數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-關(guān)于一類二次矩陣方程的解的進(jìn)一步討論

1、<p>　　關(guān)于一類二次矩陣方程的解的進(jìn)一步討論</p><p><b>　　嚴(yán)益水</b></p><p>　?。ㄆ翁飳W(xué)院數(shù)學(xué)系　指導(dǎo)教師：陳智雄）</p><p>　　摘 要：本文首先分析了形如的二次矩陣方程的解結(jié)論,及各種形式解之間的關(guān)系,得到解的一些新結(jié)論.然后討論的方程的解,得到該方程具有某一類解的充要條件,并討論形如的二

2、次矩陣方程,利用合同標(biāo)準(zhǔn)型求出該方程在時(shí)的通解。最后，對于一個(gè)公開問題即時(shí)二次矩陣方程的通解作了初步的討論.</p><p>　　關(guān)鍵詞：二次矩陣方程　　矩陣　　可逆矩陣　　特征值　 </p><p>　　Abstract: In this paper, basing on ana

3、lyzing the solutions of a matrix equation of, and the relationship among all forms of its solutions, we obtain some new conclusions of the equation. Then, we discuss the solutions of the matrix equation and obtain a nec

4、essary and sufficient condition of a class of solutions. We also discuss the matrix equation ofand obtain the general solutions for this equation whenby applying congruent standard form. Finally, we preliminarily discuss

5、 an open problem: the </p><p>　　Keyword: Quadratic equation matrix　 Hermite matrix　 Invertible matrix　 Eigenvalue</p><p>　　對線性矩陣方程的解的討論的文獻(xiàn)已有很多，但對非線性的二次矩陣方程的解的討論的文獻(xiàn)很少見，本文對形如的矩陣方程的解進(jìn)行研究。</p>

6、<p><b>　　1、引言</b></p><p><b>　　1.1記號</b></p><p>　　表示體上的階矩陣的全體</p><p><b>　　表示階單位矩陣即</b></p><p><b>　　表示的共軛轉(zhuǎn)置</b><

7、/p><p><b>　　表示階可逆矩陣的逆</b></p><p><b>　　稱為域上的矩陣</b></p><p><b>　　稱為域上的斜矩陣</b></p><p><b>　　表示矩陣的秩</b></p><p><b

8、>　　1.2、研究的現(xiàn)狀</b></p><p>　　文[1]討論形如的二次矩陣方程的解，但只給出為非退化矩陣時(shí)的解的一類表示式（即利用使得為非退化矩陣的任意矩陣構(gòu)造的解的表達(dá)式），其主要結(jié)論如下：</p><p>　　命題1.2.1（見[1]定理1) 設(shè)為非退化矩陣，為任意矩陣使和均為可逆矩陣，則</p><p><b>　　，<

9、/b></p><p><b>　　是方程的解。</b></p><p>　　命題1.2.2(見[1]定理2) 設(shè)為可逆矩陣，，為方程的解，且,為可逆矩陣，則存在矩陣，使得與為可逆矩陣且，成立。</p><p>　　推論1.2.1(見[1]推論1) 設(shè)為可逆矩陣，也可逆，，則存在矩陣，使得。</p><p>　　文

10、[2]對體上形如的二次矩陣方程進(jìn)行研究，并得到了矩陣方程有解的充要條件及當(dāng)時(shí)的通解。本文主要工具是矩陣的秩分解（即的充要條件是存在非奇異矩陣，使得），其主要結(jié)論有：</p><p>　　命題1.2.3(見[2]定理1) 設(shè)，，且，，其中為可逆陣，則有解的充要條件是，當(dāng)時(shí)矩陣方程的通解為</p><p><b>　　,</b></p><p>　

11、　其中為任意的階非奇異矩陣，，，，為任意矩陣。</p><p>　　推論1.2.2(見[2]推論1) 體上二次矩陣方程一定有解，且通解為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中為任意的階非奇異矩陣，，，，為任意的矩陣。</p><p>　　文[3]把文[1]中形如的二次矩陣方程推廣為形如、及的形

12、式，并討論這幾種方程的解。其思想方法與文[1]相同，但其比較好的方面是給出了解的表達(dá)式的充要條件，并進(jìn)一步得到解的這類表達(dá)式是唯一的結(jié)論，和一定條件矩陣方程、的解的表達(dá)式不唯一的結(jié)論，其結(jié)論有：</p><p>　　命題1.2.4(見[3]定理1)設(shè)為（或）矩陣，為任意階矩陣使均為可逆，則</p><p><b>　　，</b></p><p>

13、;<b>　　或 </b></p><p><b>　　為方程（）的解。</b></p><p>　　推論1.2.3(見[3]推論1) 設(shè)為任意階矩陣使均為可逆，則</p><p><b>　　是方程的解。</b></p><p>　　推論1.2.4(見[3]推論2)

