基于matlab的不同曲線擬合方式的比較研究畢業(yè)論文

1、<p>　　本 科 生 畢 業(yè) 論 文</p><p>　　基于MATLAB的不同曲線擬合方式的比較研究</p><p>　　院 系： 電子信息工程學系 </p><p>　　專 業(yè)： 測控技術與儀器 </p><p>　　班 級： </p>&

2、lt;p>　　學 號： </p><p>　　指導教師： </p><p>　　職稱（或學位）： </p><p><b>　　2011年 5 月</b></p><p><b>　　目 錄</b></p>&

3、lt;p><b>　　1 引言2</b></p><p><b>　　2 軟件介紹2</b></p><p>　　2.1 MATLAB簡介2</p><p>　　2.2 MATLAB曲線擬合工具箱簡介2</p><p><b>　　3 曲線擬合4</b>&l

4、t;/p><p>　　3.1 曲線擬合理論4</p><p>　　3.2 最小二乘法擬合4</p><p>　　4 基于MATLAB的曲線擬合5</p><p>　　4.1 曲線擬合數(shù)據(jù)來源5</p><p>　　4.2 指數(shù)函數(shù)曲線擬合6</p><p>　　4.3 最小二乘法

5、多項式曲線擬合7</p><p>　　4.4 內插式曲線擬合8</p><p>　　4.5 平滑樣條曲線擬合9</p><p>　　5 曲線擬合結果的比較11</p><p><b>　　6 結論12</b></p><p><b>　　致謝13</b><

6、;/p><p><b>　　參考文獻13</b></p><p>　　基于MATLAB的不同曲線擬合方式的比較研究</p><p>　　摘要：隨著現(xiàn)代計算機技術的快速發(fā)展，計算機軟件的應用范圍越來越廣泛。基于MATLAB軟件曲線擬合的方法也越來越廣泛地應用到工程分析和科學研究中。采用MATLAB曲線擬合工具箱對數(shù)據(jù)集進行擬合處理，可以快速地在簡單

7、易用的環(huán)境中實現(xiàn)許多基本的曲線擬合。文章對曲線擬合進行理論分析和數(shù)學描述，引入可視化高性能的工具軟件MATLAB對曲線進行最小二乘法擬合、指數(shù)函數(shù)擬合、內插式曲線擬合和平滑樣條式曲線擬合。最后結合具體問題和曲線擬合各個要素從中選擇最優(yōu)擬合方式。</p><p>　　關鍵詞：MATLAB; 曲線擬合; 最小二乘法; 曲線擬合工具箱</p><p>　　Abstract: With the r

8、apid development of modern computer technology, the computer software is widely used. Based on the MATLAB software curve fitting method is also more and more widely applied to engineering analysis and scientific research

9、. Using MATLAB toolbox of curf fitting to deal with data sets can quickly in easy-to-use environment to realize many basic curve fitting. In the paper curve fitting is theoretically analyzed and mathematical described, a

10、nd adopts the MATLAB to the curve for th</p><p>　　Keywords: MATLAB; curve fitting; least square method; curve fitting toolbox</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　在應用領域中，經(jīng)常面對大

11、量的數(shù)據(jù)，我們總希望能找到一個解析函數(shù)用它來描述這些點的變化規(guī)律且可以用來預測，這就要用到曲線擬合[1]。曲線擬合的目的是找到一條光滑的曲線使它能夠最佳的擬合數(shù)據(jù)，但不要求該曲線一定要經(jīng)過每一點。曲線擬合應用非常廣泛，在計算科學領域中占有非常重要地位。人們對某一未知領域的研究，為了探索其內在的規(guī)律，建立了相應的數(shù)學模型，而模型中往往含有某些待定的參數(shù)，要確定這些參數(shù)，就要用到數(shù)據(jù)擬合[2]?？梢娗€擬合方式的全面研究對科學計算具有重大的

