信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)論文自適應(yīng)數(shù)值積分算法及其程序設(shè)計(jì)

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　自適應(yīng)數(shù)值積分算法及其程序設(shè)計(jì)</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計(jì)算科學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p

3、><p>　　數(shù)值積分已有大量的研究, 并在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用, 但是加快計(jì)算速度, 提高數(shù)值精度的算法仍是我們在不斷探究的. 自適應(yīng)積分算法就是一種通過變步長來提高精度的算法. 該算法可以根據(jù)各子區(qū)間不同的情況分別給予處理, 以減少不必要的函數(shù)值計(jì)算. 本文介紹了三種自適應(yīng)積分算法. 并給出數(shù)值例子, 以表明自適應(yīng)算法的有效性.</p><p>　　關(guān)鍵詞: 數(shù)值積分; 自適應(yīng); 辛普森

4、公式; 梯形公式; 龍貝格積分</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Approximate Computing of definite integral are widely used in some field. How to improve convergent speed and numerical precision is

5、 the research key of numerical methods. Adaptive algorithm is a variable step size algorithm and it can reduce computation amounts. In this thesis, three adaptive algorithms are presented. Numerical example shows that th

6、e methods are very effective.</p><p>　　Keywords: Adaptive integral algorithm; Matlab program; Simpson rule; Trapezoidal rule; Romberg integration</p><p><b>　　目錄</b></p><p&

7、gt;<b>　　摘要Ⅰ</b></p><p>　　AbstractⅡ</p><p><b>　　1引言1</b></p><p>　　2數(shù)值積分的基本知識2</p><p>　　2.1一般的數(shù)值求積公式2</p><p>　　2.2復(fù)化的數(shù)值求積方法3<

8、;/p><p>　　2.3龍貝格積分法4</p><p>　　3自適應(yīng)積分算法6</p><p>　　3.1自適應(yīng)辛普森算法6</p><p>　　3.2自適應(yīng)梯形公式8</p><p>　　3.3龍貝格外推法和自適應(yīng)辛普森相結(jié)合的新型自適應(yīng)算法 10</p><p>　　4數(shù)值例子及Ma

9、tlab程序?qū)崿F(xiàn)12</p><p><b>　　5小結(jié)15</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)16</b></p><p><b>　　致謝17</b></p><p><b>　　1引言</b></p><p>

10、;　　數(shù)值積分是工程師和科學(xué)家使用的工具, 用來計(jì)算無法解析求解的定積分的近似解. 計(jì)算定積分時(shí), 人們首先會想到牛頓-萊布尼茨公式, 問題似乎已經(jīng)解決. 可是當(dāng)我們遇到這樣的情形如是由測量或數(shù)值計(jì)算給出數(shù)據(jù)表時(shí)或者用牛頓-萊布尼茨需要大量的函數(shù)值計(jì)算時(shí), 如果用數(shù)值積分方法來解決要方便得多, 既節(jié)省工作量, 又滿足精度要求. 而數(shù)值積分方法的好壞取決于達(dá)到精度要求所需計(jì)算量的大小, 主要依賴于所需計(jì)算函數(shù)值的個(gè)數(shù)多少. 目前已有辛普森

11、求積公式, Newton-Cotes求積公式等以及復(fù)化的求積公式. 復(fù)化的求積方法比一般的求積方法精度更高.</p><p>　　但是復(fù)化求積公式通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分, 如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大, 有的部分函數(shù)值變化劇烈, 另一部分變化平緩. 這時(shí)統(tǒng)一將區(qū)間等分用復(fù)合求積公式計(jì)算積分工作量大, 因?yàn)橐_(dá)到誤差要求對變化劇烈部分必須將區(qū)間細(xì)分, 而平緩部分則可用大步長, 針對被積函數(shù)在區(qū)間上不