14、 設(shè)為（或）矩陣，為任意階矩陣使均為可逆，則 </p><p><b>　　或 </b></p><p><b>　　為方程的解。</b></p><p>　　命題1.2.5(見[3]定理2) 設(shè)為（或）矩陣，已知是方程（或）的解，則存在階矩陣使均為可逆，且可表示成 (1.2.1)或(1.2.2)式的形式的充要

15、條件為為可逆矩陣。</p><p>　　推論1.2.5(見[3]推論3) 設(shè)是方程的解，則存在階矩陣使均為可逆，且可表示成(1.2.3)式的形式的充要條件為(或)為可逆矩陣。</p><p>　　推論1.2.6(見[3]推論4) 設(shè)為（或）矩陣，已知是方程的解，則存在階矩陣使均為可逆，且可表示成(1.2.4)或(1.2.5)式的形式的充要條件為為可逆矩陣。</p><p

16、>　　命題1.2.6(見[3]定理3) 設(shè)為（或）矩陣，如果方程、、及的解可分別表示成(1.2.3)、(1.2.1) (1.2.2)、(1.2.4)(或(1.2.5)）式的形式，則這種形式表示法是唯一的。</p><p>　　命題1.2.7(見[3]定理4) 設(shè)為階矩陣且，已知是方程的解，則存在階矩陣、，使均可逆，且可表示成 </p><p><b>　　，</b&g

17、t;</p><p><b>　　或 </b></p><p>　　的形式的充要條件為均可逆。</p><p>　　文[4]討論矩陣方程的解，并給出解的表示式，其結(jié)論也是直接應(yīng)用文[1]的思想方法，且有關(guān)結(jié)論如下：</p><p>　　命題1.2.8(見[4]定理1) 設(shè)為非退化復(fù)矩陣，為任一斜陣，使和為非退化矩

18、陣，則為方程的解。</p><p>　　命題1.2.9(見[4]定理2)設(shè)為非退化復(fù)矩陣，為方程的解，且和均為非退化矩陣，則形如其中為任一斜矩陣。</p><p>　　命題1.2.10(見[4]定理3)設(shè)為非退化復(fù)矩陣，為任一斜矩陣，且使和均為非退化，滿足，則為方程的矩陣解。</p><p>　　命題1.2.11(見[4]定理4)設(shè)為非退化復(fù)矩陣，為方程的非退化解，

19、且與均為非退化矩陣，則形如且適合。</p><p>　　文[5]對和的二次矩陣方程在為非負(fù)定矩陣時(shí)的解進(jìn)行研究。主要工具是奇異值分解和廣義逆解線性矩陣方程的理論，得到了如下的一些結(jié)果：</p><p>　　命題1.2.12(見[5]定理3) 設(shè)</p><p>　　，均為奇異值分解，則方程</p><p>　　有解的充要條件是為負(fù)定陣。此時(shí)存

20、在，使得是方程的非負(fù)定解。在有解時(shí)，的一般解為</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　且有為任意列酉陣，是有的列酉陣，，為任意陣，為滿足反陣，為滿足條件的列酉陣。</p><p>　　命題1.2.13(見[5]定理4)設(shè)非負(fù)定矩陣</p><p>　　，均奇異值分解，為矩陣，則矩陣方程有解的充要條

21、件是存在，使得為非負(fù)定矩陣。當(dāng)為正定矩陣時(shí)，存在使得為正定矩陣，此時(shí)的解為，其中 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　為正定矩陣，為任意正定矩陣，為任意矩陣為奇異值分解，適合，中對角陣，其對角元適合條件；與是使得的列酉陣；是任一平方根，即適合條件或其顯式為，其中是奇異值分解，而是任意的列酉陣。</p><p>　　

22、1.3、本文內(nèi)容簡介</p><p>　　本文首先對文獻(xiàn)[1]至[5]中的問題及結(jié)論歸結(jié)為三個(gè)定理及三個(gè)推論，并對此作了必要性的證明。接著給出文[1][3][4]中的條件的一個(gè)等價(jià)替換。由于考慮形如的矩陣方程已把形如、 、及的陣方程包含在內(nèi)（即令或或或），因此對文[3]中的結(jié)論本文不作進(jìn)一步的討論。對文［1］［2］［3］中的方程的解作了進(jìn)一步的討論，得到了新的結(jié)論。利用文[2]中的思想方法給出形如的矩陣方程在時(shí)的

