測繪工程畢業(yè)設計說明書（畢業(yè)論文）最小二乘曲線擬合及matlab實現(xiàn)

1、<p><b>　　內(nèi)蒙古科技大學</b></p><p>　　本科生畢業(yè)設計說明書（畢業(yè)論文）</p><p>　　題 目：最小二乘曲線擬合及MATLAB實現(xiàn)</p><p><b>　　學生姓名：</b></p><p>　　學 號：0972143230</p>

2、<p>　　專 業(yè)：測繪工程</p><p>　　班 級：2009測繪2班</p><p>　　指導教師： 講師</p><p>　　最小二乘曲線擬合及MATLAB實現(xiàn)</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　介紹曲線擬合的基本理論，對最

3、小二乘原理進行了全方位的理論闡述，同時也闡述了曲線擬合的基本原理及多項式曲線擬合模型的建立。詳細的解答了曲線擬合中的最小二乘法，并介紹了部分的正交最小二乘法理論。重點講解多項式擬合的具體步驟，同時也介紹了非線性方程的最小二乘擬合，在建立理論的基礎上對最小二乘曲線擬合法的MATLAB實現(xiàn)方法進行研究，利用MATLAB2012b的平臺對測量數(shù)據(jù)進行最小二乘曲線擬合，介紹MATLAB的具體構造和曲線擬合工具。利用MATLAB中的ployfit

4、函數(shù)對實測數(shù)據(jù)進行多項式曲線擬合，并給出曲線擬合MATLAB實現(xiàn)的源程序，給出擬合曲線，并評定擬合的精度證明該方法是行之有效的。</p><p>　　關鍵詞：最小二乘法，曲線擬合，MATLAB，測量數(shù)據(jù)</p><p>　　Curve Fitting in Least-Square Methodand Its Realization with Matlab</p><

5、p><b>　　Abstract</b></p><p>　　To introduce the basic theory of curve fitting and discuss the least squares principle in this paper, what’s more, we also discuss the basic principle of curve fit

6、ting and the establishment of polynomial curve fitting model. Meanwhile, we also introduce the least-square method of curve fitting in detail and part of the theory of orthogonal least square method. We mainly discuss th

7、e specific steps of polynomial fitting, and also introduces the nonlinear equation of the least squares fitting at th</p><p>　　Key words: least square method; curve fitting; MATLAB, metrical data</p>

8、<p>　　最小二乘曲線擬合及MATLAB實現(xiàn)I</p><p><b>　　摘 要I</b></p><p>　　Curve Fitting in Least-Square Method and Its Realization with MatlabII</p><p>　　AbstractII</p>

9、<p><b>　　第一章 引 言1</b></p><p><b>　　1.1研究背景1</b></p><p>　　1.1.1 歷史理論原理1</p><p>　　1.1.2 現(xiàn)代研究1</p><p>　　1.2 問題定義2</p><p>　　1.

10、2.1 曲線擬合的思想2</p><p>　　1.2.2 多項式擬合3</p><p>　　1.2.3 利用Matlab的polyfit函數(shù)進行多項式擬合3</p><p>　　1.3 論文結構3</p><p>　　第二章 數(shù)據(jù)曲線擬合4</p><p><b>　　2.1測量數(shù)據(jù)4</b

11、></p><p><b>　　2.2擬合模型4</b></p><p>　　2.3最小二乘原理5</p><p>　　2.3.1最小二乘法5</p><p>　　2.3.2最小二乘估計與極大似然估計7</p><p><b>　　2.4數(shù)據(jù)擬合9</b>&l

12、t;/p><p>　　2.4.1曲線擬合理論9</p><p>　　2.4.2最小二乘法線性擬合原理10</p><p>　　2.4.3最小二乘非線性擬合12</p><p>　　2.4.4正交多項式13</p><p>　　2.4.5正交最小二乘曲線擬合15</p><p>　　2.5曲

13、線擬合精度評定17</p><p>　　第三章MATLAB19</p><p>　　3.1MATLAB概述19</p><p>　　3.1.1MATLAB簡介19</p><p>　　3.1.2MATLAB的主要組成部分21</p><p>　　3.2MATLAB2012b的運行簡介23</p>

14、<p>　　3.2.1啟動和退出MATLAB2012b23</p><p>　　3.2.2MATLAB2012b桌面系統(tǒng)24</p><p>　　3.2.3MATLAB函數(shù)調(diào)用系統(tǒng)26</p><p>　　3.2.4MATLAB2012b的幫助系統(tǒng)27</p><p>　　3.2.5附件管理系統(tǒng)28</p>

15、<p>　　3.2.6數(shù)據(jù)交換系統(tǒng)28</p><p>　　3.2.7MATLAB 中的其他系統(tǒng)29</p><p>　　3.3最小二乘曲線擬合法的MATLAB實現(xiàn)30</p><p>　　第四章 最小二乘法曲線擬合的MATLAB實現(xiàn)32</p><p>　　4.1 使用polyfit函數(shù)實現(xiàn)多項式擬合32</p

16、><p>　　4.2 二次多項式的曲線擬合33</p><p>　　4.3三次多項式的曲線擬合34</p><p>　　4.4 四次多項式曲線擬合35</p><p>　　4.5數(shù)據(jù)處理和精度評定36</p><p><b>　　第五章 總結40</b></p><p&g

17、t;<b>　　參考文獻41</b></p><p><b>　　附錄1：43</b></p><p>　　MATLAB語言編程源代碼43</p><p><b>　　附錄2：45</b></p><p>　　各次擬合的擬合曲線方程45</p><

18、p><b>　　致謝46</b></p><p><b>　　外文翻譯47</b></p><p><b>　　外文部分47</b></p><p><b>　　翻譯部分54</b></p><p><b>　　引 言</b&

19、gt;</p><p><b>　　1.1研究背景</b></p><p>　　1.1.1 歷史理論原理</p><p>　　Weierstrass第一逼近定理[1] </p><p>　　對任意函數(shù)和任意給定的,都存在n次代數(shù)多項式，滿足</p><p><b>　　(1-1-1)&

20、lt;/b></p><p>　　Bernstein多項式（bernstein polynomial）[1]</p><p>　　前蘇聯(lián)數(shù)學家Bernstein曾經(jīng)給出這樣的多項式序列：</p><p><b>　　(1-1-2)</b></p><p>　　在整體上一致逼近，但它的收斂緩慢，要達到一定的精度，則n