12、現(xiàn)實意義。</p><p>　　MATLAB作為一種用于數(shù)值計算和可視化圖形的高級計算軟件。它有著開放式可擴充體系結構，又可以靈活修改、補充和擴展 MATLAB能力[3]。MATLAB提供了兩種曲線擬合方法：一種是采用函數(shù)形式，使用編程對數(shù)據(jù)進行擬合，使用這種方法對擬合函數(shù)要有較好的了解；還有一種是用圖形窗口進行操作，具有簡便、快速，可操作性強的優(yōu)點[4]。</p><p>　　本文研究的

13、內容是利用MATLAB對曲線進行最小二乘法擬合，指數(shù)函數(shù)擬合，內插式曲線擬合和平滑樣條式曲線擬合，相互比較得到最優(yōu)的擬合方式。</p><p><b>　　2 軟件介紹</b></p><p>　　2.1 MATLAB簡介 </p><p>　　MATLAB的名字是由Matrix和Laboratory兩個詞的前三個字母組成的[5]。MATLA

14、B作為一種科學計算軟件，它主要用于矩陣的運算及控制和信息處理領域分析及設計。以模塊化的計算方法、豐富的矩陣運算、可視化與智能化的人機互換功能、圖形繪制和數(shù)據(jù)處理函數(shù)，成為系統(tǒng)設計和仿真領域中最受歡迎的軟件系統(tǒng)。</p><p>　　MATLAB是“矩陣實驗室”（Matrix Laboratoy）的縮寫，它是一種以矩陣運算為基礎的交換式程序語言，專門針對科學、工程計算機繪圖的需求[6]。MATLAB的主要特點是簡潔

15、和智能化，它適應科技人員的思維方式和書寫習慣，使編程和調試效率大大提高。它采用解釋方式工作，輸入程序馬上得出結果，人機交互性能好，因此深得科技人員的喜愛，尤其是它可以適應多種平臺，隨計算機軟硬件的更新及時的升級。MATLAB語言在國外的大學，特別是用數(shù)值計算頻繁的電子信息類學科中，它已成為每個學生的工具了。據(jù)調查在工業(yè)部門和設計研究單位，MATLAB已被認為是高效研究和開發(fā)的首選工具。學習掌握MATLAB軟件，可以說在科學計算軟件工具上

16、與國際相接軌。</p><p>　　2.2 MATLAB曲線擬合工具箱簡介</p><p>　　采用MATLAB做曲線擬合可以內建函數(shù)或曲線擬合工具箱(Curve Fitting Toolbox)。這個工具箱集成了用MATLAB建立的圖形用戶界面GUIS和M文件函數(shù)[7]。GUIS界面是一個可視化的圖形界面，具有較強的圖形擬合功能：①用散點圖來表示數(shù)據(jù)集；②用殘差和置信區(qū)間可視化地估計擬

17、合結果的好壞[8]；③采用多種擬合方式對數(shù)據(jù)擬合。利用GUIS界面，可以快速地實現(xiàn)許多基本的曲線擬合。</p><p>　　訪問曲線擬合工具箱之前，輸入一份供分析的數(shù)據(jù)；打開曲線擬合工具箱，請輸入cftool。該命令可以打開Curve Fitting Tool窗口(見圖1)。然后選擇Data按鈕，打開Data窗口可以訪問工作區(qū)中的數(shù)據(jù)并從下拉表中選擇變量X、Y（見圖2）。在Data set name位置指定一個數(shù)

18、據(jù)集名稱，否則MATLAB將默認一個數(shù)據(jù)集名稱。這時關閉Data窗口?；氐紺urve Fitting Tool窗口，選擇Fitting按鈕，打開的窗口中可以選擇擬合方法。這時單擊New fit按鈕，并從Type of fit的下拉列表中選擇一種擬合方式。</p><p>　　可以試用多種擬合方式，以找出最佳圖形。以直線擬合為例，選擇一種插值方式，使曲線進過所有的數(shù)據(jù)點。曲線擬合結果如圖3所示。</p>

19、<p><b>　　例：x=0:6;</b></p><p>　　y=[0 10 30 55 67 89 120];</p><p><b>　　cftool </b></p><p>　　圖1 Curve Fitting Tool窗口</p><p>　　圖2 Data窗口&l