23、通解，并得到文［4］中形如的矩陣方程的通解。上述內(nèi)容都是以為基礎(chǔ)進(jìn)行討論。對文[2]中的一個(gè)公開問題：當(dāng)時(shí)形如的矩陣方程的通解是什么？進(jìn)行討論，找到部分解且具有一定的意義。最后得到當(dāng)時(shí)矩陣方程在，為半正（或半負(fù)）定矩陣時(shí)的通解，這是本文對公開問題的討論。在結(jié)束語部分主要針對更一般的二次矩陣方程的求解問題提出一種設(shè)想，但這個(gè)問題仍待以后給予解決。</p><p>　　本文采用的主要工具是矩陣的三角分解及秩分解，也利

24、用矩陣可逆的充要條件和行列式的一些性質(zhì)。</p><p><b>　　2、預(yù)備知識</b></p><p>　　引理1([6]) 設(shè)的充要條件是存在可逆矩陣、，使得。</p><p>　　引理2 ([6]) 設(shè)為階方陣，可逆的充要條件為。</p><p>　　引理3([7]) 在域上，若為半正定矩陣，則存在階半正定矩陣使

25、得。</p><p>　　引理4([6]) 設(shè)為階方陣，則。</p><p>　　引理5([8]) 若為域上的矩陣，則存在可逆矩陣，使得，其中。</p><p>　　引理6([7]) 任一矩陣，則為半正定矩陣且主對角線上的元素都為正數(shù)。若。</p><p>　　引理7([7]) 對任一矩陣，存在酉矩陣，使得，其中為的特征值，且。</p&

26、gt;<p>　　引理8([6]) 設(shè)是的一個(gè)廣義逆，有解，則其全部解為，其中為取遍任意維的列向量。</p><p>　　引理9([2]定理1) 矩陣方程有解的充要條件為。</p><p><b>　　3、主要結(jié)果</b></p><p>　　3.1、總結(jié)現(xiàn)有文獻(xiàn)中矩陣方程的解的結(jié)論</p><p>　　定

27、理3.1.1([1][3]) 設(shè)為可逆矩陣，為方程的解，則存在使得與為可逆矩陣，且可表為</p><p>　　，的充要條件為或?yàn)榭赡婢仃嚒?lt;/p><p>　　證明 由于可逆，故若為方程的解，則也可逆。</p><p><b>　　必要性 由于</b></p><p>　　故，也為可逆矩陣，則</p>

28、<p><b>　　從而得，可逆。</b></p><p><b>　　同理可得，可逆。</b></p><p>　　充分性 不妨假設(shè)可逆，且令，有</p><p><b>　　顯然，可逆，且</b></p><p>　　又，得 所以 </p>

29、;<p><b>　　得證.</b></p><p>　　同理可證 當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，命題任成立。因此命題得證.</p><p>　　推論3.1.1([1][3]) 設(shè)為可逆矩陣時(shí)，為方程的解，則存在使得與可逆，且可表為</p><p><b>　　或 </b></p><p>

30、　　充要條件為，或，為可逆陣。</p><p>　　證明 必要性 若存在使得與可逆，且可表為</p><p><b>　　則有可逆,且有 </b></p><p><b>　　由于可逆,故有.</b></p><p>　　同理可證，若存在使得與可逆且可表為</p><p>

31、;<b>　　則為可逆矩陣。</b></p><p>　　充分性 不妨假設(shè)為可逆矩陣，且令，則顯然有 </p><p><b>　　從而有 </b></p><p>　　由于且與都可逆，從而,得</p><p>　　由(3.1.1)與(3.1.2)可得</p><p&

32、gt;　　同理可以證明當(dāng)，為可逆矩陣時(shí)，命題任成立。 得證.</p><p>　　根據(jù)推論3.1.1可以概括文[3]中形如、和矩陣方程的解表達(dá)式形式的充要條件,即相當(dāng)于分別令和，因此不作過多的討論。</p><p>　　定理3.1.2([4]) 設(shè)是上可逆的矩陣，為矩陣方程的解，則存在為任一斜矩陣，使得與可逆，且可表為形如的充要條件為為可逆矩陣

33、。</p><p>　　證明 必要性 由于是上可逆矩陣，又與可逆且可表為</p><p><b>　　故有 </b></p><p><b>　　從而得 可逆</b></p><p>　　充分性 由于為方程的解，且可逆，故也可逆。</p><p><b>　

34、　令 </b></p><p>　　由，得 代入（3.1.3）式，得</p><p>　　由于 可得 從而有</p><p><b>　　即為一斜矩陣。</b></p><p><b>　　得證.</b></p><p>　　推論3.1.2(

35、[4]) 設(shè)為上的可逆矩陣，為方程的解，則存在為一斜矩陣且滿足，使得與可逆且可表為的充要條件為為可逆矩陣。</p><p>　　證明 必要性 由于，與可逆，而可表為有 </p><p><b>　　從而得 可逆</b></p><p>　　充分性 由定理2.1.2，知當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，存在為一斜矩陣，且使得與可逆且可表為。</p>