21、要取很大，計算量大，所以研究如何在給定的精度下，對進行整體逼近，成為逼近論中的一個重要問題。</p><p>　　1.1.2 現(xiàn)代研究</p><p>　　曲線擬合問題是諸多試驗和工程實際中廣泛應用的數(shù)據(jù)處理方法。試驗數(shù)據(jù)的正確處理，關系到是否能達到試驗目的，得出明確結論。傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法，很難得到一條很好適應所有點的曲線，同時也無法估計所得曲線的精度，由此所確定的特征值就可能有較大的誤

22、差，且沒有建立起由這些點構成曲線的數(shù)學模型，直接影響利用數(shù)學方法進行解析分析。在進行試驗數(shù)據(jù)的分析時，通?？刹捎们€擬合法尋找一條光滑曲線，曲線在某種準則下最佳的擬合數(shù)據(jù)。</p><p>　　測量工作中，通常根據(jù)測定的一系列坐標點，選取一定的數(shù)學模型擬合直線、二次曲線或者其他高次曲線。擬合的目的是根據(jù)測量點尋求曲線的特征，求解曲線的相關參數(shù)，為工程建設管理提供必要的基礎信息。如在既有鐵路工程、又有公路工程測量中

23、，通常根據(jù)一系列的測量點和線路工程的特點求解線路工程的線性特征，為線路維護養(yǎng)護、二線工程建設、行車安全分析等提供必要的基礎信息。在GIS數(shù)據(jù)獲取中，通常根據(jù)一系列的實際測量點或者是地圖數(shù)字化點擬合道路、水系、等高線、等曲線。這類問題的做法通常是根據(jù)線形的特點選取一定的數(shù)學模型，以待求的線形參數(shù)作為未知參數(shù)，以測點的縱坐標或者橫坐標為觀測值，采用最小二乘法處理。</p><p>　　在測量中獲取的數(shù)據(jù)均為隨機數(shù)據(jù)，

24、它們是由一些離散的數(shù)據(jù)組成，單就獲得的原始數(shù)據(jù)本身來說根本反映不出事物的本質。如何從這些離散的數(shù)據(jù)中找出觀測數(shù)據(jù)的變化規(guī)律？在實際中傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法，很難得到一條很好地適應所有點的曲線，同時也無法估計所得曲線的精度，且沒有建立起由這些點構成曲線的數(shù)學模型，直接影響到利用數(shù)學方法進行解析分析。用Matlab進行數(shù)據(jù)擬合可以形象直觀地發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)體現(xiàn)出來的規(guī)律性。在進行分析時，通?？刹捎们€擬合法，曲線擬合法的目的是尋找一條光滑曲線，即對

25、觀測的幾個變量進行多次觀測從而求出反映變量之間的相對函數(shù)關系，它在某種準則下最佳的擬合數(shù)據(jù)。</p><p><b>　　1.2 問題定義</b></p><p>　　本文介紹最小二乘曲線擬合法的基本原理，就其MATLAB的實現(xiàn)方法進行研究，給出曲線擬合MATLAB 的實現(xiàn)方法進行研究，給出曲線擬合MATLAB實現(xiàn)的源程序，并進行仿真測試，對測試誤差進行分析。<

26、/p><p>　　1.2.1 曲線擬合的思想</p><p>　　如果不要求所構造的函數(shù)精確的通過所有由離散數(shù)據(jù)所確定的離散點，而只要求是相對與同一函數(shù)類H中的其他函數(shù)而言達到最優(yōu)的。即我們希望找到一條曲線，既能反映給定數(shù)據(jù)的一般趨勢又不至于出現(xiàn)局部較大波動。在這種逼近方式下，只要構造的近似函數(shù)與被逼近函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的偏差滿足某種要求即可。</p><p>　　

27、1.2.2 多項式擬合</p><p>　　有時所給的數(shù)據(jù)點的分布并不一定近似的呈一條直線，這時若仍用直線擬合顯然是不合適的，對于這種情況可以考慮用多項式擬合。多項式方程的一般形式是：</p><p><b>　　(1-2-1)</b></p><p>　　解出多項式系數(shù)，可得到函數(shù)模型。</p><p>　　1.2.3

28、 利用Matlab的polyfit函數(shù)進行多項式擬合</p><p>　　在Matlab中曲線擬合的形式非常簡單，他的形式是：,該擬合函數(shù)的結果將保證在數(shù)據(jù)點上的擬合值與數(shù)據(jù)值之差的平方和最小，滿足最小二乘法則標準的最小二乘曲線擬合。</p><p><b>　　1.3 論文結構</b></p><p>　　本文主要分為五章，第一章介紹本文的主

29、旨和需要解決的問題的介紹，第二章介紹最小二乘法曲線擬合的基本理論和具體步驟，第三章通過MATLAB2012b的平臺介紹MATLAB實現(xiàn)最小二乘曲線擬合的具體方法和步驟，第四章利用MATLAB的ployfit函數(shù)對一組礦山沉陷數(shù)據(jù)進行多項式曲線擬合，并對多項式擬合的精度進行分析，最后第五章對全文進行一個總結。</p><p>　　第二章 數(shù)據(jù)曲線擬合</p><p><b>　　2

30、.1測量數(shù)據(jù)</b></p><p>　　測量數(shù)據(jù)或觀測數(shù)據(jù)是指用一定的儀器、工具、傳感器或其他手段獲取的反映地球與其他實體的空間分布有關信息的數(shù)據(jù)。觀測數(shù)據(jù)可以是直接測量的結果，也可以是經(jīng)過某種變換后的結果。任何觀測數(shù)據(jù)總是包含信息和干擾兩部分，采集數(shù)據(jù)就是為了獲取有用的信息，干擾也稱為誤差，是除了信息以外的部分，要設法予以排除或減弱其影響[4]。</p><p><b

31、>　　2.2擬合模型</b></p><p>　　擬合模型是測量平差中常遇到的一種特殊的函數(shù)模型。擬合模型是一種函數(shù)逼近型或是統(tǒng)計回歸模型。用一個函數(shù)去逼近所給定的一組數(shù)據(jù)，或者利用變量與變量之間統(tǒng)計相關性質給定的回歸模型都屬于擬合模型[4]。</p><p>　　擬合模型誤差方程的組成舉例：</p><p>　　1.在地圖數(shù)字化中，已知圓上m個點

32、的數(shù)字化觀測值（i=1,2，……，m），設為等權獨立觀測試求該圓的曲線方程。</p><p>　　由于數(shù)字化觀測值有誤差，m個點并不在同一圓線上，需要在這些觀測點上擬合一條最佳圓曲線，這就是擬合模型問題。</p><p>　　圓曲線的參數(shù)方程以平差值表示為</p><p><b>　　(2-2-1)</b></p><p&g

