課程設(shè)計(jì)---利用matlab研究受空氣阻尼的拋體運(yùn)動

1、<p><b>　　課程設(shè)計(jì)任務(wù)書</b></p><p>　　2011—2012 學(xué)年第 1 學(xué)期</p><p>　　理學(xué)院 學(xué)院（系、部） 應(yīng)用物理學(xué) 專業(yè) 081 班級</p><p>　　課程名稱： 計(jì)算物理

2、 </p><p>　　設(shè)計(jì)題目：利用Matlab研究受空氣阻尼的拋體運(yùn)動</p><p>　　完成期限：自 2011 年 11 月 28 日至 2011 年 12 月 2 日共 1 周</p><p>　　指導(dǎo)教師（簽字）： 年 月 日&l

3、t;/p><p>　　系（教研室）主任（簽字）： 年 月 日</p><p><b>　?。ㄜ浖こ蹋?lt;/b></p><p><b>　　設(shè)計(jì)說明書</b></p><p>　　起止日期： 2011 年 11月 28日 至 2011 年

4、12月 2日</p><p><b>　　理學(xué)院（部）</b></p><p>　　2011年 12月 31日</p><p><b>　　課程設(shè)計(jì)內(nèi)容</b></p><p>　　一．課題研究的背景和意義</p><p>　　在力學(xué)中涉及許多復(fù)雜的計(jì)算問題，例如非線性問題，

5、對其求解有時(shí)是很困難的，甚至是不可能的。MATLAB正是處理非線性問題的很好的工具，既能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，又能繪制有關(guān)曲線，非常方便。</p><p>　　在理論力學(xué)和普通物理學(xué)的范圍內(nèi)，一般說來，拋射體的運(yùn)動可看作是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，在假定空氣阻力可以忽略或阻力至于速度的一次放成正比的情況下，用解析法能夠很容易的求解運(yùn)動方程，但這種假定，只有在被拋射出的物體運(yùn)動速度很低時(shí)才能近似成立。經(jīng)典力學(xué)原理基本上沿著兩條路線進(jìn)行。

6、一條是基于牛頓運(yùn)動定律，在靜力分析中，主要遵循力學(xué)平衡原理，加上組成結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)關(guān)系和應(yīng)變，位移的幾何協(xié)調(diào)關(guān)系可以導(dǎo)出微分方程。另一條是基于功、能原理，它以能量原理（如最小勢能原理，虛位移原理等）為基礎(chǔ)，可以導(dǎo)出需要求解的積分方程。</p><p>　　不管是解微分方程還是積分方程，均需求出函數(shù)y=f(x)，使之滿足方程并在邊界上滿足邊界條件。對于簡單問題可以求得其解析解。但物理學(xué)中的實(shí)際問題是很復(fù)雜的，往往很

7、難求的其實(shí)用的解析解，因此，應(yīng)用計(jì)算機(jī)得到其數(shù)值解成了可行的解決問題的途徑。常用的數(shù)值方法有差分法、有限元法、加權(quán)殘值法、邊界元法登。這些解法通常都有大量的矩陣運(yùn)算以及其他數(shù)值運(yùn)算。MATLAB具有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算功能，這使得人們可以用它來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的編程語言。在計(jì)算要求相同的情況下，使用MATLAB編程，工作量會大大減少。例如，采用MATLAB編制自由振動的子程序時(shí)只需要調(diào)用兩個(gè)函數(shù)：求逆矩陣的inv函數(shù)及求特征值和特征向量的eig函數(shù)。

8、</p><p><b>　　二．課題研究的內(nèi)容</b></p><p>　　我們根據(jù)課程設(shè)計(jì)的要求與實(shí)現(xiàn)目的，制定了如下的設(shè)計(jì)步驟：</p><p>　　首先，根據(jù)題目所給的條件，我們易列出牛頓運(yùn)動方程。根據(jù)是分析拋體運(yùn)動所受空氣阻力的三種情況（后面程序部分給出），可以寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程。將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的矢量方程分解在平面正交坐標(biāo)軸上面后，可

9、以分解出4個(gè)標(biāo)量方程。</p><p>　　再次，得到了阻尼運(yùn)動的方程后，接下就是如何去解出方程，根據(jù)經(jīng)典理論物理的牛頓運(yùn)動分析方法固然可以解出，但是步驟繁瑣，易出錯(cuò)。本課題的中心是利用matlab來解決阻尼拋體運(yùn)動，當(dāng)然想到用建立模型的方法去求解。本課題中我們想到采用龍格-庫塔方法求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程。</p><p>　　最后，根據(jù)微分方程的函數(shù)形式，利用ode45命令解出本題的結(jié)果

10、。</p><p>　　利用所得到的結(jié)果，我們可以利用該模型進(jìn)行模擬其它類似阻尼運(yùn)動的復(fù)雜運(yùn)動的軌跡。所以本課題的內(nèi)容要求畫出粒子的空間軌跡和速度隨時(shí)間變化的彗星圖，找出軌跡的最高點(diǎn)，到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間和速度。</p><p>　　三.所需的設(shè)備和組員</p><p>　　第一階段：（11月28日）分析拋體運(yùn)動所受空氣阻力的三種情況，寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程。</

11、p><p>　　第二階段：（11月29日）設(shè)計(jì)計(jì)算流程圖</p><p>　　第三階段：（11月30日）根據(jù)計(jì)算流程圖設(shè)計(jì)計(jì)算程序</p><p>　　第四階段：（12月1日）對設(shè)計(jì)的程序進(jìn)行調(diào)試和優(yōu)化</p><p>　　第五階段：（12月2日）寫出課程設(shè)計(jì)的總結(jié)實(shí)驗(yàn)報(bào)告</p><p>　　所用軟件：matlab 6.