36、;<p>　　現(xiàn)證 是否滿足.</p><p>　　又為方程的解，從而有</p><p><b>　　從而可得 </b></p><p>　　即得 得證.</p><p>　　文[2]給出體上的二次矩陣方程有解的充要條件及有解時(shí)在特殊情況下的通解。由于在體上和復(fù)數(shù)域上討論矩陣方程的解

37、無本質(zhì)上的差別，從而利用文[2]的思想方法給出復(fù)數(shù)域上形如的矩陣方程在時(shí)的通解。</p><p>　　定理3.1.3([2]) 設(shè)、當(dāng)時(shí)，形如的矩陣方程一定有解，且通解為</p><p>　　其中，且為可逆陣，為任意階非奇異矩陣，，，，為任意矩陣。</p><p><b>　　證明令，，則有</b></p><p>&l

38、t;b>　　因此</b></p><p><b>　　，為的解。</b></p><p>　　另一方面，為方程的任一解，即</p><p>　　由于，從而有 </p><p><b>　　也即 </b></p><p>　　現(xiàn)令，其中，，，，，，則

39、有</p><p><b>　　從而有</b></p><p>　　即可表為（3.1.4）的形式。 得證.</p><p>　　但事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，矩陣，是等價(jià)的。且若，為可逆矩陣則矩陣，是等價(jià)。因此當(dāng)解，為可逆矩陣，矩陣，等價(jià)，由于復(fù)數(shù)域上的階可逆矩陣的個(gè)數(shù)是無限的，因此由定理3.1.3，知滿足，是等價(jià)的矩陣，的個(gè)數(shù)也是無限的，即有如下結(jié)論

40、：</p><p>　　結(jié)論3.1.1 若矩陣，等價(jià)，則滿足的可逆矩陣，是不唯一的。</p><p>　　為了說明當(dāng)可逆時(shí)，文[1]中的解與定理2.1.3的通解的關(guān)系,要先說明是否有解,通解是什么?我們可得如下結(jié)論：</p><p>　　推論3.1.3（[2]） 在復(fù)數(shù)域上的二次矩陣方程一定有解，且通解為， </p><p>　　其中，，為可

41、逆陣，為任意的階非奇異矩陣，，，，為任意矩陣。</p><p>　　3.2、一類解的命題的等價(jià)轉(zhuǎn)換</p><p>　　對照文[1]知當(dāng)與可逆時(shí)，可寫形如的形式的解為矩陣方程的解。但未指出這樣的滿足的具體形式和要求，通過文[7]中第126頁的例題9，給出當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，使和均為可逆矩陣的等價(jià)條件，即為</p><p>　　定理3.2.1 設(shè)為階可逆矩陣，對任意矩陣，

42、下列三個(gè)條件等價(jià)：</p><p><b>　　⑴均為可逆矩陣；</b></p><p><b>　?、凭仃嚍榭赡婢仃嚕?lt;/b></p><p><b>　?、蔷仃嚍榭赡婢仃?。</b></p><p>　　證明 由于為階可逆矩陣，由引理2，得 。</p>&

43、lt;p>　?、泞茖ψ魅缦鲁醯茸儞Q：</p><p><b>　　兩邊取行列式，得</b></p><p>　　又為可逆矩陣，由引理2，得</p><p><b>　　， </b></p><p>　　所以有 </p><p>　　又由引理

44、2，得 為可逆矩陣。</p><p>　?、脾菍ψ魅缦鲁醯茸儞Q：</p><p>　　又為可逆矩陣，由引理2，得，從而有</p><p>　　所以 由引理2，得</p><p><b>　　為可逆矩陣</b></p><p>　　⑶⑴對矩陣作如下初等變換：</p>

45、<p>　　由于為可逆矩陣，由引理2，得</p><p><b>　　又從而有</b></p><p>　　又由引理2，得 為可逆矩陣又由①②知</p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　由引理2，得 均為可逆矩陣得證。</p><p&

46、gt;　　根據(jù)定理1，結(jié)合命題1、3及推論，可得如下結(jié)論：</p><p>　　推論3.2.1 設(shè)為可逆矩陣，,為方程的解，則存在使得矩陣可逆且,可表為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　的充要條件為或?yàn)榭赡婢仃嚒?lt;/p><p>　　推論3.2.2 設(shè)為可逆矩陣，,為方程的解，則存在使得可逆且

47、,可表為 </p><p>　　，的充要條件為或?yàn)榭赡婢仃嚒?lt;/p><p>　　推論3.2.3 設(shè)為可逆矩陣，,為方程的解，則存在使得矩陣可逆且,可表為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　或，的充要條件為，或，為可逆矩陣。</p><p>　　推論3.2