20、t;/p><p><b>　　圖3 直線擬合</b></p><p><b>　　3 曲線擬合</b></p><p>　　3.1 曲線擬合理論 </p><p>　　曲線擬合就是擬合測量數(shù)據(jù)的曲線。在尋找自變量和因變量關系的過程中，由于觀察數(shù)據(jù)來源于實驗，往往不精確，因此不要求函數(shù)關系經(jīng)過所有的觀

21、測點，而是只要求在觀測點上的誤差按某種給定的標準最小[9]。如果記，研究中就是要尋找使范數(shù)最小的函數(shù)關系式。這就是我們通常說的曲線逼近或曲線擬合。擬合的標準通常隨著范數(shù)的不同而不同，范數(shù)越大計算就越難，所以經(jīng)常使用的擬合方式是最小二乘擬合。</p><p>　　3.2 最小二乘法擬合</p><p>　　在工作中,通常情況是要找出兩個量之間的關系。這時需要對兩個量的多組對應數(shù)據(jù)采用經(jīng)驗公

22、式表示，因為經(jīng)驗公式形式較緊湊，便于從理論知識上進一步分析。</p><p>　　曲線擬合的最小二乘法可以描述為：根據(jù)已知的數(shù)據(jù)組，選一個近似函數(shù)，使得 </p><p>　　最小。這種近似函數(shù)的方法稱為曲線擬合（Curve Fitting）的最小二乘法，函數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘函數(shù)（Method of Least Squares）[10]。</p><p>　

23、　用最小二乘法做曲線擬合首先要確定擬合模型，通常根據(jù)各科的知識來大致確定函數(shù)的所屬類，倘若不具備這些知識，則從問題的運動規(guī)律以及給定數(shù)據(jù)的散點圖來確定擬合方式。 </p><p>　　4 基于MATLAB的曲線擬合</p><p>　　4.1 曲線擬合數(shù)據(jù)來源</p><p>　　霍爾式傳感器是由兩個環(huán)形磁鋼組成梯度磁場和位于梯度磁場中的霍爾元件組成[11]。當通

24、過電流恒定時，霍爾元件則在梯度磁場中上下移動，其輸出的霍爾電勢V值取決于其在磁場中位移量X值。下面就通過霍爾式傳感器的特性試驗所獲取的數(shù)據(jù)集，來看一下曲線擬合工具箱在數(shù)據(jù)處理方面的應用。相關數(shù)據(jù)如表1。</p><p><b>　　表1 采樣點</b></p><p>　　打開MATLAB軟件，在主窗口輸入，如下：</p><p>　　>

25、;>x=7.37:0.5:11.87;</p><p>　　>>v=[0 -0.07 -0.15 -0.22 -0.29 -0.36 -0.40 -0.44 -0.46 -0.48];</p><p><b>　　>> cftool</b></p><p>　　按回車鍵打開曲線擬合工具箱，選取相應的變量可獲得散點圖

26、如圖4。</p><p>　　圖4 變量可獲得散點圖</p><p>　　4.2 指數(shù)函數(shù)曲線擬合</p><p>　　在曲線擬合工具箱界面單機fitting按鈕，在Type of fit選項框中選取擬合方式Exponential(指數(shù))，</p><p>　　指數(shù)擬合有兩種函數(shù)和。擬合效果圖如圖5。</p><p&g

27、t;　　圖5 指數(shù)函數(shù)擬合</p><p>　　曲線fit1的指數(shù)擬合公式，曲線fit2的指數(shù)擬合公式，從圖形上看，曲線fit1指數(shù)擬合曲線不適合本文的數(shù)據(jù)集，所以我們選取曲線fit2的指數(shù)擬合方式。</p><p>　　Fit2指數(shù)曲線擬合并沒有通過每一個數(shù)據(jù)點遺漏的數(shù)據(jù)點較多，只是近似的經(jīng)過數(shù)據(jù)點。</p><p><b>　　擬合參數(shù)結果如下：&l

28、t;/b></p><p>　　General model Exp2:</p><p>　　f(x) = a*exp(b*x) + c*exp(d*x)</p><p>　　Coefficients (with 95% confidence bounds):</p><p>　　a =-11.61 (-4075, 4052)</

