><p>　　若，則稱線性變換A非奇異，A有逆變換A-1，[A-1]=[A]-1。</p><p><b>　　線性變換群</b></p><p>　　定義兩個變換的乘法為兩個線性變換的相繼作用，則n維復線性空間V上的全部非奇異線性變換構(gòu)成的集合在此乘法下構(gòu)成一個群，稱為n維復一般線性群，記為GL(V , C

19、)，其子群L(V, C)稱為V上的線性變換群。</p><p><b>　　群表示</b></p><p>　　設(shè)有群G，如果存在一個從G到n維線性空間V上的線性變換群L的同態(tài)映射A，則同態(tài)映射A稱群G的一個線性表示，V為表示空間，n稱為表示的維數(shù)。</p><p>　　其中g(shù)0為G的單位元，E為L中的恒等變換。</p><

20、p>　　·系1 在表示空間V選一組基，線性變換群可化為矩陣形式，故群在表示空間V上的線性表示，亦可定義為G到矩陣群的同態(tài)映射A。</p><p>　　·系2 若群GG′，則G的表示也是G′的表示。</p><p>　　·系3 一個群G原則上可有無限多的表示。</p><p><b>　　忠實表示</b><

21、;/p><p>　　如果群G到線性變換群L的映射A為同構(gòu)映射，則該表示稱為忠實表示。群表示理論研究抽象群的矩陣表示的結(jié)構(gòu)、類型等規(guī)律。取表示空間為R3，基矢：。</p><p>　　① 為對xy平面的反演。</p><p>　　群本身是定義在R3空間上的線性變換，故其本身是自己的一個表示，選擇一個具體基矢可以將其矩陣化：</p><p><

22、;b>　　故表示矩陣為：</b></p><p><b>　?、?，表示矩陣為：</b></p><p><b>　?、?，其表示為：</b></p><p>　　以上三個群均是R3上的變換群，故其本身就是他們的表示（忠實表示）。他們還可以有其他的表示。如空間反演群有表示，如：</p>&l

23、t;p>　　它實際上是三個一維表示的合成：</p><p>　　或者說一個二維恒等表示與一個一維非恒等表示的直和。</p><p>　　，均是互相同構(gòu)的二階循環(huán)群，具有相同的群表示。他們兩個最基本的表示為：</p><p><b>　　, a分別為。</b></p><p>　?、?D3有一維恒等表示，；</

24、p><p>　?、?D3與Z2同態(tài)：</p><p>　　故D3有非恒等一維表示：</p><p>　　③ D3為R3的線性變換群，其矩陣形式本身即為它的一個表示。</p><p>　　表示空間V 為R3，取基：</p><p>　　同理，可得表示矩陣 </p><p>　　④ D3在x , y,

25、z的二次齊次函數(shù)空間中的表示，空間的基為：</p><p>　　任何二次齊次函數(shù)可表示為以上基函數(shù)的線性組合。三維空間中的線性變換g對向量r的改變，同時將對定義在該空間中的標量函數(shù)作變換，即g對應一個標量函數(shù)變換算符，即。由容易發(fā)現(xiàn)，。可以驗證變換群與算符做成的函數(shù)變換群同構(gòu)。對于，有：</p><p>　　故, 故在函數(shù)線性空間上的矩陣形式即為群的一個表示。</p><

26、;p>　　故可得Pd的表示矩陣：</p><p>　　其他群元的表示矩陣可以同樣得到。與變換對應有標量函數(shù)變換算符。設(shè)H的本征值為En的，對應本征數(shù)為u為簡并度指標，簡并度為fn ，有：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　這些簡并波函數(shù)的任意組合均是相同本征值下的本征函數(shù)?？梢詸z驗，也是H的本征函數(shù)：</p

27、><p>　　故En能級的所有簡并波函數(shù)構(gòu)成哈密頓算符群{}不變的線性空間。在簡并本征函數(shù)空間中變換算符的矩陣形式即為哈密頓算符對稱群的表示。</p><p>　　記的表示矩陣為，具體形式由下式確定： </p><p>　　2.2群的表示的分類 一個群的表示原則上可以有無窮多個，它們可以分解或約化為有代表性的最基本表示的組合。</p><p&