48、.4 設(shè)為可逆矩陣，,為方程的解，則存在使得矩陣可逆且,可表為</p><p><b>　　， </b></p><p>　　或的充要條件為，或，為可逆矩陣。</p><p>　　推論3.2.5 設(shè)為上可逆矩陣，為方程的解，則存在為一斜矩陣，使得矩陣可逆且可表為的充要條件為為可逆矩陣。</p><p>　　推論3.2.6

49、 設(shè)為上的可逆矩陣，為方程的解，則存在為一斜矩陣，使得矩陣可逆且可表為的充要條件為為可逆矩陣。</p><p>　　推論3.2.7 設(shè)為上的可逆矩陣，為方程的解，則存在為一斜矩陣且滿足，使得可逆且可表為的充要條件為為可逆矩陣。</p><p>　　推論3.2.8 設(shè)為上的可逆矩陣，為方程的解，則存在為一斜矩陣且滿足，使得</p><p>　　可逆且可表的充要條件為為

50、可逆矩陣。</p><p>　　3.3、時(shí)解的一些結(jié)論</p><p>　　3.3.1、的解之間的關(guān)系</p><p>　　由定理3.1.3，知當(dāng)時(shí)，形如的矩陣方程一定有解，且通解為</p><p>　　，其中，且為可逆陣，為任意的階可逆矩陣，，，，為任意矩陣?，F(xiàn)在觀察的通解、，顯然他們之間是有關(guān)系的，即當(dāng)確定時(shí)，的左上角的前階子式也是確定，

51、且為左上角階子式的逆（注意左上角前階子式是可逆的）。從而我們可得如下結(jié)論：</p><p>　　結(jié)論3.3.1.1 形如的二次矩陣方程，在時(shí)解是相互依賴的。</p><p>　　但事實(shí)上，不管與之間有何關(guān)系，若矩陣方程有解，則解是相互依賴的。由于解要滿足，那么若確定，則就轉(zhuǎn)化為線性方程其中，從而要知道方程的解的情況，就得判斷及之間的關(guān)系，從而解就依賴于而確定。同樣可得解依賴于而確定。<

52、;/p><p>　　結(jié)論3.3.1.2 形如的二次矩陣方程有解，則解，是互相依賴的。</p><p>　　特別當(dāng),為階可逆矩陣時(shí),方程的解中只要或中一個(gè)確定那么另一個(gè)也就被唯一確定，那么此時(shí)的通解又可如何表示呢？</p><p>　　由定理3.1.3 可得方程，當(dāng),為階方陣且時(shí)一定有解，且通解為，其中為任意階可逆矩陣。由于，可得，從而有</p><

53、p>　　又由于為任意階可逆矩陣，則可知為任意可逆矩陣，從而猜想方程，當(dāng)，為階可逆矩陣時(shí)，解可表為，此時(shí)就依賴于而唯一確定。可得如下結(jié)果:</p><p>　　定理3.3.1.1 設(shè),為階可逆矩陣，則方程一定有解，且通解為，其中為任意可逆矩陣，其中。</p><p><b>　　證明：令，且，其中</b></p><p>　　為一可逆矩陣，

54、代入矩陣方程，得</p><p>　　所以為矩陣方程的一個(gè)解。</p><p>　　另一方面，當(dāng),為的解，即有，又為階可逆矩陣，所以，可逆，從而有 令</p><p>　　則有且 得證。</p><p>　　推論3.3.1.1 設(shè)為階可逆矩陣，則方程一定有解，且通解為，其中為任意可逆矩陣，且。</p>

55、<p>　　3.3.2、的解的表達(dá)式的一些結(jié)論</p><p>　　在文[1]討論形如方程，當(dāng)可逆時(shí)，的解可表，形式，由推論3.3.1.1，知的通解為，其中為任意可逆矩陣，且。這兩種形式是否等價(jià)？還是存在著一定的關(guān)系？這是接下來要研究的問題。</p><p>　　由定理3.1.1 可知方程的解可表為，的形式的充要條件為或?yàn)榭赡婢仃嚒，F(xiàn)在考慮是否當(dāng)為可逆矩陣時(shí),矩陣方程的解都可寫成

56、，的形式。</p><p>　　由推論3.3.1.1得，只要可逆，就為的解，不妨令為的特征值，其中且全不為零，則由引理7，得存在酉矩陣，使得</p><p>　　且，由于全不為零，則 </p><p>　　由引理2，得 可逆</p><p>　　則可得 ，為的解且 </p><p><

57、;b>　　從而有 </b></p><p>　　由引理7，得 ，</p><p>　　由引理2，得 不可逆。 又 </p><p>　　同理可得 不可逆</p><p>　　由定理3.1.1，知使得為可逆矩陣的矩陣不存在,且有，為方程。由上述分析可得如下結(jié)論：</p><p>