12、同情形采用不同的步長, 使得在滿足精度前提下積分計(jì)算工作量盡可能小, 針對這類問題的算法技巧是在不同區(qū)間上預(yù)測被積函數(shù)變化的劇烈程度確定相應(yīng)步長, 這種方法稱為自適應(yīng)求積法. </p><p>　　自適應(yīng)辛普森數(shù)值求積公式是由G. F. Kuncir于1962年在《數(shù)值積分方法》中提出的. 2000年, Walter Gander和Walter Gautschi發(fā)表了《自適應(yīng)積分再談》. 文章介紹了一種基于Gau

13、ss-Lobatto求積和Kronrod對Gauss-Lobatto求積的擴(kuò)展的新的求積方法. </p><p>　　2005年, 曾玉華和蔣光彪在《一種自適應(yīng)的四階Newton-Cotes求積方法》中提出了四階Newton- Cotes自適應(yīng)求積公式中. 2007年, 孫海濤和王元漢《基于節(jié)點(diǎn)計(jì)算的自適應(yīng)數(shù)值積分及其程序?qū)崿F(xiàn)》, 針對完全無網(wǎng)格法的計(jì)算要求, 提出了一種能自動適應(yīng)任意計(jì)算域上各種節(jié)點(diǎn)分布方式的數(shù)

14、值積分算法, 該算法能隨計(jì)算點(diǎn)的位置不同自動確定積分域及積分域內(nèi)的求積點(diǎn)計(jì)算出數(shù)值積分結(jié)果. 2011年, 楊錄峰與趙雙鎖等在《一種變步長和變階計(jì)算的自適應(yīng)數(shù)值積分算法》中介紹了一種將自適應(yīng)辛普森算法和龍貝格外推算法相結(jié)合的新型自適應(yīng)算法.</p><p>　　本文共分五個(gè)部分, 第一部分是引言, 介紹了自適應(yīng)積分算法目前的研究成果及本文的主要內(nèi)容; 第二部分介紹了數(shù)值積分的基本知識; 第三部分主要是研究自適應(yīng)的

15、三種算法法, 自適應(yīng)的辛普森法梯形法及由龍貝格積分和自適應(yīng)辛普森相結(jié)合的新型算法; 第四部</p><p>　　分則是對自適應(yīng)算法的matlab程序?qū)崿F(xiàn), 并給出相應(yīng)的數(shù)值例子; 最后測試結(jié)果, 得出結(jié)論.2數(shù)值積分的基本知識</p><p>　　2.1數(shù)值積分的基本求積公式</p><p><b>　　計(jì)算數(shù)值積分</b></p>

16、<p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　定義2.1 設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)</p><p>　　且知函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的值, 作插值函數(shù). 由于代數(shù)多項(xiàng)式的原函數(shù)是容易求出的, 我們?nèi)?lt;/p><p>　　作為積分的近似值, 這樣構(gòu)造出的求積公式</p><p><b>　　(2.2)&

17、lt;/b></p><p>　　稱為是插值型求積公式. 式中通過插值基函數(shù)積分得出, 即</p><p>　　在插值求積公式中, 用不同次數(shù)的插值多項(xiàng)式就可以得到不同階數(shù)的插值求積公式; 并且, 在積分區(qū)間上取不同的個(gè)節(jié)點(diǎn), 所得到的插值求積公式也是不同的, 其近似的程度是不一樣的. 如果在積分區(qū)間上取個(gè)等距節(jié)點(diǎn), 則得到的插值求積公式稱為階Newton-Cotes公式</p

18、><p>　　這里為Newton-Cotes系數(shù), </p><p>　　當(dāng)時(shí)(有兩個(gè)等距求積節(jié)點(diǎn)), ，, 相應(yīng)的求積公式就是梯形公式</p><p>　　當(dāng)時(shí)(有三個(gè)等距求積節(jié)點(diǎn)), ，, 相應(yīng)的求積公式就是辛普森公式</p><p>　　當(dāng)時(shí), 相應(yīng)的求積公式為4階Newton-Cotes公式, , 求積公式為</p><