28、gt;　　2.2.1 群的等價表示</p><p>　　設(shè)群G在表示空間V取基下的表示為，在另一組基下的表示為，若，X為兩組基之間的變換，有：</p><p><b>　　，detX≠0</b></p><p>　　則稱表示等價，或為A的等價表示。</p><p>　　·系1 兩個用相似變換相聯(lián)系的表示互相等

29、價：或，(detP≠0), A和B等價。等價表示只是不同基的選擇而已，故重要的是尋找不等價的表示，這樣就產(chǎn)生了尋找不等價表示的問題。</p><p><b>　　可約表示</b></p><p>　　設(shè)A是群G在表示空間V上的一個表示，V如果存在G不變的非平庸子空間，是子空間W上的變換群。此時稱A是G的一個可約表示。</p><p>　　&#

30、183;系1 設(shè)是子空間W的基，則取空間V的一組基：</p><p>　　，使得。在此基下表示矩陣具有如下形式： m列 n-m列</p><p>　　為mm矩陣，為m (n-m) 矩陣，為矩陣。子空間W中矢量的形式：（t表示轉(zhuǎn)置，成列矩陣），X經(jīng)過變換仍然在子空間中： 。</p><p>　　·系2 可以驗證在變換下不具有封閉性：</p>

31、<p><b>　　。</b></p><p><b>　　·系3 另外，</b></p><p>　　仍然具有相同的結(jié)構(gòu)，故、均構(gòu)成新的群表示。</p><p>　　·系4 對于有限群，上述階梯矩陣都可以通過相似變換化為對角分塊形式。</p><p><b

32、>　　線性空間的直和</b></p><p>　　設(shè)線性空間V有子空間W1和W2， W1∩W2 =0。對任意，可找到，并唯一的將表示為：，則稱線性空間V是子空間W1和W2的直和，記為。</p><p>　　2.2.2 群的完全可約表示</p><p>　　設(shè)群G的表示空間V可以分解為子空間W1和W2的直和，且W1和W2都是A(G)不變的(即A(G)

33、是W1和W2上的變換群)，則稱G在V上的表示為完全可約表示。</p><p><b>　　·系1 </b></p><p>　　·系2 總可以選一組基，使和分別為子空間W1和W2的基，在此基下表示矩陣具有如下形式：</p><p>　　m列 (n-m)列</p><p>　　·系3

34、若表示A有一個等價表示具有對角形式，則A為完全可約表示。</p><p>　　·系4 對于有限群，可約表示的矩陣總可以化為分塊對角形式，因而一定是完全可約的。對于無限群，存在可約而不完全可約表示。這樣的表示雖然存在群不變非平庸 子空間，但無論如何選擇，其補空間都不是群不變的，這樣的表示仍然稱為可約表示，是不能完全約化的可約表示。如，一維平移群T：</p><p><b>

35、;　　，</b></p><p>　　它是無限阿貝爾群，存在不能完全約化的可約表示：。</p><p>　　2.2.3 群的不可約表示</p><p>　　設(shè)A為G群在表示空間V中的表示，若V不存在A(G)不變的真子空間，則稱A是G的不可約表示。</p><p>　　·系1 G的不可約表示矩陣不具有對角或三角形式。&l

36、t;/p><p>　　·系2 一般地，G的表示空間V總可以表示為不可進一步分解的G不變子空間的直和，而G在V上的表示可以寫為G在這些不可分解的子空間上的不可約表示的直和：</p><p>　　其中整數(shù)mp為不可約表示Ap在表示Ap中出現(xiàn)的次數(shù)，稱為重復度。</p><p>　　·系3 群的任何表示都可以寫成其不等價不可約表示的直和，故尋找一個群的

37、所有不等價不可約表示有重要意義。</p><p><b>　　內(nèi)積和內(nèi)積空間</b></p><p>　　設(shè)V是數(shù)域C上的線性空間，將V中兩個有序向量x，y映為復數(shù)域C上的一個數(shù)，滿足：，有</p><p><b>　?、伲?lt;/b></p><p><b>　?、?；</b>&l

38、t;/p><p><b>　　③ （共軛）</b></p><p><b>　?、埽?lt;/b></p><p>　　則稱為的內(nèi)積，而定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。</p><p>　　內(nèi)積空間中向量的長度或模：；</p><p><b>　　向量垂直若；</b