58、;　　結(jié)論3.3.2.1 形如的二次矩陣方程，當(dāng)為可逆矩陣時(shí)的解不能全表為形如</p><p><b>　　，的形式。</b></p><p>　　由此也可知文[1]中所得出的的解只是解的一部分，那么這些可表為形如 </p><p>　　，的解到底具有怎樣的性質(zhì)呢？這是接下來要探討的問題。但只要的特征值都不為則即和就為可逆矩陣。結(jié)合定理3.1

59、.1,可得如下結(jié)論:</p><p>　　定理3.3.2.1 設(shè)為可逆陣，方程一定有解且解，可逆，并且解可表為 </p><p>　　，的充要條件為或的特征值不為。</p><p>　　證明 由引理9，知方程一定有解又因?yàn)闉榭赡婢仃?，由引?，得 由引理4，得 </p><p>　　從而有 ，</p&g

60、t;<p>　　由引理2，得 ，可逆</p><p>　　若，為的解，且，可表為</p><p>　　， 由定理3.1.1，知或?yàn)榭赡婢仃嚒?lt;/p><p>　　不妨假設(shè)為可逆矩陣，由引理7，得 存在酉矩陣，使得 </p><p><b>　　所以 </b></p&

61、gt;<p><b>　　又由引理7，得</b></p><p>　　即的特征值不為可逆。</p><p>　　由推論3.2.1.1，得</p><p><b>　　由引理7，得</b></p><p><b>　　又的特征值不為，即</b></p>

62、<p><b>　　可得 </b></p><p>　　從而得 即的特征值不為。</p><p>　　另一方面，,的特值不為，則由引理7，顯然可得或?yàn)榭赡婢仃?，由命題1，得可表為形如</p><p><b>　　， 得證.</b></p><p>　　推論3.3.2.1

63、設(shè)為可逆矩陣，則矩陣方程有解時(shí)，解,可表為形如</p><p>　　，或 ，的充要條件為或?yàn)榭赡骊嚽姨刂挡粸椤?lt;/p><p>　　3.4、（為矩陣且）的通解</p><p>　　由文[2]利用矩陣的秩分解的性質(zhì)得到了當(dāng)時(shí)的通解。現(xiàn)考慮是否可用類似的思想方法研究其中為矩陣且時(shí)的通解?；跒榫仃嚕紤]利用合同分解來討論的解，研究矩陣方程（其中為矩陣）在時(shí)的通解。<

64、;/p><p>　　事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，在復(fù)數(shù)域上矩陣,是合同的，即存在可逆矩陣使得成立，故只要當(dāng)時(shí)一定有解，那么是否解都是可逆矩陣？且通解是什么?由下面的定理3.4.1可以回答這個(gè)問題。</p><p>　　定理3.4.1設(shè)為矩陣，當(dāng)時(shí)方程的通解為</p><p>　　其中,且,為可逆矩陣，為酉矩陣，，為任意矩陣。</p><p>　　證明 由引理

65、５知，復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣，使得，其中。由于，故有 </p><p><b>　　從而，得</b></p><p><b>　　令　</b></p><p>　　其中　　，，， 則有</p><p><b>　　即有</b></p>

66、;<p>　　從而有 即得 當(dāng)為酉矩陣且時(shí)，，為任意矩陣時(shí)為矩陣方程的解。</p><p>　　另一方面，若為的任一解，則有　</p><p><b>　　又，</b></p><p><b>　　從而有 </b></p><p>　　即得 令　，其中，，，

67、 且有 故有 </p><p><b>　　即 　</b></p><p>　　可得　為正交矩陣且　　得證.</p><p>　　當(dāng)時(shí)，（其中為階酉矩陣，且為任意矩陣）也是矩陣方程的解。事實(shí)上有</p><p><b>　　顯然有不可逆。因此</b></p>&l

68、t;p>　　的解可以是不可逆矩陣。</p><p>　　特別當(dāng)時(shí)，方程通解為，其中為任意階酉矩陣。從上述結(jié)果可知，若矩陣合同，使的可逆矩陣不是唯一的而且有無數(shù)個(gè)，這是由于復(fù)數(shù)域上的階可逆矩陣的個(gè)數(shù)是無限的。即為如下結(jié)論：</p><p>　　結(jié)論3.4.1 若矩陣與合同,則滿足中的可逆矩陣不唯一。</p><p>　　推論3.4.1 二次矩陣方程一定有解，其通

69、解為　 </p><p>　　其中 ,為可逆陣，為酉矩陣，，為任意矩陣。</p><p>　　由推論3.4.1可知，二次矩陣方程在為可逆矩陣時(shí)的通解，但由定理3.1.2可得當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，二次矩陣方程的解可表為形如的形式。那么這兩種解之間有何關(guān)系呢？由于方程為方程的特殊形式，從而根據(jù)結(jié)論3.3.2.1可得如下結(jié)論:</p><p>　　結(jié)論3.4.2 形如的二次