19、;p>　　2.2復(fù)化的數(shù)值積分公式</p><p>　　辛普森公式, 梯形公式和Newton-Cotes公式是基本的數(shù)值求積公式. 為了提高求積公式的精度, 通?？梢园逊e分區(qū)間分成若干子區(qū)間, 再在每個(gè)子區(qū)間上用低階求積公式, 這就是復(fù)化的求積方法, 它的實(shí)質(zhì)是利用分段低次插值多項(xiàng)式的積分, 去逼近的積分. 上述介紹的幾種公式都有復(fù)化的形式.</p><p>　　復(fù)化的梯形公式: 令

20、其中 這里存在一個(gè), 在個(gè)子區(qū)間上復(fù)合的梯形公式可以表示為</p><p>　　復(fù)化的辛普森公式: 令其中這里存在一個(gè), 在個(gè)子區(qū)間上復(fù)合的辛普森公式可以表示為</p><p>　　復(fù)化的柯特斯公式: 令 其中 取的復(fù)合柯特斯公式為</p><p><b>　　2.3龍貝格積分法</b></p><p>　　本文中還將用

21、到龍貝格算法. 龍貝格算法是龍貝格積分以逐次對分區(qū)間和復(fù)化求積為出發(fā)點(diǎn), 逐次修正近似值的方法構(gòu)造出一種新的求積算法. 它的優(yōu)點(diǎn)在于提高收斂速度.</p><p>　　龍貝格積分的方法如下:</p><p>　　第一步, 對積分在區(qū)間上應(yīng)用梯形公式求得</p><p>　　第二步, 將區(qū)間對分, 應(yīng)用復(fù)化梯形公式求得, 并按公式</p><p&g

22、t;　　求得辛普森公式的值. 令, 轉(zhuǎn)第四步;</p><p>　　第三步, 對區(qū)間作等分, 記相應(yīng)的復(fù)化梯形公式求得值為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　然后按下式構(gòu)造新序列(見表)</p><p>　　第四步, 若(是事先給定精度), 則計(jì)算停止, 輸出, 否則用代替,轉(zhuǎn)入第三步.<

23、/p><p><b>　　3自適應(yīng)積分算法</b></p><p>　　3.1自適應(yīng)辛普森積分算法</p><p>　　自適應(yīng)辛普森積分法是以辛普森公式為基本求積公式來實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)積分的一種算法.其主要思想是如果在一給定子區(qū)間上的辛普森法則不能滿足精度要求, 則該區(qū)間將被等分為兩部分, 在每個(gè)長度減半的區(qū)間上應(yīng)用辛普森法則, 重復(fù)這個(gè)過程得到積分的一

24、個(gè)近似值. </p><p><b>　　計(jì)算積分</b></p><p>　　的近似值. 給定精度. 先取步長, 應(yīng)用辛普森公式</p><p><b>　　(3.1)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　若把區(qū)間對分

25、, 步長 在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用辛普森公式, 則得</p><p><b>　　(3.2)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　與(3.1)式比較, 若從而可得</p><p>　　與(3.2)式比較, 則得到</p><p><b>

26、　　這里 . 如果有</b></p><p><b>　　(3.3)</b></p><p><b>　　我們可以得到</b></p><p>　　此時(shí)取即作為的近似值, 可達(dá)到給定的誤差精度. 若不等式(3.3)不成立, 則應(yīng)分別對子區(qū)間及再用辛普森公式, 此時(shí)步長, 得到及. 只要分別考察及是否成立. 對滿

27、足精度要求的區(qū)間不再細(xì)分, 對不滿足要求的還要繼續(xù)上述過程, 直到滿足要求為止.</p><p><b>　　它的算法如下:</b></p><p>　　輸入項(xiàng) 節(jié)點(diǎn); 誤差容限; 最大循環(huán)層次限制.</p><p>　　輸出項(xiàng) 近似值或者超過的警告.</p><p>　　STEP 1 令;</p>

28、<p>　　( 用辛普森法在整個(gè)區(qū)間求近似值. )</p><p>　　STEP 2 當(dāng)時(shí)重復(fù)第3-5步.</p><p><b>　　STEP 3 令</b></p><p>　　(用辛普森法在半分后區(qū)間求近似值.)</p><p>　　( 在這一步保存數(shù)據(jù). )</p><p>