39、></p><p><b>　　·系1 </b></p><p><b>　　證：</b></p><p>　　·系2 任何內(nèi)積空間總存在正交歸一基，。</p><p>　　證：設(shè)是V的一個基，用施米特正交化方法可以構(gòu)造正交歸一基。</p><p&g

40、t;<b>　　作 有</b></p><p><b>　　又作 有：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　一般地，可令 ，可得正交歸一基：</p><p><b>　　（）。</b></p><p&

41、gt;<b>　　幺正變換</b></p><p>　　設(shè)U是內(nèi)積空間V上的線性變換，若對任意 U保持x和y的內(nèi)積不變，</p><p>　　即：，則稱U為V上的幺正變換。</p><p>　　·系1 幺正變換將正交歸一基變?yōu)榱硪唤M正交歸一基：</p><p><b>　　。</b>&l

42、t;/p><p>　　·系2 記U+為幺正變換U的共軛變換，則其逆變換U-1=U+，U+U=E為恒等變換。</p><p>　　證：內(nèi)積空間上的線性變換A的共軛變換為A+，，有： </p><p>　　故有，由于x，y任意，故有U+U=E，U-1=U+。</p><p>　　·系3 在正交歸一基下，線性變換U的共軛變換U+的

43、矩陣即酉矩陣有：[U+]=為[U]的轉(zhuǎn)置共軛[U]*t (即)。（對于幺正變換有：）</p><p>　　2.2.4 群的酉表示</p><p>　　群G到內(nèi)積空間V中的幺正變換群A上的同態(tài)映射，稱為群G的酉表示。</p><p>　　系1 群G到幺正矩陣群的同態(tài)，也是群G的酉表示。</p><p>　　設(shè)V是內(nèi)積空間，W是V的子空間，定義

44、，為V中所有與W中矢量垂直的向量的集合，則有稱為W的正交補空間。</p><p>　　證明：設(shè)W的一個正交歸一基為 </p><p>　　，可證與W中的任意矢量垂直：</p><p><b>　　因 </b></p><p><b>　　，對成立，</b></p><p>&

45、lt;b>　　，</b></p><p><b>　　故，從而；</b></p><p><b>　　又若即則有：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　若群G的酉表示A是可約的，則A是完全可約的。</p><

46、p>　　證明：設(shè)表示空間為V，G的表示A可約，則V有G不變的子空間W。</p><p>　　由定理2.1有：為W的正交補空間；</p><p><b>　　對；</b></p><p>　　而W是G不變的，故故：</p><p><b>　　即或</b></p><p>

47、;　　故也是G不變的子空間。因此A是完全可約的。</p><p>　　適當選擇正交歸一基A具有如下形式：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　·系1. 若W，中仍然有G不變的子空間，則上述分解可以繼續(xù)進行下去，A最終可表示為：</p><p><b>　　。</b>

48、</p><p>　　其中整數(shù)為不可約酉表示表示中的重復度。</p><p>　　有限群的每一個表示都有等價的酉表示。</p><p>　　證明： 設(shè)，為群G的表示</p><p>　　若能找到相似變換X，對有</p><p><b>　　，使為酉矩陣</b></p><p&

49、gt;<b>　　即 </b></p><p>　　則定理得證。（ + 表示矩陣的轉(zhuǎn)置共軛）</p><p><b>　　構(gòu)造如下矩陣 :</b></p><p>　　為顯然為厄密矩陣：W+ = W，并且有如下性質(zhì)：</p><p><b>　　=</b></p>

50、<p><b>　　=</b></p><p><b>　　= </b></p><p>　　可以檢驗如上的厄密矩陣可以表示為 ，X為非奇異矩陣：</p><p>　　首先厄密矩陣總可以找到酉矩陣U使之完全對角化為，其對角元為實數(shù)，即：</p><p><b>　　，<

51、/b></p><p>　　并且可以發(fā)現(xiàn)為正定矩陣：</p><p>　　故正定對角矩陣可以表示為形式，其中D也是正定對角矩陣。</p><p><b>　　由可得：，。</b></p><p>　　可以驗證，X即為所尋找的使表示A化為酉表示的相似變換：</p><p><b>　