29、p><p>　　b =-0.1021 (-5.312, 5.107)</p><p>　　c =15.01 (-4037, 4067)</p><p>　　d =-0.1368 (-5.735, 5.462)</p><p>　　Goodness of fit:</p><p>　　SSE（誤差平方和）: 0.000

30、9876</p><p>　　R-square（相關指數(shù)R）: 0.9962</p><p>　　Adjusted R-square（調整自由度以后的相關指數(shù)R）: 0.9943</p><p>　　RMSE（根的均方誤差）: 0.01283</p><p>　　4.3 最小二乘法多項式曲線擬合 </p><p>　

31、　在曲線擬合工具箱界面單機fitting按鈕，在Type of fit選項框中選取擬合方式為polynomial（多項式）多項式擬合可以從一階到九階，在擬合結果界面中有誤差平方和SSE的值，從SSE值的大小比較中選出最優(yōu)的最小二乘法多項式曲線擬合。本文直接采用MATALB曲線擬合工具想對其進行曲線擬合并截取最小二乘法中二次多項式曲線擬合和四次多項式曲線擬合效果圖，擬合效果如圖6。</p><p>　　圖6 最小

32、二乘法曲線擬合</p><p>　　從圖形上看紅色曲線明顯遺漏多個數(shù)據(jù)點，藍色曲線經(jīng)過每個數(shù)據(jù)點，說明最小二乘法四次多項式比二次多項式擬合效果好。下面從參數(shù)結果圖上對兩種擬合方式進一步比較。</p><p>　　最小二乘法二次多項式曲線擬合結果如下：</p><p>　　Linear model Poly2:</p><p>　　f(x) =

33、 p1*x^2 + p2*x + p3</p><p>　　Coefficients (with 95% confidence bounds):</p><p>　　p1 =0.01682 (0.01306, 0.02058)</p><p>　　p2 =-0.434 (-0.5065, -0.3615)</p><p>　　p3 =2.

34、297 (1.953, 2.641)</p><p>　　Goodness of fit:</p><p>　　SSE: 0.0005847</p><p>　　R-square: 0.9978</p><p>　　Adjusted R-square: 0.9971</p><p>　　RMSE: 0.009139&

35、lt;/p><p>　　最小二乘法四次多項式曲線擬合如下：</p><p>　　Linear model Poly4:</p><p>　　f(x) = p1*x^4 + p2*x^3 + p3*x^2 + p4*x + p5</p><p>　　Coefficients (with 95% confidence bounds):</p&g

36、t;<p>　　p1 =-0.001189 (-0.002519, 0.0001416)</p><p>　　p2 =0.04865 (-0.002567, 0.09987)</p><p>　　p3 =-0.7211 (-1.454, 0.01222)</p><p>　　p4 =4.478 (-0.1476, 9.104)</p>

37、;<p>　　p5 =-9.809 (-20.66, 1.04)</p><p>　　Goodness of fit:</p><p>　　SSE: 8.619e-005</p><p>　　R-square: 0.9997</p><p>　　Adjusted R-square: 0.9994</p><

38、p>　　RMSE: 0.004152</p><p>　　最小二乘法二次多項式曲線擬合的SSE（誤差平方和）為0.0005847，最小二乘法四次多項式曲線擬合的SSE=8.619e-0005，顯然最小二乘法中四次多項式的誤差平方和比二次的更接近于0，誤差平方和SSE越接近于零曲線擬合效果越好。不管從圖形還是參數(shù)的比較都可以得出，最小二乘法中四次多項式曲線擬合的效果比二次多項式擬合好。</p>

39、<p>　　4.4 內插式曲線擬合</p><p>　　如果不考慮曲線擬合參數(shù)只想得到一條光滑且通過各個數(shù)據(jù)點的曲線，可以采用內插式曲線擬合，這種擬合方式也成為非參數(shù)擬合。內插式法有l(wèi)inear(線性內插)、Nearest neighbor（最近鄰內插）、Cubic spline（三次樣條內插）和Shape-preserving（分段三次艾米爾內插）。內插式曲線擬合效果如圖7。</p>