29、　　STEP 4 令</p><p>　　STEP 5 If </p><p><b>　　then 令 </b></p><p><b>　　eif</b></p><p><b>　　then</b></p><p>　　OUTPUT(‘LE

30、VEL EXCEED’);</p><p><b>　　STOP.</b></p><p><b>　　else</b></p><p>　　令 (對左半子區(qū)間的數(shù)據(jù))</p><p>　　令(對右半子區(qū)間的數(shù)據(jù))</p><p>　　STEP 6 OUTPUT(); (

31、在容限內(nèi)逼近.)</p><p><b>　　STOP.</b></p><p>　　3.2自適應(yīng)梯形求積算法</p><p>　　自適應(yīng)梯形求積算法就是在每個(gè)小區(qū)間采用梯形公式和復(fù)化的梯形公式為基本的求積公式來實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)求積的算法.</p><p>　　計(jì)算積分, 步長, 允許誤差為. 根據(jù)梯形公式</p>

32、<p><b>　　在區(qū)間上有</b></p><p><b>　　(3.4)</b></p><p>　　其中. 將區(qū)間對分應(yīng)用梯形公式, 可得到</p><p><b>　　(3.5)</b></p><p>　　這里步長變?yōu)? . 根據(jù)(3.5)可得<

33、/p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　若滿足該不等式, 則為積分的近似值. 若不滿足, 則需繼續(xù)細(xì)分區(qū)間.</p><p><b>　　算法如下</b></p><p>　　在誤差容限內(nèi)求積分,

34、, .</p><p>　　輸入項(xiàng) 節(jié)點(diǎn); 誤差容限.</p><p><b>　　輸出項(xiàng) 近似值.</b></p><p>　　STEP 1 令;</p><p>　　( 用梯形法在整個(gè)區(qū)間求近似值. )</p><p>　　STEP 2 當(dāng)時(shí)重復(fù)第3-5步.</p>&l

35、t;p><b>　　STEP 3 令</b></p><p>　　(用梯形法在半分后區(qū)間求近似值.)</p><p>　　( 在這一步保存數(shù)據(jù). )</p><p>　　STEP 4 令</p><p>　　STEP 5 If </p><p><b>　　then 令

36、</b></p><p><b>　　eif</b></p><p><b>　　then</b></p><p>　　OUTPUT (‘LEVEL EXCEED’);</p><p><b>　　STOP.</b></p><p><

37、b>　　else</b></p><p>　　令 (對左半子區(qū)間的數(shù)據(jù))</p><p>　　令(對右半子區(qū)間的數(shù)據(jù))</p><p>　　STEP 6 OUTPUT(); (在容限內(nèi)逼近.)</p><p><b>　　STOP.</b></p><p>　　3.3龍貝格外

38、推法和自適應(yīng)辛普森算法相結(jié)合的新型自適應(yīng)S-R算法</p><p>　　計(jì)算數(shù)值積分, 自適應(yīng)算法的優(yōu)勢在于它能根據(jù)在積分區(qū)間內(nèi)不同的變化性態(tài)自動選擇步長, 但這種算法在整個(gè)區(qū)間上始終采用同一個(gè)求積公式, 因此收斂階是固定的, 而龍貝格外推法雖然可以加快收斂速度, 但它是等步長的. 本文將要介紹一種新型的自適應(yīng)算法, 該算法是由自適應(yīng)辛普森算法和龍貝格外推法相結(jié)合而構(gòu)造的.</p><p>

39、;　　首先, 在低精度的控制下, 用自適應(yīng)辛普森算法實(shí)現(xiàn)對積分區(qū)間的剖分, 使得在剖分后所得到的每個(gè)小區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)上的變化性態(tài)相近; 然后在控制精度的要求下, 利用龍貝格外推算法求每個(gè)小區(qū)間上的積分值; 最后把每一個(gè)小區(qū)間上所得到的數(shù)值結(jié)果求和, 便得到的高精度近似積分結(jié)果. </p><p><b>　　計(jì)算數(shù)值積分</b></p><p><b>　　.