70、矩陣方程，當(dāng)為可逆矩陣時(shí)的解不能全表為形如的形式。</p><p>　　那么解表為形如形式的解有什么性質(zhì)呢？由定理 3.3.2.1與定理3.1.2，猜想有如下結(jié)論：</p><p>　　定理3.4.2 設(shè)為可逆矩陣，則二次矩陣方程一定有解,且解可表為形如其中為一斜矩陣的充要條件為的特征值不為。</p><p>　　證明 必要性 由于</p>&l

71、t;p>　　又可逆,故方程的解可逆,</p><p>　　從而,得 , 為可逆矩陣 所以可逆</p><p>　　由引理7,得 存在酉矩陣，使得， </p><p>　　其中為的特征值，從而有</p><p><b>　　又由引理7,得</b></p><p><b>

72、　　。</b></p><p>　　由引理2,知 即有</p><p><b>　　從而得, </b></p><p>　　充分性 由于的特征值不為，從而有可逆, 由定理3.1.2,得存在一斜矩陣使得,為可逆矩陣且 得證.</p><p>　　定理3.4.3 設(shè)為可逆矩陣，則二次

73、矩陣方程一定有解,且解可表為形如其中為一斜矩陣且滿足的充要條件為的特征值不為。</p><p>　　證明 必要性 由于又可逆,故方程解可逆,</p><p>　　從而,得 為可逆矩陣 所以可逆</p><p>　　由引理7,得 存在酉矩陣，使得，</p><p>　　其中為的特征值，從而有</p><p

74、><b>　　又由引理7,得</b></p><p>　　由引理2,知 即有</p><p><b>　　從而得, </b></p><p>　　充分性 由于的特征值不為</p><p>　　從而可知， 可逆</p><p>　　由推論3.1.

75、2,得存在一斜矩陣滿足,使得,為可逆矩陣且 得證.</p><p>　　3.5、對矩陣方程解的一個(gè)公開問題的討論</p><p>　　上述內(nèi)容主要是針對當(dāng)時(shí)矩陣方程的解的情況進(jìn)行討論，由文[2]知，矩陣方程有解的充要條件為。因此考慮在時(shí)方程的解的情況是必要的，以及進(jìn)一步探討它的通解是什么？首先考慮的是利用文[2]的思想方法。</p><p>　　由引理１，

76、知存在可逆矩陣使得，其中。代入方程，得</p><p><b>　　對作如下的分塊　</b></p><p>　　其中，，，，，，，，，，，，，，，，則有</p><p><b>　　即得 </b></p><p>　　由此知，要得到當(dāng)時(shí)矩陣方程的解，必須先求出方程的解，而要解決，需要解決

77、含個(gè)矩陣方程的方程組，反而把問題復(fù)雜化。利用文[2]的方法尋找在時(shí)矩陣方程的解是行不通的。因此當(dāng)時(shí)二次矩陣方程的解未能給出。從而利用廣義逆討論形如的矩陣方程在時(shí)的解，即得如下結(jié)論：</p><p>　　定理3.5.1 形如</p><p><b>　　或 </b></p><p>　　為二次矩陣方程的解，其中，,為可逆陣， 為任意階可逆矩陣，為

78、任意矩陣，為任意的或矩陣，且分別為矩陣任意的左和右廣義逆矩陣。</p><p>　　證明 由引理8,知 矩陣方程或的通解為 </p><p>　　或 其中為任意的或矩陣且，分別為矩陣的任意的廣義逆矩陣</p><p>　　又由推論3.1.3知，的通解為</p><p>　　， 其中且，為可逆陣，為任意階可逆陣，,，,為任意矩陣

79、，把解</p><p><b>　　或 </b></p><p>　　代入矩陣方程，可得（3.5.2）或(3.5.3)為的解 得證.</p><p>　　事實(shí)上，當(dāng)時(shí)二次矩陣方程的解或中一個(gè)可表為形如</p><p>　　或 則的解可表為定理3.5.1的形式（其中為任意滿足可逆矩陣）。而且由結(jié)論3.1.1,知

80、使得的矩陣，不唯一，所以對方程的每一個(gè)解，是否都可找到可逆的，,使得 或 ，是有待討論的問題。若能，則可得通解。由于時(shí)間關(guān)系就此不作討論。</p><p>　　當(dāng)為半正定或半負(fù)定矩陣時(shí)，在時(shí)，可得形如的矩陣方程的特殊形式的通解，即為如下結(jié)論：</p><p>　　定理3.5.2 當(dāng)，且為半正定矩陣時(shí)，方程一定有解，通解滿足，其中為的秩。其中為唯一使的半正定矩陣，且,為可逆矩陣, ，是滿