40、<p>　　圖7 內插式曲線擬合</p><p>　　紅色曲線是用最近鄰內插法Nearest neighbor得到的曲線，藍色曲線是用三次樣條內插擬合法得到的擬合曲線。這兩種內插法擬合效果差別較大，具有不同的用途。最鄰近內插法的內插點在最相鄰兩個數(shù)據(jù)點之間，最后得到一個鋸齒的圖形。倘若不考慮曲線的物理意義，則可以考慮三次樣條內插法擬合。</p><p>　　4.5 平滑樣條曲

41、線擬合</p><p>　　本文用默認的平滑參數(shù)、平滑參數(shù)為0.5和平滑參數(shù)為1分別對數(shù)據(jù)集進行平滑內插擬合，圖中fit6為默認平滑參數(shù)的擬合結果，fit7為給定參數(shù)0.5時的擬合曲線，fit8為給定平滑參數(shù)為1的擬合曲線。平滑樣條曲線擬合效果如圖8。</p><p>　　圖8 平滑樣條曲線擬合</p><p>　　平滑參數(shù)為0.5的平滑樣條擬合結果如下：<

42、/p><p>　　Smoothing spline:</p><p>　　f(x) = piecewise polynomial computed from p</p><p>　　Smoothing parameter:</p><p><b>　　p = 0.5</b></p><p>　　Goo

43、dness of fit:</p><p>　　SSE: 0.001125</p><p>　　R-square: 0.9957</p><p>　　Adjusted R-square: 0.9944</p><p>　　RMSE: 0.01274</p><p>　　默認平滑參數(shù)平滑樣條擬合結果如下：</p&g

44、t;<p>　　Smoothing spline:</p><p>　　f(x) = piecewise polynomial computed from p</p><p>　　Smoothing parameter:</p><p>　　p = 0.98630137</p><p>　　Goodness of fit:<

45、;/p><p>　　SSE: 4.186e-005</p><p>　　R-square: 0.9998</p><p>　　Adjusted R-square: 0.9996</p><p>　　RMSE: 0.003551</p><p>　　平滑參數(shù)為1的平滑樣條擬合結果如下：</p><p>

46、;　　Smoothing spline:</p><p>　　f(x) = piecewise polynomial computed from p</p><p>　　Smoothing parameter:</p><p><b>　　p = 1</b></p><p>　　Goodness of fit:</

47、p><p><b>　　SSE: 0</b></p><p>　　R-square: 1</p><p>　　Adjusted R-square: NaN</p><p><b>　　RMSE: NaN</b></p><p>　　從圖中兼數(shù)據(jù)結果可以看出Fit6默認平滑值參數(shù)的

48、曲線擬合效果最好，fit7給定平滑參數(shù)0.5的曲線擬合效果最差，fit8給定平滑參數(shù)為1的擬合結果接近于三次樣條，且經(jīng)過每個參數(shù)點。</p><p>　　5 曲線擬合結果的比較</p><p>　　曲線擬合工具箱的Results羅列了各種擬合參數(shù)，包括置信區(qū)間大于95%的相關系數(shù)和顯示擬合效果好壞的參數(shù)。</p><p>　　測量時用X和V表示實驗中得到的數(shù)據(jù)。根據(jù)

49、測量值得到的曲線擬合函數(shù)表示成。假設存在n組擬合數(shù)據(jù)集，根據(jù)曲線擬合函數(shù)分別代入x值，就可以得到相應的擬合值，從而得到對應的殘余誤差。</p><p>　　(1) 誤差平方和SSE(sum of squares due to error)，SSE值越接近于0曲線擬合效果就越好。SSE的數(shù)學表達式：</p><p>　　(2) 相關指數(shù)R-Square，是SSR與SST的比值，其中SSR和S

50、ST的定義為：</p><p>　　R-Square的取值范圍是[0，1]，R2越接近于“1”，表示所擬合的曲線效果越好[12]。</p><p>　　(3) 調整自由度以后的殘差平方Adjusted R-Square，自由度是響應數(shù)據(jù)個數(shù)n減去被擬合的相關系</p><p>　　數(shù)m。Adjusted R-Square值越接近1，曲線的擬合效果越好[13]。<