40、</b></p><p>　　令, . 數(shù)值積分.</p><p><b>　　(3.6)</b></p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　這里, 和分別是3點(diǎn)和5點(diǎn)的辛普森公式. 辛普森試驗(yàn)就是指對作出判斷.</p><p>　　在子

41、區(qū)間上用和近似計(jì)算. 根據(jù)復(fù)合辛普森公式的誤差有</p><p><b>　　兩式相減, 可得</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　(3.8)</b></p><p>　　若不等式(3.8)滿足, 則稱在區(qū)間上辛普森試驗(yàn)成功, 為一個(gè)龍貝

42、格區(qū)間; 若不滿足, 則試驗(yàn)失敗, 繼續(xù)對進(jìn)行剖分, 重復(fù)上述計(jì)算.</p><p>　　完成辛普森試驗(yàn), 即對區(qū)間的剖分后, 我們得到個(gè)龍貝格區(qū)間, , . 為小區(qū)間上的積分. 用龍貝格算法近似計(jì)算得到積分值, . 滿足;</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　算法步驟如下:</b><

43、/p><p>　　(1) 令, 稱是的0級子區(qū)間. 如果在上辛普森試驗(yàn)成功, 則就是龍貝格區(qū)間, 否則轉(zhuǎn)(2);</p><p>　　(2) 將分成2個(gè)區(qū)間和, , 則和依次是0級子區(qū)間的左右2個(gè)一級子區(qū)間. 一般而言, 設(shè)是的級子區(qū)間(它是的級子區(qū)間(記為)的左級子區(qū)間, 此),并設(shè)上的辛普森試驗(yàn)是失敗的. 現(xiàn)按”先左后右”的原則, 在上的左、右2個(gè)級子區(qū)間和上做辛普森試驗(yàn), 共有3種可能:

44、</p><p>　　(i) 如果分別在和上的辛普森試驗(yàn)均成功, 則依次得到2個(gè)龍貝格區(qū)間和; 下一步轉(zhuǎn)向級子區(qū)間上的右級子區(qū)間上的辛普森試驗(yàn), 此處.</p><p>　　(ii) 如果上的辛普森試驗(yàn)成功, 但在上的試驗(yàn)失敗, 則是龍貝格區(qū)間, 不是; 下一步需做上的2個(gè)子區(qū)間和的辛普森試驗(yàn), 這里.</p><p>　　(iii) 如果上的辛普森試驗(yàn)失敗, 則下

45、一步要考察上的2個(gè)級子區(qū)間和的辛普森試驗(yàn), 這里.</p><p>　　現(xiàn)設(shè)上的辛普森試驗(yàn)已全部完成, 這表明已用自適應(yīng)辛普森算法對區(qū)間完成了剖分. 可以看出, 不管在上的變化性態(tài)如何, 這種剖分總可完成.</p><p>　　(3) 從左至右, 對每個(gè)龍貝格子區(qū)間均按要求的精度使用龍貝格算法, 然后完成所有子區(qū)間上的龍貝格結(jié)果求和, 即得到的近似積分.</p><p&

46、gt;　　4數(shù)值例子及Matlab程序?qū)崿F(xiàn)</p><p>　　例1用自適應(yīng)積分求定積分的數(shù)值逼近, 起始容差為.</p><p><b>　　數(shù)值結(jié)果如下.</b></p><p>　　表格 1 復(fù)化梯形公式與自適應(yīng)的梯形公式</p><p>　　表格 2 復(fù)化的辛普森公式與自適應(yīng)辛普森公式</p>&l

47、t;p>　　表格 3 自適應(yīng)梯形與自適應(yīng)辛普森公式</p><p>　　例2 用自適應(yīng)積分求定積分的數(shù)值逼近, 定積分的精確值為-1.426024756346266. 起始容差為. 數(shù)值結(jié)果如下.</p><p>　　表格 4 復(fù)化梯形公式與自適應(yīng)的梯形公式</p><p>　　表格 5 復(fù)化的辛普森公式與自適應(yīng)辛普森公式</p><p&