33、t;　　公式中為圓心坐標平差值，和分別為半徑和矢徑方位角的平差值，它們?yōu)槠讲畹奈粗獏?shù)，故此例n=2m，t=3+m。</p><p><b>　　令 =+，=+.</b></p><p><b>　　，.</b></p><p><b>　　=+，=+.</b></p><p>

34、;　　將上式線性化，最后得誤差方程為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　. (2-2-2)</p><p><b>　　式中，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.在攝影測量

35、學中，數(shù)字高程模型、GPS水準的高程異常擬合模型等，常采用多項式擬合模型。已知m個點的數(shù)據(jù)是（i=1,2，……，m），其中是點的高程或高程異常（GPS水準擬合模型），為點的坐標，視為無誤差，并認為Z是坐標的函數(shù)，即可取擬合函數(shù)為</p><p>　　， (2-2-3)</p><p>　　式中=，未知參數(shù)為.為常數(shù)，則其誤差方程為</p>&l

36、t;p>　　. (2-2-4)</p><p><b>　　2.3最小二乘原理</b></p><p>　　2.3.1最小二乘法</p><p>　　在生產(chǎn)實踐中，經(jīng)常會遇到利用一組觀測數(shù)據(jù)來估計某些未知參數(shù)的問題。例如，一個做勻速運動的質點在時刻的位置是，可以用如下的線性函數(shù)來表達描述：</p>

37、<p><b>　　(2-3-1)</b></p><p>　　式中，是質點在時刻的初始位置，是平均速度，它們是待估計的未知數(shù)參數(shù)，可見這類問題為線性參數(shù)的估計問題。對于這一問題，如果觀測沒有誤差，則只要在兩個不同時刻觀測出質點的相應位置，由上式分別建立兩個方程，就可以解出的值。但是在實際的觀測時，考慮到觀測值帶有偶然誤差，所以總是作多余觀測。在這種情況下，為了求得，就需要在不同

38、時刻來測定其位置，得出一組觀測值，這時，由上式可以得到</p><p><b>　　(2-3-2)</b></p><p><b>　　若令</b></p><p><b>　　，，, </b></p><p>　　則

39、 (2-3-3)</p><p>　　這就是間接平差的模型[4]。</p><p>　　如果我們將對應的用圖解表示，從圖2.1看出由于存在觀測誤差的緣故，由觀測數(shù)據(jù)繪出的點——觀測點，描繪不成直線，而有些擺動。</p><p>　　圖2.1根據(jù)觀測點確定直線</p><p>　　這里就產(chǎn)生

40、了一個問題：用什么準則來對參數(shù)進行估計，從而使估計直線“最佳”的擬合于各觀測值點。</p><p>　　通常的做法有以下幾種：</p><p>　?。?） （2-3-4）</p><p>　?。?）

41、 （2-3-5）</p><p>　?。?） （2-3-6）</p><p>　　其中第一種較復雜，第二種不可導，求解困難，所以目前采用較多的方法是第三種方法，這種方法就叫做最小二乘法。</p><p>　　所謂的最小二乘原理，就是要在滿足</p><p&

42、gt;<b>　?。?-3-7）</b></p><p>　　的條件下解出參數(shù)的估值，也可以表達為</p><p><b>　?。?-3-8）</b></p><p>　　式中，表示未知參數(shù)的估計向量，在上述例子中，。滿足上式的估計值稱為的最小二乘估計，這種求估計量的方法就叫做最小二乘法[1]。</p>&l

43、t;p>　　2.3.2最小二乘估計與極大似然估計 </p><p>　　測量中的觀測值是服從正態(tài)分布的隨機變量，最小二乘原理可用數(shù)理統(tǒng)計中最大似然估計來解釋，兩種估計準則的估值相同。</p><p>　　設觀測向量為L,L為隨機正態(tài)向量，其數(shù)學期望和方差分別為</p><p><b>　　， </b></p><p&

44、gt;　　由極大似然估計準則知道，其似然函數(shù)（即L的正態(tài)密度函數(shù)）為</p><p><b>　?。?-3-9）</b></p><p>　　按最大似然估計的要求，應選取能使取得極大值的作為的估計量，考慮到，為的估計量也就是以改正數(shù)V作為真誤差的估計量。由于上式中右邊第一項為常量第二項前為負號，所以只有當?shù)诙椚〉脴O小值時，似然函數(shù)才能取得極大值。因此由極大似然估計求

45、得的V值必須滿足條件</p><p>　　考慮到為常量，則上式等價于</p><p><b>　?。?-3-10）</b></p><p>　　此方程即為最小二乘原理。</p><p>　　由此可見，當觀測值為正態(tài)隨機變量時，最小二乘估計可由最大似然估計導出，由以上兩個準則出發(fā)，平差結果完全一致。</p>

46、<p>　　最小二乘原理中的P陣，稱為權陣，定義是。</p><p>　　設為獨立觀測值，其權為，則有</p><p>　　式中，為的權倒數(shù)或協(xié)因數(shù),權陣及協(xié)因數(shù)陣為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　如果為相關的觀測值，則有</p><p>　　協(xié)因數(shù)Q與協(xié)方

47、差D統(tǒng)計含義相同，數(shù)值的表達式形式上僅差一個常量，如果=1，則D=Q。因為權陣</p><p>　　由于為的權倒數(shù)，但是，所以權陣P中的主對角線不具有權的意義，P僅表示，但在運算中起著權的作用。</p><p>　　特別時，當觀測為同精度觀測時，P=I，則最小二乘原理是</p><p><b>　?。?-3-11）</b></p>

48、<p><b>　　2.4數(shù)據(jù)擬合</b></p><p>　　2.4.1曲線擬合理論</p><p>　　在測量學上，常常使用一組測定的數(shù)據(jù)，i=1,2，……，n，求得一個近似的函數(shù)關系y=f。由于y值來自觀測或者實驗，數(shù)據(jù)不可避免地帶有一定程度的誤差，因此不能像插值那樣要求曲線嚴格通過數(shù)據(jù)點，只能是y=最優(yōu)地靠近這些數(shù)據(jù)點，這樣，在某種意義下的偏差為最

49、小，部分抵消數(shù)據(jù)誤差，進而反應數(shù)據(jù)的一般趨勢。</p><p>　　假定有n對實驗數(shù)據(jù)，其中（=1,2，……，n）。設由這些點得到的數(shù)據(jù)關系為。</p><p>　　在一般情況下，有線性模型</p><p>　　= （2-4-1）</p><p><b>　　假設令，則有</b></p><