12、5</p><p>　　所用語言：matlab語言</p><p>　　所需設(shè)備：PC電腦一臺</p><p><b>　　四：程序設(shè)計(jì)</b></p><p>　　1．Matlab中龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法原理</p><p>　　龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法是一種在

13、工程上應(yīng)用廣泛的高精度單步算法。由于此算法精度高，采取措施對誤差進(jìn)行抑制，所以其實(shí)現(xiàn)原理也較復(fù)雜。該算法是構(gòu)建在數(shù)學(xué)支持的基礎(chǔ)之上的。龍格庫塔方法的理論基礎(chǔ)來源于泰勒公式和使用斜率近似表達(dá)微分，它在積分區(qū)間多預(yù)計(jì)算出幾個(gè)點(diǎn)的斜率，然后進(jìn)行加權(quán)平均，用做下一點(diǎn)的依據(jù)，從而構(gòu)造出了精度更高的數(shù)值積分計(jì)算方法。如果預(yù)先求兩個(gè)點(diǎn)的斜率就是二階龍格庫塔法，如果預(yù)先取四個(gè)點(diǎn)就是四階龍格庫塔法。一階常微分方程可以寫作：y'=f(x,y),使用

14、差分概念。(Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出（近似等于，極限為Yn'）Yn+1=Yn+h*f(Xn,Yn)另外根據(jù)微分中值定理，存在0<t<1,使得Yn+1=Yn+h*f(Xn+th,Y(Xn+th))這里K＝f(Xn+th,Y(Xn+th))稱為平均斜率，龍格庫塔方法就是求得K的一種算法。利用這樣的原理，經(jīng)過復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（過于繁瑣省略），可以得出截?cái)嗾`差為O(h^5)的四階龍格庫塔公式：

15、K1＝f(Xn,Yn);K2=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K1);K3=f(Xn+h/2</p><p>　　2．Matlab設(shè)計(jì)的流程圖</p><p><b>　　3．源程序</b></p><p><b>　　函數(shù)</b></p><p>　　function f=znxpfun(

16、t,y) </p><p>　　global m d e </p><p>　　f=[y(2);...</p><p>　　-d/m*y(2)*(y(2).^2+y(4).^2)^(e/2);...</p><p><b>　　y(4);...</b></p><p>　　-9.8-d/m*y(4

17、)*(y(2).^2+y(4).^2)^(e/2)];</p><p><b>　　程序</b></p><p>　　global m d e </p><p>　　m=1;b=[0,0.2,0.2];p=[0,0,1]; %-8PH(7 &</p><p>　　px=[4.6;4.5;4.5]; % '

18、;m7xp</p><p>　　py=[3.5;1.8;0.4]; % ';m7yp</p><p>　　strdd{1}='無阻尼';</p><p>　　strdd{2}='v';</p><p>　　strdd{3}='v^2';</p><p>&

19、lt;b>　　figure</b></p><p>　　for i=1:3 %.K?d)e/hA7\</p><p>　　d=b(i); e=p(i); %J?-8 &7b</p><p>　　[t,y]=ode45('znxpfun',[0:0.01:10],[0,3,0,5]);</p><p&g

20、t;　　H{i}=max(y(:,3)) %X</p><p>　　T{i}=t(find(y(:,3)==H{i})) %U \)?+5/oM:f</p><p>　　vx0{i}=y(find(y(:,3)==H{i}),2) %5oM:(B</p><p>　　subplot(2,1,1) %J[2</p><p>　　axis([

21、0 6 -70 2]); % ?pF6</p><p>　　hold on %2I</p><p>　　xlabel('x'); ylabel('y'); %x,yh7j</p><p>　　comet(y(:,1),y(:,3)); %yl7rfX</p><p>　　subplot(2,1,2)&l

22、t;/p><p>　　axis([0 10 0 4]) </p><p><b>　　hold on </b></p><p>　　xlabel('t');</p><p>　　ylabel('dx/dt')</p><p>　　text(px(i),py(i),str

23、dd{i}); %P?;m 9d=UbZ}`ej;m</p><p>　　comet(t,y(:,2)) %(B*f\2</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　4．圖形</b></p><p><b>　　討論</b></p>

24、;<p>　　圖形的物理意義：由上圖可以看出，當(dāng)拋體運(yùn)動所受空氣阻力為零時(shí)，從y—x圖可知，其可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動與豎直方向的自由落體運(yùn)動。由Vx—t圖可知，水平方向速度不變。當(dāng)所受空氣阻力與速度v成正比時(shí)，由Vx—t圖可知，水平速度不斷減少。當(dāng)所受空氣阻力與v的平方成正比時(shí)，水平位移很快就保持不變，而由Vx—t圖可知水平速度急劇降為零，與事實(shí)相符。</p><p><b>　