48、gt;　　表格 6 自適應(yīng)梯形與自適應(yīng)辛普森公式</p><p>　　數(shù)值結(jié)果表明：1) 當(dāng)近似值精度要求相同時(shí), 復(fù)化算法的計(jì)算量是自適應(yīng)算法的2倍; 2) 當(dāng)精度要求相同時(shí)，自適應(yīng)辛普森公式比自適應(yīng)梯形公式效果更好.</p><p><b>　　5小結(jié)</b></p><p>　　數(shù)值積分是工程師和科學(xué)家使用的工具, 用來計(jì)算無法解析求解

49、的定積分的近似解. 在計(jì)算機(jī), 工程, 物理等等方面有著廣泛的應(yīng)用. 因此, 研究如何加快數(shù)值算法的速度, 提高數(shù)值積分的精度, 減少函數(shù)值的計(jì)算量就十分必要了. 自適應(yīng)算法就是針對被積函數(shù)在區(qū)間上不同情形采用不同的步長, 使得在滿足精度前提下積分計(jì)算工作量盡可能小. </p><p>　　本文主要是研究數(shù)值積分中的自適應(yīng)算法, 通過對自適應(yīng)辛普森法, 自適應(yīng)梯形法及新型的龍貝格-辛普森自適應(yīng)算法的研究, 并設(shè)計(jì)

50、Matlab程序, 通過數(shù)值結(jié)果比較：當(dāng)近似值精度要求相同時(shí), 復(fù)化算法的計(jì)算量是自適應(yīng)算法的2倍; 當(dāng)精度要求相同時(shí)，自適應(yīng)辛普森公式遠(yuǎn)比自適應(yīng)梯形公式計(jì)算量小.</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　張池平, 施云慧等. 計(jì)算方法 [M]. 北京: 科

51、學(xué)出版社, 2002.</p><p>　　李慶揚(yáng), 王能超, 易大義. 數(shù)值分析 [M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2001.</p><p>　　曾繁慧等. 數(shù)值積分 [M]. 徐州: 中國礦業(yè)大學(xué)出版社, 2009.</p><p>　　曾玉華, 蔣光彪. 一種自適應(yīng)的四階Newton-Cotes求積方法 [J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2005, 25(4):

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53、athews, K. Fink. Numerical Methods Using MATLAB [M]. 北京：電子工業(yè)出版社, 2010.</p><p>　　D. Kincaid, W. Cheney. Numerical Analysis [M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2005.</p><p>　　R. Burden, J. Douglas Faires. Numerical

54、 Analysis [M]. Beijing: Higher Education Press, 2001.</p><p>　　W. Gander, W. Gautschi. Adaptive Quadrature—Revisited [J]. BIT, 2000, 40(1): 084-101.</p><p><b>　　附件1</b></p>&l

55、t;p><b>　　被積函數(shù)</b></p><p>　　function y=adaptive_fun(x)</p><p>　　y=100*sin(10/x)/(x*x);%%13*(x-x.^2).*exp(-3*x/2);</p><p>　　例2的自適應(yīng)辛普森算法的程序</p><p><b>

56、　　aa=1;</b></p><p><b>　　bb=3;</b></p><p><b>　　tol=1e-5;</b></p><p><b>　　N=100;</b></p><p><b>　　app=0;</b></p>

57、;<p><b>　　i=1;</b></p><p>　　tol(1)=15*tol;</p><p><b>　　a(i)=aa;</b></p><p>　　h(i)=(bb-aa)/2;</p><p>　　fa(i)=adaptive_fun(aa);</p>

58、<p>　　fc(i)=adaptive_fun(aa+h(i));</p><p>　　fb(i)=adaptive_fun(bb);</p><p>　　s(i)=h(i)*(fa(i)+4*fc(i)+fb(i))/3;</p><p><b>　　l(i)=1;</b></p><p><b>

59、;　　mm=3;</b></p><p><b>　　while i>0</b></p><p>　　fd=adaptive_fun(a(i)+h(i)/2);</p><p>　　fe=adaptive_fun(a(i)+3*h(i)/2); mm=mm+2;</p><p>　　s1=h(i)*(f