52、　令 </b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　＝</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　＝&

53、lt;/b></p><p><b>　　＝</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　故 為酉表示，得證。</p><p><b>　　群的不可約表示</b>

54、;</p><p>　　建立了二維幺正幺模矩陣與歐勒角的關(guān)系后，本節(jié)將給出SU(2)群的不可約表示.</p><p>　　SU(2)的群元素為二階幺模幺正矩陣</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　設(shè)二維空間的基元為, 是與U相聯(lián)系的變換算符，則</p><p>&

55、lt;b>　　亦即</b></p><p><b>　　(1)</b></p><p><b>　　容易證明</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　為了將SU(2)的表示空間的基矢與球諧函數(shù)相聯(lián)系，通常將其取成</p&g

56、t;<p><b>　　(3)</b></p><p><b>　　選擇滿足下列條件</b></p><p><b>　　(4)</b></p><p><b>　　亦即</b></p><p><b>　　(5)</b>

57、;</p><p><b>　　下面將證明，若取</b></p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　(4)式或(5)式成立, 因為若將(6)代入(5)式得</p><p><b>　　令 ，則上式變?yōu)椋?lt;/b></p><p>　　

58、因此（4）或（5）式得以證明.</p><p>　　由于為SU(2)群的表示空間的基矢，所以有：</p><p><b>　　（7）</b></p><p>　　其中就是SU(2)群的表示矩陣。</p><p>　　而由(1)與(3)兩式知：</p><p><b>　　由二項式定理&l

59、t;/b></p><p><b>　　則上式變?yōu)椋?lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　令，當時，，當時，，</p><p>　　則上式可變 寫成對與的求和，得：</p><p>　　則上式與（7）式比較知：</p>&l

60、t;p><b>　　（8）</b></p><p>　　下面來討論一下，表示的一些性質(zhì).</p><p>　　(1) 由于 共個取值，所以是維的.</p><p>　　(2) 表示是幺正的. </p><p>　　由(4)與(7)得：</p><p><b>　　亦即</b&

61、gt;</p><p>　　因此 </p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　?。?）</b></

62、p><p><b>　　所以表示是幺正的.</b></p><p>　　(3) 是不可約的.</p><p>　　由舒爾引理1知，如果矩陣M與所有的都對易，則當M為常數(shù)矩陣時，就是不可約表示. 為此我們求出兩種特殊情況下的矩陣. 取，，則由（8）式知，只有當且時才不等于零，因此得：</p><p><b>　　（1

63、0）</b></p><p>　　其次在(8)式中，令，則只有當，才不為零，所以</p><p><b>　　（11）</b></p><p>　　如果M與(10)式所示的對易， 則由于(10)式的是一非常數(shù)對角矩陣，所以M也應是一對角矩陣，即：</p><p><b>　　（12）</b&g

64、t;</p><p>　　進一步，若M還與(11)式形式的矩陣對易，即：，或?qū)懗删仃囋男问?lt;/p><p>　　由(12)式，上式變?yōu)椋?lt;/p><p>　　由于矩陣元不恒等于零，所以，即M為一常數(shù)矩陣，所以</p><p><b>　?。?3）</b></p><p>　　因此是一不可約表示.

65、</p><p>　　(4) （14）</p><p>　　在(8)式中作代換，上式就可以得到證明.</p><p>　　前面已經(jīng)談到，SO(3)與 SU(2)同態(tài)，即對SO(3)群的每一元素R，都有SU(2)中的兩個元素與之對應. 反過來，SU(2)中的每一個元素，亦與SO(3)群的每一元素相對應. 這樣SU(2)群的每一

66、個表示亦是SO(3)群的表示. 當取整數(shù)時，由(14)式知，，這時將給出SO(3)群的單值表示，而這時SO(3)群將只有或一個表示，但當取半奇數(shù)時，由于，所以這時將給出SO(3)群的雙值表示，即這時SO(3)群將有兩個表示。</p><p>　　第四章 群的不等價不可約的判斷條件</p><p>　　艾森斯坦（Eisenstein )判別法的主要內(nèi)容為：艾森斯坦判別法是說：給出下面的整系