50、;p><b>　　=</b></p><p><b>　　非線性模型為</b></p><p>　?。?-4-2）利用線性模型與非線性模型，基于最小二乘法，可以計算出經(jīng)驗公式和參數(shù)。</p><p>　　2.4.2最小二乘法線性擬合原理</p><p>　　前面我們已經(jīng)介紹了最小二乘法，現(xiàn)在我

51、們就最小二乘法擬合直線和曲線（多項式）做一個詳細的原理分析，著重介紹多項式的擬合。</p><p>　　2.4.2.1直線擬合</p><p>　　當實驗數(shù)據(jù)近似滿足直線模型時，可利用最小二乘法擬合實驗數(shù)據(jù)。根據(jù)最小二乘法的原理，函數(shù)應為</p><p><b>　　其中 ，</b></p><p>　　本文主要探討最

52、小二乘曲線（多項式）的擬合，所以在這對直線擬合只做簡要的分析。</p><p>　　2.4.2.2曲線（多項式）擬合</p><p>　　設函數(shù).已知列表函數(shù)，.利用多項式逼近的，問題變?yōu)槿绾芜x擇使能較好地擬合列表函數(shù)。按最小二乘法，應選擇，使得</p><p><b>　?。?-4-3）</b></p><p>　　取

53、最小。因為E是非負的，且是的二次多項式，所以它必定有最小值。求E關于的偏導數(shù)，并令其等于0，得到</p><p><b>　?。?-4-4）</b></p><p>　　我們也可以將上式寫成如下的方程組形式：</p><p>　　將方程組化為矩陣形式為</p><p><b>　　我們記</b>&l

54、t;/p><p>　　所以我們可以把原等式簡單的表示為</p><p>　　上述方程一般稱為法方程組或正規(guī)方程組，而</p><p><b>　?。?-4-5）</b></p><p>　?。╪+1個未知量，m+1個方程式）稱為超定方程組或矛盾方程組。</p><p>　　可以證明為超定方程組的最小二

55、乘解的充分必要條件是滿足法方程組。</p><p>　　在利用最小二乘法建立原和式時，所有點都起到了同樣的作用。但是有時依據(jù)某種理由認為和式中某些項作用大些，而另外一些項的作用小些（例如，由高精度的儀器或由經(jīng)驗較豐富的測量人員獲得的觀測值，自然而然的應該對這些數(shù)據(jù)予以較大的信任度），在數(shù)學上常表現(xiàn)為用</p><p>　　替代 </p><p>　　取

56、最小值，其中稱為權（weight），事先給定，且，而替代了的上式稱為加權和，相應的稱為關于權的最小二乘逼近多項式（least squares approximation polynomial with respect to the weight ）。</p><p>　　2.4.3最小二乘非線性擬合</p><p>　　上面介紹的是待定的參數(shù)在擬合函數(shù)中是以線性形式出現(xiàn)的，所以稱為線性最小

57、二乘法。在實際問題中，如果選取的基函數(shù)是指函數(shù)或其他函數(shù)，例如取擬合函數(shù)為</p><p>　　其中b，c為待定參數(shù)，雖然擬合函數(shù)的形式不復雜，但是擬合函數(shù)中的參數(shù)是以非線性形式出現(xiàn)的，用線性最小二乘法根本就無能為力。此時我們可以首先通過變量替換，利用數(shù)學上的變量替換思想使其線性化，然后再利用線性最小二乘來解決問題。將上面的指數(shù)等式兩邊取對數(shù)我們可得到：</p><p><b>

58、　　記則可把上式替換為</b></p><p>　　用線性最小二乘法可以確定出(從而也就可以確定出b，c)，得到擬合函數(shù)</p><p><b>　?。?-4-6）</b></p><p>　　2.4.4正交多項式</p><p>　　從前面的討論中可以知道，用多項式次數(shù)較高時，法方程組可能是“病態(tài)方程組”（

59、所謂“病態(tài)方程組”是指如果在方程組中A或b有微小的變化，就引起解的巨大變化）為了解決這個問題，常用</p><p><b>　?。?-4-7）</b></p><p>　　來擬合，這里表示k次多項式[1]。利用前面的方法，在上式中選擇適當?shù)南禂?shù)，使得</p><p>　　達到最小。為此，對E關于分別求偏導數(shù)，并且令偏導數(shù)等于0，得到</p

60、><p>　　如果能找到多項式滿足下面關系：對有</p><p>　　這樣求解方程組就變得簡單了，這時</p><p><b>　?。?-4-8）</b></p><p>　　稱滿足上述條件的多項式族為關于及權的正交多項式族。</p><p>　　正交多項式的的基本理論[1]</p>&

61、lt;p>　　如果函數(shù)系中每個函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，不恒等于0，且滿足條件</p><p><b>　?。?-4-9）</b></p><p>　　那么稱函數(shù)系為區(qū)間上關于權函數(shù)的正交函數(shù)系。當是k次多項式時，稱為區(qū)間上關于權函數(shù)的正交多項式系。</p><p>　　若是區(qū)間上關于權函數(shù)的正交多項式系，則有如下性質：</p>&

62、lt;p>　　性質1 對任意正整數(shù)是線性無關的。</p><p>　　性質2 任意次數(shù)小于等于n的多項式必與正交，。</p><p>　　性質3 在區(qū)間上恰好有n個不同的實根。</p><p>　　性質4 對于最高次項系數(shù)為1的正交多項式系，有三項遞推關系</p><p><b>　?。?-4-10）</b>&l

63、t;/p><p><b>　　其中</b></p><p>　　性質5 對于最高次項系數(shù)為的正交多項式系，有三項遞推關系</p><p><b>　?。?-4-11）</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　Legendre多

64、項式[1]</p><p><b>　?。?-4-12）</b></p><p>　　注 的最高次項的系數(shù)為.</p><p>　　Chebyshev多項式[1]</p><p><b>　?。?-4-13）</b></p><p><b>　　注 .<

65、;/b></p><p>　　Lagurre多項式[1]</p><p>　　…… （2-4-14）</p><p>　　注 的最高次項的系數(shù)為n!.</p><p>　　Hermite多項式[1]</p><p>　　…… （2-4-15）</p&

66、gt;<p>　　注 的最高次項的系數(shù)為.</p><p>　　2.4.5正交最小二乘曲線擬合</p><p>　　如果同時顧及到觀測量x，y同為含誤差的隨機變量，普通的最小二乘法曲線擬合就失去了公平的原則?？紤]到自變量的誤差，我們可以把曲線擬合描述為：</p><p>　　對于給定的一系列觀測點我們假設的隨機誤差為，其中方差協(xié)方差陣為<