25、　五.總結(jié)</b></p><p>　　通過此次課程設(shè)計(jì)，使我更加扎實(shí)的掌握了有關(guān)Matlab在物理計(jì)算方面的知識，在設(shè)計(jì)過程中雖然遇到了一些問題，但經(jīng)過一次又一次的思考，一遍又一遍的檢查終于找出了原因所在，也暴露出了前期我在這方面的知識欠缺和經(jīng)驗(yàn)不足。實(shí)踐出真知，通過親自動手制作，使我們掌握的知識不再是紙上談兵。</p><p>　　過而能改，善莫大焉。在課程設(shè)計(jì)過程中，我們

26、不斷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，不斷改正，不斷領(lǐng)悟，不斷獲取。這次課程設(shè)計(jì)終于順利完成了，在設(shè)計(jì)中遇到了很多問題，最后在老師的指導(dǎo)下，終于游逆而解。在今后社會的發(fā)展和學(xué)習(xí)實(shí)踐過程中，一定要不懈努力，不能遇到問題就想到要退縮，一定要不厭其煩的發(fā)現(xiàn)問題所在，然后一一進(jìn)行解決，只有這樣，才能成功的做成想做的事，才能在今后的道路上劈荊斬棘，而不是知難而退，那樣永遠(yuǎn)不可能收獲成功，收獲喜悅，也永遠(yuǎn)不可能得到社會及他人對你的認(rèn)可！</p><p&

27、gt;　　課程設(shè)計(jì)誠然是一門專業(yè)課，給我很多專業(yè)知識以及專業(yè)技能上的提升，同時(shí)又是一門講道課，一門辯思課，給了我許多道，給了我很多思，給了我莫大的空間。同時(shí)，設(shè)計(jì)讓我感觸很深。使我對抽象的理論有了具體的認(rèn)識。通過這次課程設(shè)計(jì)，我掌握了測試；熟悉了Matlab運(yùn)行環(huán)境和如何編寫Matlab語言，了解了項(xiàng)目開發(fā)的基本思想和概念。</p><p>　　我認(rèn)為，在這學(xué)期的實(shí)驗(yàn)中，不僅培養(yǎng)了獨(dú)立思考、動手操作的能力，在各種

28、其它能力上也都有了提高。更重要的是，在實(shí)驗(yàn)課上，我們學(xué)會了很多學(xué)習(xí)的方法。而這是日后最實(shí)用的，真的是受益匪淺。要面對社會的挑戰(zhàn)，只有不斷的學(xué)習(xí)、實(shí)踐，再學(xué)習(xí)、再實(shí)踐。這對于我們的將來也有很大的幫助。以后，不管有多苦，我想我們都能變苦為樂，找尋有趣的事情，發(fā)現(xiàn)其中珍貴的事情。就像中國提倡的艱苦奮斗一樣，我們都可以在實(shí)驗(yàn)結(jié)束之后變的更加成熟，會面對需要面對的事情。</p><p>　　回顧起此課程設(shè)計(jì)，至今我仍感慨頗

29、多，從理論到實(shí)踐，在這段日子里，可以說得是苦多于甜，但是可以學(xué)到很多很多的東西，同時(shí)不僅可以鞏固了以前所學(xué)過的知識，而且學(xué)到了很多在書本上所沒有學(xué)到過的知識。通過這次課程設(shè)計(jì)使我懂得了理論與實(shí)際相結(jié)合是很重要的，只有理論知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有把所學(xué)的理論知識與實(shí)踐相結(jié)合起來，從理論中得出結(jié)論，才能真正為社會服務(wù)，從而提高自己的實(shí)際動手能力和獨(dú)立思考的能力。在設(shè)計(jì)的過程中遇到問題，可以說得是困難重重，但可喜的是最終都得到了解決。</

30、p><p>　　實(shí)驗(yàn)過程中，也對團(tuán)隊(duì)精神的進(jìn)行了考察，讓我們在合作起來更加默契，在成功后一起體會喜悅的心情。果然是團(tuán)結(jié)就是力量，只有互相之間默契融洽的配合才能換來最終完美的結(jié)果。</p><p>　　此次設(shè)計(jì)也讓我明白了思路即出路，有什么不懂不明白的地方要及時(shí)請教或上網(wǎng)查詢，只要認(rèn)真鉆研，動腦思考，動手實(shí)踐，就沒有弄不懂的知識，收獲頗豐。</p><p><b&g

31、t;　　六．參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 陳鍾賢．計(jì)算物理學(xué)[M]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2001：37-49</p><p>　　[2] 王沫然．Matlab與科學(xué)計(jì)算[M]．北京：電子工業(yè)出版社，2003：219-229．</p><p>　　[3] 石辛民,郝整清.基于MATLAB 的實(shí)用數(shù)值計(jì)算〔M〕.北京:清華大學(xué)出版社