81、足的任意矩陣。</p><p>　　證明 由于為半正定矩陣，則引理3與引理5，得存在可逆矩陣，和唯一的半正定矩陣使得 ， </p><p><b>　　若為的解，即</b></p><p><b>　　從而有 </b></p><p><b>　　則 </b>

82、;</p><p><b>　　令 ， 則　　</b></p><p><b>　　由此得</b></p><p>　　由引理６，得為半正定矩陣，由式，知，從而可得,，即</p><p><b>　　即可表為的形式。</b></p><p>　　另一方

83、面，若滿足 其中 ， 是滿足的任意矩陣，則</p><p><b>　　從而得</b></p><p><b>　　又</b></p><p>　　從而，得成立?！　　〉米C。</p><p>　　由于半正定矩陣與半負(fù)定矩陣無本質(zhì)上的差別，從而結(jié)合定理3.5.2可得如下結(jié)論: </

84、p><p>　　定理3.5.3 當(dāng)時(shí)且為半負(fù)定矩陣時(shí)，方程一定有解，通解為滿足，其中為的秩，存在唯一的半正定矩陣使得且,為可逆矩陣, 并且是滿足的任意矩陣。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　本文采用的主要工具是矩陣的三角分解及秩分解，也利用矩陣可逆的充要條件和行列式的一些性質(zhì)。討論形如的矩陣方程的解的情況，由結(jié)論3.

85、1.1與結(jié)論3.4.1知,使得合同或等價(jià)的可逆矩陣或是不唯一的，因此上述所得的通解也會(huì)因或的不同而不同，但這些結(jié)論卻可以幫助我們了解的二次矩陣方程的解的一些性質(zhì)和結(jié)論，而且通解的討論還有另外一些意義如：在文[5]中，討論形如（其中為矩陣）的矩陣方程和的解，并給出當(dāng)為非負(fù)定情形的通解。但文[5]中所給的解的表達(dá)式過于復(fù)雜而且也得不到解的一些性質(zhì)，所以考慮是否可將方程轉(zhuǎn)形并且可得到解而且比較簡單呢？受到多項(xiàng)式因式分解和本文所討論矩陣方程的啟

86、發(fā)，猜想若能把</p><p>　　分解為線性方程形如的形式（其中為任意矩陣）的乘積，那就可比較簡單的求出解，但仍然碰到一些問題，比如何時(shí)能分解，分解后可以求出解嗎？這是最為關(guān)心的問題。</p><p>　　若可分解為，其中且。若此時(shí)滿足，則由定理3.1.3，顯然可以得到矩陣方程的通解，而且形式較文[5]的簡單，比較適合于實(shí)際的討論和研究。若，則得不到的解，但若中的，滿足定理3.5.2及定

87、理3.5.3中的條件仍可得到通解。我們知道多項(xiàng)式的分解是一個(gè)比較難的問題，那么對于矩陣多項(xiàng)式的分解可能是一個(gè)更不容易的解決的問題。對任意給定的一個(gè)矩陣方程能不能分解？分解成何種形式？是問題的關(guān)鍵。本文在此不對這個(gè)問題進(jìn)行深入的探討，由于要使這個(gè)問題得到解決需要很多的工作，不是本文所討論的問題。</p><p>　　事實(shí)上，對于更一般的二次陣方程如的解討論的文獻(xiàn)很少，若能找到使他分解為線性方程（其中為任意矩陣）形式

88、的方法，那么就可以得到此種方程的一部分解，并可進(jìn)一部推廣到二元二次矩陣方程的解的討論。</p><p>　　由引理9，知矩陣方程有解的充要條件為。因此通過對方程</p><p>　　的分解可以直接判斷二次矩陣方程</p><p>　　解是否存在的問題，這顯然是一種比較好的判別方法。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b

89、></p><p>　　[1]楊昌蘭.一個(gè)二次矩陣方程的解[J].工科數(shù)學(xué),1997,13(1):129-130.</p><p>　　[2]廖祖華.體上二次矩陣方程的解[J].工科數(shù)學(xué),1999,15(4):72-74.</p><p>　　[3]喻德生.關(guān)于幾個(gè)二次矩陣方程的解[J].南昌航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2000,14(1):81-83.</p&g

90、t;<p>　　[4]楊昌蘭,王龍波.矩陣方程[J].數(shù)學(xué)研究與評論,2004,24(3):500-502.</p><p>　　[5]陳永林.一類二次矩陣方程的解[J].南京師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1984,1:26-35.</p><p>　　[6]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)(第二版)[M].高等教育出版社,2003:51-399.</p>