60、a(i)+4*fd+fc(i))/6;</p><p>　　s2=h(i)*(fc(i)+4*fe+fb(i))/6;</p><p><b>　　v1=a(i);</b></p><p><b>　　v2=fa(i);</b></p><p><b>　　v3=fc(i);</b&

61、gt;</p><p><b>　　v4=fb(i);</b></p><p><b>　　v5=h(i);</b></p><p>　　v6=tol(i);</p><p><b>　　v7=s(i);</b></p><p><b>　　v

62、8=l(i);</b></p><p><b>　　i=i-1;</b></p><p>　　if abs(s1+s2-v7)<v6</p><p>　　app=app+s1+s2;</p><p><b>　　else</b></p><p><b&

63、gt;　　if v8>=N</b></p><p><b>　　stop;</b></p><p><b>　　else</b></p><p><b>　　i=i+1;</b></p><p>　　a(i)=v1+v5;</p><p&g

64、t;<b>　　fa(i)=v3;</b></p><p><b>　　fc(i)=fe;</b></p><p><b>　　fb(i)=v4;</b></p><p>　　h(i)=v5/2;</p><p>　　tol(i)=v6/2;</p><p&

65、gt;<b>　　s(i)=s2;</b></p><p>　　l(i)=v8+1;</p><p><b>　　i=i+1;</b></p><p><b>　　a(i)=v1;</b></p><p><b>　　fa(i)=v2;</b></p

66、><p><b>　　fc(i)=fd;</b></p><p><b>　　fb(i)=v3;</b></p><p>　　h(i)=h(i-1);</p><p>　　tol(i)=tol(i-1);</p><p><b>　　s(i)=s1;</b>

67、</p><p>　　l(i)=l(i-1);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　例2的自適應(yīng)梯形算法的程序</p>&l

68、t;p><b>　　aa=1;</b></p><p><b>　　bb=3;</b></p><p><b>　　tol=1e-5;</b></p><p><b>　　N=20000;</b></p><p><b>　　app=0;&

69、lt;/b></p><p><b>　　i=1;</b></p><p>　　tol(1)=2*tol;</p><p><b>　　a(i)=aa;</b></p><p>　　h(i)=(bb-aa)/2;</p><p>　　fa(i)=adaptive_fun

70、(aa);</p><p>　　fb(i)=adaptive_fun(bb);</p><p>　　s(i)=h(i)*(fa(i)+fb(i));</p><p><b>　　l(i)=1;</b></p><p><b>　　mm=2;</b></p><p><b

71、>　　while i>0</b></p><p>　　fd=adaptive_fun(a(i)+h(i));</p><p><b>　　mm=mm+1;</b></p><p>　　s1=h(i)*(fa(i)+fd)/2;</p><p>　　s2=h(i)*(fd+fb(i))/2;<

72、/p><p><b>　　v1=a(i);</b></p><p>　　v2=fa(i); </p><p><b>　　v4=fb(i);</b></p><p><b>　　v5=h(i);</b></p><p>　　v6=tol(i);</p&

73、gt;<p><b>　　v7=s(i);</b></p><p><b>　　v8=l(i);</b></p><p><b>　　i=i-1;</b></p><p>　　if abs(s1+s2-v7)<v6</p><p>　　app=app+s1+

74、s2;</p><p><b>　　else</b></p><p><b>　　if v8>=N</b></p><p><b>　　break;</b></p><p><b>　　else</b></p><p><

75、;b>　　i=i+1;</b></p><p>　　a(i)=v1+v5;</p><p>　　fa(i)=fd; </p><p><b>　　fb(i)=v4;</b></p><p>　　h(i)=v5/2;</p><p>　　tol(i)=v6/2;</p>

76、<p><b>　　s(i)=s2;</b></p><p>　　l(i)=v8+1;</p><p><b>　　i=i+1;</b></p><p><b>　　a(i)=v1;</b></p><p>　　fa(i)=v2; </p><

77、p><b>　　fb(i)=fd;</b></p><p>　　h(i)=h(i-1);</p><p>　　tol(i)=tol(i-1);</p><p><b>　　s(i)=s1;</b></p><p>　　l(i)=l(i-1);</p><p><b