67、/p><p>　　考慮到自變量的誤差，可描述擬合模型為</p><p><b>　　其中為估計參數(shù)。</b></p><p>　　觀測點到擬合曲線的距離殘差定義為</p><p><b>　?。?-4-16）</b></p><p><b>　　擬合準則為</b&

68、gt;</p><p><b>　?。?-4-17）</b></p><p>　　這是典型的普通的最小二乘法曲線擬合模型，從幾何意義上來講，距離殘差實質上是點到擬合曲線的正交距離，擬合的準則為“所有點到擬合曲線的正交距離的平方和為最小。因此，這種曲線擬合的方法稱為正交距離回歸，也叫做正交最小二乘法[1]。</p><p>　　依上所述曲線的觀測

69、方程可以表示為</p><p><b>　?。?-4-18）</b></p><p>　　我們?nèi)∽鴺撕痛髤?shù)為未知數(shù)，令</p><p>　　所以誤差方程可以表示為</p><p>　　方程式中觀測值個數(shù)為2n個。未知數(shù)個數(shù)為n+m+1個。</p><p>　　所以其矩陣表達形式為</p&

70、gt;<p>　　為n階單位陣,B為n階對角陣。</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　依照準則</b></p><p><b>　?。?-4-19）</b></p><p>　　也就是按照準則，采用間接平差方法求解得</p&g

71、t;<p><b>　?。?-4-20）</b></p><p>　　2.5曲線擬合精度評定</p><p>　?。?）最小二乘精度評定</p><p>　　觀測值殘差： （2-5-1）</p><p>　　殘差

72、平方和： （2-5-2）</p><p>　　單位權中誤差： （2-5-3）</p><p>　?。?）正交最小二乘精度評定 </p><p>　　和普通最小二乘一樣，觀測值殘差按下式計算</p>&l

73、t;p><b>　?。?-5-4）</b></p><p>　　各點的正交距離殘差為</p><p><b>　?。?-5-5）</b></p><p><b>　　殘差平方和為</b></p><p><b>　?。?-5-6）</b></p

74、><p><b>　?。?-5-7）</b></p><p>　　我們一般都用單位權中誤差評定精度,單位權中誤差的計算公式</p><p><b>　?。?-5-8）</b></p><p><b>　　2.6本章小結</b></p><p>　　本章介紹了

75、測量工作中最小二乘曲線擬合的基本思想和理論依據(jù)，并對曲線擬合的精度評定等一系列作了全面的闡述。</p><p><b>　　第三章MATLAB</b></p><p>　　3.1MATLAB概述</p><p>　　MATLAB是Mathworks公司開發(fā)的一種集數(shù)值計算、符號計算和圖形可視化三大基本功能為一體的，功能強大、操作簡單的語言，它是

76、為了滿足計算要求應運而生的，經(jīng)過不斷的發(fā)展，目前已成為國際公認的數(shù)學運用軟件之一[3]。</p><p>　　MATLAB系統(tǒng)由MATLAB內(nèi)核和輔助工具箱組成，本章我們將介紹MATLAB的基本構成及其工作環(huán)境的構成和使用方法，結合論文的需要我們著重介紹MATLAB的數(shù)據(jù)擬合方法與步驟，本論文是基于MATLAB的比較新近的版本MATLAB2012b來對其進行完整介紹的。</p><p>　

77、　3.1.1MATLAB簡介</p><p>　　如今計算機技術已被廣泛應用于每個行業(yè)，科研和計算領域更加需要計算機的輔助。對于經(jīng)常需要對大量數(shù)據(jù)進行分析處理或者對復雜問題進行求解的科研工作者和工程技術人員來講，計算機技術的引入大大降低了工作的強度，使原本繁雜的工作變得簡單，從而極大地提高了工作效率[2]。</p><p>　　隨著科學研究的不斷深入，以及工程應用不斷地朝著專業(yè)化、精確化方

78、向發(fā)展，科研工作者及工程技術人員對技術的要求也越來越高。面對越來越繁重的科學及工程計算任務，雖然利用傳統(tǒng)的c語言或Fortran語言也能夠完成計算任務，但程序設計者所承擔的編程工作是極為繁重的，而且還要求程序設計者對計算方法有比較深入的理解，這就使工作人員不得不將大量的時間和精力放在與科研研究課題不大的計算機編程上。為了減輕科技工作人員的壓力。使工作人員將時間和精力盡可能多地投入到建立模型等關鍵性工作中，許多軟件公司相繼開發(fā)出了一系列的

79、數(shù)學應用軟件，如Mathmatica、Maple、MathCAD、以及MATLAB等，其中MATLAB軟件以其強大的功能和極高的編程效率吸引了眾多的用戶。</p><p>　　MATLAB是一種高度集成化的科學計算環(huán)境，是集數(shù)值計算和圖形處理等功能于一體的工程計算應用軟件。MATLAB不僅可以處理代數(shù)問題和數(shù)值分析問題，而且還具有強大的圖形處理及仿真模擬等功能。MATLAB能夠很好地幫助工程師及科學家解決很多實際

80、的技術問題。MATLAB逐漸從眾多的數(shù)學工具軟件中脫穎而出，已經(jīng)成為公認的優(yōu)秀的數(shù)學應用軟件之一。</p><p>　　首先，MATLAB具有豐富的應用功能，大量實用的輔助工具箱適合不同專業(yè)研究方向及工程應用需求的用戶使用。</p><p>　　其次，MATLAB的程序設計語言編程效率極高，由于MATLAB程序設計語言以矩陣作為其語言系統(tǒng)的最基本要素，從而極大地簡化了線性運算，而線性運算是

81、整個數(shù)值計算的基礎，所以以矩陣為基本語言要素可以提高數(shù)值計算的編程效率。MATLAB本身擁有豐富的庫函數(shù)，并且有結果化流程控制語句和運算符，用戶在使用過程中能夠方便自如地應用。</p><p>　　此外,MATLAB還有較強的圖形控制和處理功能，同時該軟件帶有的API（Application Program Interface，應用程序接口）使用戶可以方便地在MATLAB與C、Fortran等其他的其他設計語言之

82、間建立數(shù)據(jù)通信。</p><p>　　當然，任何事物都不是十全十美的，與c、Fortran等傳統(tǒng)的程序設計語言相比，MATLAB的程序設計語言的一個顯著的缺點就是循環(huán)代碼執(zhí)行效率較低。這是與其執(zhí)行方式直接相關的。MATLAB編寫的程序在應用過程中為解釋執(zhí)行，既不需要編譯也不生成可執(zhí)行文件，而是解釋一句，執(zhí)行一句，其速度是可想而知的。當然這個問題也不是不可以解決的。由于MATLAB以矩陣作為基本的程序設計語言要素，