51、;/p><p>　　(4) 根的均方誤差RMSE,數(shù)學表達式：</p><p>　　RMSE的值越接近于0，曲線擬合效果就越好。</p><p>　　表2是指數(shù)函數(shù)擬合、最小二乘法四次多項式擬合、三次樣條內插式擬合和默認平滑參數(shù)的平滑樣條擬合的相關誤差參數(shù)的結果。</p><p>　　表2 擬合誤差參數(shù)對照表</p><p&

52、gt;<b>　　6 結論</b></p><p>　　指數(shù)函數(shù)擬合同其它三種曲線擬合方式相比可見：誤差平方和SSE值最大，相關指數(shù)R2 同其它三種擬合方式相比更遠離1，還有Adjusted R-square和RMSE指標也比較差，這個結果與曲線擬合圖形相吻合。這說明本文的數(shù)據(jù)集采用基于MATLAB曲線擬合的四種擬合方式中指數(shù)函數(shù)擬合效果最差。</p><p>　　最

53、小二乘法四次多項式擬合同其它三種曲線擬合方式相比可見：最小二乘法四次多項式擬合的各項指標均比指數(shù)函數(shù)擬合好卻不如三次樣條內插式擬合和平滑樣條擬合，但最小二乘法四次多項式擬合可以寫出相對應的曲線擬合方程式，而三次樣條內插式擬合和平滑樣條擬合兩種擬合方式只能較好的擬合出曲線卻寫不出對應的數(shù)學關系式。</p><p>　　三次樣條內插式曲線擬合和其它三種曲線擬合相比可見：三次樣條內插式曲線擬合的精度最高，因為它不考慮擬

54、合參數(shù)只要曲線經(jīng)過每一個數(shù)據(jù)點，所以內插式曲線擬合能較佳的擬合出曲線。但三次樣條內插式曲線擬合與平滑樣條曲線擬合一樣不能寫出曲線對應的數(shù)學表達式。</p><p>　　平滑曲線擬合同其它三種曲線擬合方式相比可見：平滑樣條曲線擬合的誤差平方和、相關指數(shù)R2 、調整后的殘余平方和Adjusted R-square和根的均方誤差RMSE四項指標雖然比三次樣條內插式曲線擬合略遜一點，但與最小二乘法四次多項式擬合的結果相比

55、好一點，所以精度相對較高，曲線也比較光滑。平滑樣條曲線擬合雖然給出了擬合的平滑程度值，卻也寫不出相應的數(shù)學表達式。</p><p>　　綜合以上各種曲線擬合方式，如果已知數(shù)據(jù)集的數(shù)學方程可以直接選擇相應函數(shù)的擬合方式；如果不懂得曲線擬合函數(shù)模型的可以采用嘗試法，一般最小二乘法的多項式就可以很好的擬合出曲線并給出相應的函數(shù)關系式和誤差參數(shù)；如果不考慮曲線擬合參數(shù)或物理意義，只要曲線經(jīng)過每一個數(shù)據(jù)點可以采用內插式曲線

56、擬合或平滑樣條擬合，平滑樣條擬合可以選擇曲線的平滑參數(shù)。</p><p>　　用MATLAB曲線擬合工具箱對數(shù)據(jù)集進行處理，能夠快捷的得到比較滿意的曲線擬合。MATLAB軟件在許多工程分析和科學研究中也越來越重要，MATLAB的廣泛應用，必將使它成為未來科技人員的必備工具。</p><p><b>　　致謝：</b></p><p>　　文章已

57、基本完成。在此，首先感謝我的指導老師，感謝她在我畢業(yè)設計過程中對我的耐心指導和誠摯的關懷，老師嚴謹?shù)墓ぷ鲬B(tài)度和創(chuàng)新精神深深地感染著我；同時感謝學院電子信息工程學系給我提供了一個良好的學習、生活環(huán)境；還要感謝在學習、生活上給予我?guī)椭耐瑢W們。謝謝你們的參與，是你們讓我的生活更加的精彩。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1] 周國清．

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