67、數(shù)不等價不可約群f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,如果存在素數(shù)p，使得p不整除an ，但整除其他ai,(i=0,1,...,n-1) ；p² 不整除a0 ，那么f(x) 在有理數(shù)域上是不可約的。</p><p>　　第五章 判斷條件的證明</p><p>　　對不等價不可約群f(x)取模p，也就是把它的系數(shù)映射到整數(shù)模P的環(huán)上。這樣它便化為f（x）≡cxn,0<

68、;c<p,c為非零常數(shù)。因為在域上的不等價不可約群有唯一分解，f在模p上會分解為單項式。如果f是在有理數(shù)上可約的，那么會有不等價不可約群g, h使得f = g×h。從上可知g和h取模p分別為dxk和exn-k，滿足c = d×e。因為g和h模p的常數(shù)項為零，這表示g和h的常數(shù)項均可被p整除，所以f的常數(shù)項a0可以被p2整除，與f系數(shù)的假設(shè)矛盾。因此得證。依據(jù)牛頓圖的理論在其p進制數(shù)域，我們考慮一系列點的下凸集。

69、(0,1), (1, v1), (2, v2), ..., (n ? 1, vn-1), (n,0), 其中vi 是ai 關(guān)于p的最高次冪。對于一個艾森斯坦不等價不可約群，對0 < i < n,vi ≥1，v0 =1 vn =0, 固而它的牛頓圖即點列的下凸集應當是一條從(0,1)到(n,0)的線段，其斜率為。</p><p><b>　　結(jié) 論</b></p>

70、<p>　　本次畢業(yè)設(shè)計的題目是不等價不可約的群表示的判斷，直到今天，畢業(yè)設(shè)計總算接近尾聲了，通過這次對于不等價不可約的群表示的判斷，使我們充分把握的設(shè)計方法和步驟，不僅復習所學的知識，而且還獲得新的經(jīng)驗與啟示，在各種軟件的使用找到的資料或數(shù)據(jù)，會遇到不清楚的作業(yè)，老師和學生都能給予及時的指導，確保設(shè)計進度，本文所設(shè)計的是不等價不可約的群表示的判斷，通過初期的思路的確定，查資料和開始正式做畢設(shè)，讓我系統(tǒng)地了解到了所學知識的重要

71、性，從而讓我更加深刻地體會到做一門學問不易，需要不斷鉆研，不斷進取才可要做的好，總之，本設(shè)計完成了老師和同學的幫助下，在大學研究的最感謝幫助過我的老師和同學，是大家的幫助才使我的論文得以通過。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　在此論文完成之際，我的心里感到特別高興和激動，在這里，我打心里向我的導師和同學們表示衷心的感謝！因為有了老師的

72、諄諄教導，才讓我學到了很多知識和做人的道理，由衷地感謝我親愛的老師，您不僅在學術(shù)上對我精心指導，在生活上面也給予我無微不至的關(guān)懷支持和理解，在我的生命中給予的靈感，所以我才能順利地完成大學階段的學業(yè)，也學到了很多有用的知識，同時我的生活中的也有了一個明確的目標。知道想要什么，不再是過去的那個愛玩的我了。導師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，創(chuàng)新的學術(shù)風格，認真負責，無私奉獻，寬容豁達的教學態(tài)度都是我們應該學習和提倡的。通過近半年的設(shè)計計算，查找各類不等價

73、不可約的群表示的判斷的相關(guān)資料，論文終于完成了，我感到非常興奮和高興。雖然它是不完美的，是不是最好的，但在我心中，它是我最珍惜的，因為我是怎么想的，這是我付出的汗水獲得的成果，是我在大學四年的知識和反映。四年的學習和生活，不僅豐富了我的知識，而且鍛煉了我的個人能力，更重要的是來自老師和同學的潛移默化讓我學到很多有用的知識，在這里，謝謝老師以及所有關(guān)心我和幫助我的人，謝謝大家。</p><p><b>　

74、　參考文獻</b></p><p>　　[1] 徐灝等.高等數(shù)學[M](第二版）.北京：機械工業(yè)出版社，2003  </p><p>　　[2] 程悅蓀.不等價不可約的群表示的判斷[M].北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，1981   </p><p>　　[3] 周紀良.不等價不可約群的研究與探討[M].北京：機械工業(yè)出版社

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