83、對于在C、Fortran等程序設計語言中需要使用循環(huán)解決的問題，在MATLAB程序設計語言中巧妙地利用矩陣的特點，就可以避免使用循環(huán)代碼。所以，通過對MATLAB的深入學習，提高編程技巧。完全可以做到揚長避短，并且充分發(fā)揮MATLAB語言的強大功能。</p><p>　　作為一種數(shù)學應用軟件，MATLAB的發(fā)展與數(shù)值計算的發(fā)展密切相關。在20世紀70年代中期，數(shù)值計算成為工程技術和科研的有效手段之一，為了適應科學

84、技術發(fā)展的要求，美國的Cleve Moler 博士及其同事共同開發(fā)了基于Fortran語言的EISPACK和LINPACK的函數(shù)庫，以支持數(shù)值計算，其中EISPACK函數(shù)庫是針對于求解矩陣特征值問題的，而LINPACK函數(shù)庫則是針對線性方程組求解問題的，這兩個函數(shù)庫代表了同時代矩陣計算的最高水平，并為許多科研和工程計算人員所使用。到了20世紀70年代末，Cleve Moler博士發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在使用EISPACK和LINPACK函數(shù)庫的過程中大

85、量時間被放在了接口程序設計上，為了減少工作量，Cleve Moler博士親自編寫了EISPACK和LINPACK函數(shù)庫的接口程序，并以MATLAB作為該接口程序的命名，意為矩陣實驗室（Matrix Laboratory），這就是MATLAB的幼形。</p><p>　　20世紀80年代初期，Cleve Moler與John Little等利用C語言開發(fā)新一代的MATLAB語言，此時的MATLAB語言已經(jīng)同時具備了

86、數(shù)值計算功能和簡單的圖形處理功能。1984年，為了推廣MATLAB在實際數(shù)值計算中的應用，Cleve Moler與John Little等正式成立了Mathworks公司，把MATLAB語言推向市場，并且開始了對MATLAB工具箱的開發(fā)設計。</p><p>　　目前MATLAB已成為國際上公認的優(yōu)秀的數(shù)學應用軟件之一。</p><p>　　3.1.2MATLAB的主要組成部分</p

87、><p>　　整個MATLAB系統(tǒng)由兩部分組成，即MATLAB內(nèi)核及輔助工具箱。兩者的協(xié)調(diào)應用構成了MATLAB的強大功能。</p><p>　　3.1.2.1MATLAB內(nèi)核</p><p>　　MATLAB內(nèi)核就是MATLAB系統(tǒng)的核心內(nèi)容，包括MATLAB語言系統(tǒng)、MATLAB開發(fā)環(huán)境、MATLAB圖形系統(tǒng)、MATLAB數(shù)學函數(shù)庫以及MATLAB的應用程序接口系統(tǒng)

88、等6個部分[3]。</p><p>　　作為MATLAB內(nèi)核的重要組成部分，MATLAB語言系統(tǒng)經(jīng)過多年的不斷完善，已經(jīng)成為一種相對獨立的程序設計語言，并且在處理數(shù)學問題，尤其是數(shù)值計算問題時表現(xiàn)出了無與倫比的優(yōu)越性。從本質上講，MATLAB語言系統(tǒng)是以矩陣的存儲和運算為基礎的，幾乎所有的操作都可以歸結為矩陣的運算，這就使得MATLAB語言能夠方便地分析和處理數(shù)學問題。同時MATLAB語言系統(tǒng)也具有結構化程序設計

89、語言的一切特點，使得用戶能夠較快的掌握和使用MATLAB語言。</p><p>　　MATLAB開發(fā)環(huán)境就是在使用MATLAB的過程中可激活的，并可為用戶提供不同功能服務的集成系統(tǒng)。它包括基本開發(fā)環(huán)境和輔助開發(fā)環(huán)境兩類。其中基本開發(fā)環(huán)境包括啟動和退出MATLAB、MATLAB桌面系統(tǒng)、MATLAB函數(shù)調(diào)用系統(tǒng)等。輔助開發(fā)環(huán)境則提供了更為豐富的系統(tǒng)，其中包括工作空間、路徑以及文件管理系統(tǒng)、數(shù)據(jù)交換系統(tǒng)、M文件編輯調(diào)

90、試系統(tǒng)、M文件優(yōu)化系統(tǒng)、源控制處理系統(tǒng)和記事本系統(tǒng)等。</p><p>　　MATLAB的圖形系統(tǒng)提供了強大的圖形操作功能，可以方便地將分析數(shù)據(jù)結果可視化，繪制滿足要求的各種圖形。尤其是MATLAB提供了對圖形要素的直接操作的句柄圖形功能，更加增強了對圖形控制和處理的能力。GUI的推出也展現(xiàn)了MATLAB在圖形界面處理中的應用。</p><p>　　MATLAB數(shù)學函數(shù)庫涵蓋了幾乎所有的常

91、用數(shù)學函數(shù)。這些數(shù)學函數(shù)以兩種不同方式出現(xiàn)在用戶面前，一種是內(nèi)部函數(shù)，包括部分簡單而又常用的數(shù)學函數(shù)，由于是內(nèi)置函數(shù)，其執(zhí)行效率很高。另一種被稱為M函數(shù)，是以M文件形式提供給用戶使用的。</p><p>　　MATLAB應用程序接口是一個讓MATLAB程序設計語言同其他高級語言進行數(shù)據(jù)信息交換的函數(shù)庫，通過使用該函數(shù)庫的函數(shù)可以動態(tài)地讀寫MATLAB的文件。</p><p>　　3.1.2

92、.2MATLAB的工具箱簡介</p><p>　　MATLAB的強大功能很大程度上來源于它所包含的眾多輔助工具箱，而輔助工具箱實際上就是基于MATLAB內(nèi)核之上的具有專門功能的函數(shù)庫。</p><p>　　MATLAB的輔助工具箱又可分為輔助功能性工具箱和專業(yè)功能性工具箱兩大類。前者是用來擴充MATLAB內(nèi)核的各種功能，如符號計算功能工具箱和圖像處理功能工具箱等；后者則是由不同領域的專家學

93、者編寫的針對性很強的專業(yè)性函數(shù)庫，如控制系統(tǒng)工具箱，小波工具箱等。</p><p>　　經(jīng)過不斷的補充和多年的發(fā)展，目前MATLAB已擁有適用于不同專業(yè)類別的30余種輔助工具箱，通過使用這些輔助工具箱，可以最大程度地減輕科研工作者以及工程技術人員編寫用戶程序時所遇到的困難。由于有了專業(yè)的輔助工具箱，用戶在使用過程中不必深入了解相關的專業(yè)知識，只需了解MATLAB工具箱中相關函數(shù)的使用方法，就能夠處理不熟悉的專業(yè)問

94、題。</p><p>　　3.2MATLAB2012b的運行簡介</p><p>　　3.2.1啟動和退出MATLAB2012b</p><p>　　與常規(guī)的應用軟件相同，MATLAB2012b的啟動也有許多方法，首先常用方法就是雙擊桌面的MATLAB2012b圖標，也可以在開始菜單的程序選項中選擇MATLAB2012b組建中的快捷方式，當然也可以在MATLAB20

95、12b的安裝路徑的bin子目錄中選擇啟動可執(zhí)行文件“MATLAB.exe”。</p><p>　　啟動MATLAB后，將打開一個MATLAB的歡迎界面，隨后打開MATLAB的桌面系統(tǒng)，如圖3.1所示：</p><p>　　圖3.1MATLAB2012b界面</p><p>　　退出MATLAB也有很多的方法，可以選擇MATLAB桌面的【File】菜單的【Exit M

96、ATLAB】選項，也可以在命令窗口中鍵入“quit”或“exit”命令退出。用戶還可以根據(jù)自己退出時的特殊要求，自定義退出的腳本文件。</p><p>　　3.2.2MATLAB2012b桌面系統(tǒng)</p><p>　　MATLAB2012b的桌面系統(tǒng)和原來各版本都差不多一樣，它由桌面平臺以及組件組成，其組件主要包含如下8個部分，命令窗口(Command Window)、歷史命令窗口（Com

97、mand History）、組件平臺（Launch Pad）、路徑瀏覽器（Current Directory Browser）、幫助瀏覽器（Help Browser）、工作空間瀏覽器（Workspace Browser）、數(shù)組編輯器（Array Editor）和M文件編輯調(diào)試器（Editor-Debugger）,MATLAB桌面系統(tǒng)是MATLAB具體操作的基礎。</p><p><b>　　圖3.2命令

98、窗口</b></p><p>　　圖3.3 歷史命令窗口</p><p>　　圖3.4工作空間瀏覽器</p><p><b>　　圖3.5路徑瀏覽器</b></p><p>　　圖3.6 M文件編輯器</p><p>　　3.2.3MATLAB函數(shù)調(diào)用系統(tǒng)</p><

99、;p>　　MATLAB2012b提供了對MATLAB函數(shù)的操作以及命令的調(diào)用，主要的方法是通過在命令窗口中鍵入函數(shù)或命令，或者在歷史命令窗口中選擇函數(shù)或命令執(zhí)行。</p><p><b>　　例如：</b></p><p>　　圖3.7 MATLAB矩陣運算</p><p>　　其中符號“>>”為命令提示符，該提示符表明MAT

100、LAB處于編輯調(diào)試狀態(tài)。一般在命令窗口中MATLAB為單行操作，其中包含兩方面含義：一方面表明每一個命令提示符后在一行內(nèi)為完整的命令或函數(shù)調(diào)用，另一方面也表明MATLAB是給定操作后立即執(zhí)行，然后重新進入編輯調(diào)試狀態(tài)，等待新的操作。</p><p>　　在命令窗口中也可以通過按【Shift+Enter】組合鍵來續(xù)行操作，但只能禁止命令立即執(zhí)行而不能實現(xiàn)多行命令。</p><p><b

101、>　　例如:</b></p><p>　　圖3.8 MATLAB數(shù)組運算</p><p>　　3.2.4MATLAB2012b的幫助系統(tǒng)</p><p>　　完善的幫助系統(tǒng)是任何應用軟件必要的組成部分。MATLAB2012b提供了相當豐富的幫助信息，同時也提供了多種獲得幫助的方法。</p><p>　　MATLAB的幫助信息

102、的種類及簡要說明如表3.1所示</p><p>　　表3. 1 MATLAB 幫助系統(tǒng)</p><p>　　面對豐富的幫助信息，MATLAB提供了相應的獲取幫助的方法。首先，我們可以通過桌面平臺的【Help】菜單來獲得幫助，也可以通過工具欄中的幫助選項獲得幫助[3]。此外，MATLAB也提供了在命令窗口中的獲得幫助的多種方法。主要幫助命令有：</p><p>　　d

103、oc：在幫助瀏覽器中顯示指定函數(shù)的參考信息</p><p>　　help：在命令窗口中顯示M文件幫助</p><p>　　helpbrowser：打開幫助瀏覽器，無參數(shù)</p><p>　　helpwin：打開幫助瀏覽器，并且將初始界面置于MATLAB函數(shù)的M文件幫助信息</p><p>　　lookfor：在命令窗口中顯示具有指定參數(shù)特征函

104、數(shù)的M文件幫助</p><p>　　web：顯示指定的網(wǎng)絡頁面，默認為MATLAB幫助瀏覽器</p><p>　　另外我們還可以通過在組建平臺中調(diào)用演示模型（demo）來獲得特殊幫助。</p><p>　　3.2.5附件管理系統(tǒng)</p><p>　　MATLAB附件管理系統(tǒng)包括工作空間管理系統(tǒng)、路徑管理系統(tǒng)以及文件管理系統(tǒng)。</p>

105、;<p>　　工作空間管理系統(tǒng)是顯示在MATLAB運行期間內(nèi)存中變量的有關信息，使用工作空間管理系統(tǒng)將打開工作空間瀏覽器。</p><p>　　路徑管理系統(tǒng)是在MATLAB環(huán)境中管理M文件及其他相關MATLAB文件的系統(tǒng)。當創(chuàng)建任何新的MATLAB文件時，應將文件所在目錄加入MATLAB搜尋路徑以便于MATLAB的調(diào)用。</p><p>　　一般而言，用戶創(chuàng)建或修改的M文件不

106、應放在MATLAB的默認文件路徑下，否則重裝或升級新的版本時，該文件將被刪除或覆蓋，一般可以放在MATLABroot/work目錄下。</p><p>　　當創(chuàng)建或修改默認文件路徑下的文件時，需要重新啟動MATLAB或使用rehash函數(shù)以加載，因為MATLAB的默認文件均在MATLAB啟動時加載至內(nèi)存。 </p><p>　　用戶也可以根據(jù)自己的需要更改搜索路徑，MATLAB的搜索路

107、徑存于MATLABroot/toolbox/local/pathdef.m文件中，用戶可以對其進行修改。</p><p>　　3.2.6數(shù)據(jù)交換系統(tǒng)</p><p>　　MATLAB提供了多種方法將數(shù)據(jù)從磁盤或剪貼板中讀入MATLAB工作空間，同時也提供了多種將工作空間的數(shù)據(jù)寫入磁盤的方法。</p><p><b>　　文本數(shù)據(jù)的輸入輸出</b>

108、;</p><p>　　對于文本數(shù)據(jù)（ASCII）而言，最簡單的讀入方法就是通過MATLAB的數(shù)據(jù)輸入向導，也可以通過MATLAB函數(shù)實現(xiàn)數(shù)據(jù)讀入。</p><p>　　二進制數(shù)據(jù)的輸入輸出</p><p>　　MATLAB中二進制數(shù)據(jù)的輸入輸出與文本數(shù)據(jù)的輸入輸出方法相似</p><p><b>　　級次數(shù)據(jù)結構的處理</b

109、></p><p>　　級次數(shù)據(jù)結構（Hierarchical Data Format，HDF）是由美國超級計算中心（NCSA）開發(fā)的一種獨立于機器之外的科學數(shù)據(jù)的存儲結構。為了完善與C和Fortran的數(shù)據(jù)交換，MATLAB也提供了對級次數(shù)據(jù)結構的支持。</p><p>　　低級文件輸入輸出函數(shù)</p><p>　　MATLAB也提供了與標準C類型的低級文件

110、輸入輸出函數(shù)，如fopen用于打開指定的文件，fread用于從文件中讀取數(shù)據(jù)，fwrite用于向文件中寫入數(shù)據(jù)等。</p><p>　　3.2.7MATLAB 中的其他系統(tǒng)</p><p>　?。?）M文件編輯調(diào)試系統(tǒng)</p><p>　　M文件編輯調(diào)試系統(tǒng)將為用戶提供創(chuàng)建、編輯和調(diào)試M文件的環(huán)境，主要為M文件的編輯調(diào)試器。</p><p>

111、　?。?）M文件優(yōu)化系統(tǒng)</p><p>　　M文件優(yōu)化系統(tǒng)可以得到被處理的M文件執(zhí)行時每一行語句運算所消耗的時間，通過對事件的分析，用戶可以：</p><p>　　》避免程序中無效的運算</p><p>　　》改變算法以避免使用處理問題效率低的函數(shù)</p><p>　　》避免對以后將會使用的數(shù)據(jù)進行操作</p><p&g

112、t;　?。?）源控制處理系統(tǒng)</p><p>　　MATLAB不能執(zhí)行源控制函數(shù)，但可以提供源控制界面，即可以打開M文件編輯源控制文件，但不改變其只讀特點，即不會覆蓋源文件。</p><p><b>　　記事本系統(tǒng)</b></p><p>　　MATLAB也提供將數(shù)值計算以及可視化結果與文字處理環(huán)境相結合的記事本系統(tǒng)。通過記事本系統(tǒng)可以得到M文

113、件，其中將包括文檔、MATLAB命令以及MATLAB命令執(zhí)行結果等。</p><p>　　3.3最小二乘曲線擬合法的MATLAB實現(xiàn)</p><p>　　采用Basic,Fortran，C等編程語言來實現(xiàn)曲線擬合，需要編寫非常復雜的算法程序，對一般的工程技術人員而言，將是一個非常艱巨的任務。而MATLAB語言是集數(shù)值計算、符號運算和圖形處理等強大功能于一體的科學計算語言，適合于工程應用各領

114、域的分析、設計和復雜計算，而且他易學易用，不要求使用者具有高深的數(shù)學知識和編程技巧，在這方面，MATLAB具有一般高級語言無法比擬的優(yōu)勢[2]。</p><p>　　在MATLAB環(huán)境中，他提供了許多函數(shù)來實現(xiàn)曲線的擬合，這里簡述幾種曲線擬合法的MATLAB實現(xiàn)方法。</p><p>　　使用MATLAB的最優(yōu)化工具箱中的lsqcurvefit（）函數(shù)來實現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格</p&g

115、t;<p>　　式為：[a,J]=lsqcurvefit(原型函數(shù)名，，x，y)</p><p>　　其中：為最優(yōu)的初值；x，y為原始輸入輸出數(shù)據(jù)矢量</p><p>　　采用線性方程組編程來實現(xiàn)：根據(jù)線性方程組的構造原則，針對不同的原型函數(shù)，構造矩陣不同，編寫程序不同。下面我們以指數(shù)函數(shù)擬合為例，MATLAB實現(xiàn)方法的源程序如圖3.9所示：</p><p

116、>　　圖3.9 MATLAB的腳本編輯器</p><p>　　采用MATLAB2012b自帶曲線擬合工具箱進行曲線擬合，MATLAB2012b自帶的曲線擬合工具箱，每一種曲線擬合的方法都是前人優(yōu)秀工作的結晶。其中包括Gaussion（高斯），Interpolant（插值），Ploynomial（多項式），Power（冪函數(shù)），Weibull(韋伯分布)，Smoothing spline（平滑樣條函數(shù)），Su

117、m of sine（正弦函數(shù)）等可以為我們直接提供的樣板模型，為我們的工作帶來了方便。具體窗口我們可以看圖3.10所示：</p><p>　　圖3.10 MATLAB的曲線擬合工具箱</p><p>　　我們可以在窗口中添加需要擬合的離散數(shù)據(jù)，選擇上面介紹的具體擬合函數(shù)，給定參數(shù)進行相關的數(shù)據(jù)擬合，利用這些經(jīng)典的函數(shù)模型可以使我們工作更加方便簡單。</p><p>

118、　　采用ployfit函數(shù)實現(xiàn)多項式擬合</p><p>　　在本文中我們主要利用ployfit函數(shù)進行算例的解答，具體操作在第四章給出完美解答。</p><p><b>　　3.4本章小結</b></p><p>　　本章介紹了MATLAB的發(fā)展和一些基本的運用，在此基礎上又介紹了MATLAB的曲線擬合方法。</p><p

119、>　　第四章 最小二乘法曲線擬合的MATLAB實現(xiàn)</p><p>　　在這一章中我們利用上面所論述的觀點及算法對實際工作進行驗證，利用MATLAB的相關工具通過最小二乘法曲線擬合實現(xiàn)測量中地表移動變形模型的建立與預測，下面是濟寧某礦采空區(qū)A點的變形觀測資料，如表所示</p><p>　　表4.1濟寧某礦采空區(qū)A點的變形觀測資料</p><p>　?。ㄒ脜⒖?/p>