信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)論文曲線擬合方法及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　曲線擬合方法及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用 </p><p>　　所在學(xué)院 </p&g

2、t;<p>　　專業(yè)班級 信息與計(jì)算科學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p

3、><b>　　摘要</b></p><p>　　回歸分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要統(tǒng)計(jì)方法之一, 主要用來尋找并推斷具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的數(shù)量關(guān)系式, 有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域和很高的實(shí)用價(jià)值. 本文主要通過一個(gè)實(shí)例詳細(xì)介紹了建立回歸模型步驟, 以及如何利用建立好的模型來進(jìn)行預(yù)測. 通過定性分析選取與財(cái)政收入有較強(qiáng)相關(guān)性的幾個(gè)影響因素, 利用1994~2009年財(cái)政收入和其影響因素的數(shù)據(jù), 建立多元

4、線性回歸模型, 并根據(jù)此模型預(yù)測出2011年得財(cái)政收入, 且結(jié)果與其他文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)相吻合. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 多元線性回歸; 最小二乘; 財(cái)政收入預(yù)測</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Regression analysis is one of the important statistic

5、al methods of statistics, mainly using to find and infer a quantity equation between correlation variables, and it has a wide range of applications and high practical value. This thesis described in detail the steps to e

6、stablish regression models, and it makes use of well-established model to predict by an example, by qualitatively analysing and selecting several factors which have a strong related with revenue, using the data of revenu

7、e and i</p><p>　　Keywords: Multiple linear regression; Least squares; Revenue projections</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　Abstr

8、actII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 多元回歸分析3</p><p>　　2.1 多元線性回歸模型的建立3</p><p>　　2.2 多元線性回歸方程的檢驗(yàn)4</p><p>　　2.3 利用多元線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測5</p>

9、<p>　　2.4 非線性回歸分析6</p><p>　　3 多元線性回歸分析在實(shí)際問題中的應(yīng)用8</p><p><b>　　小結(jié)13</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)14</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p&g

10、t;<b>　　1 前言</b></p><p>　　在實(shí)際的工程應(yīng)用和經(jīng)濟(jì)應(yīng)用領(lǐng)域中, 人們往往只能測得一些分散的數(shù)據(jù), 為了從這些分散的數(shù)據(jù)點(diǎn)中找到規(guī)律, 就需要利用這些分散的數(shù)據(jù)點(diǎn), 運(yùn)用最小二乘法、多項(xiàng)式或其他的已知函數(shù)等方法來生成一個(gè)新的多項(xiàng)式或是新的函數(shù)來逼近這些已知點(diǎn), 回歸分析就是從這些分散點(diǎn)之間的相互關(guān)系出發(fā), 通過對與對象有聯(lián)系的現(xiàn)象變動(dòng)趨勢的分析, 進(jìn)而推算出對象未來狀

11、態(tài)數(shù)量表現(xiàn)的一種方法. 但是, 客觀現(xiàn)象之間的聯(lián)系是復(fù)雜的, 許多現(xiàn)象的變動(dòng)都涉及到多個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系. 這種研究某一因變量與多個(gè)自變量之間的相互關(guān)系的理論和方法就是多元線性回歸法. </p><p>　　回歸分析在現(xiàn)實(shí)社會中應(yīng)用及其廣泛, 農(nóng)業(yè), 工業(yè), 醫(yī)學(xué), 環(huán)境, 特別是經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都得到廣泛的應(yīng)用. 2002年禹學(xué)禮, 陳洪軍, 艾華水等人在文獻(xiàn)[1]中通過四元回歸分析, 改進(jìn)了以往體重與體積的估計(jì)關(guān)

12、系式, 得出黃牛體重與體高、體斜長、胸圍、管圍有著密切的關(guān)系. 2005年徐東雨, 李靜在文獻(xiàn)[2]中通過Excel工具和多元回歸, 分析大量醫(yī)學(xué)實(shí)例數(shù)據(jù), 得到了人體中血糖的含量與胰島素含量和生長素含量的關(guān)系. 2006年王彬, 李川, 李蘭等人在文獻(xiàn)[3]中根據(jù)對上海市1995~2004年度各年生活垃圾產(chǎn)生量及各主要影響因子的大量數(shù)據(jù), 通過回歸分析, 得出利用原始數(shù)據(jù)建立模型對未來城市垃圾產(chǎn)生量進(jìn)行預(yù)測不能只考慮垃圾產(chǎn)生量單方面的

13、因素, 應(yīng)該對各個(gè)相關(guān)因素都考慮在內(nèi)且取相關(guān)性較大的因素建立模型, 進(jìn)而提出了控制和治理城市垃圾的方案從而能夠達(dá)到令人滿意的效果. 2007年翟世杰, 杜啟花在文獻(xiàn)[4]中通過對以往投資與GDP或投資與財(cái)政收入之間的關(guān)系研究文獻(xiàn)的改進(jìn), 對1995~2004年度投資額與GDP和財(cái)政收入進(jìn)行回歸分析, 得出投資與財(cái)政收入GDP之間擬合模型, 并根據(jù)此模型</p><p>　　本文主要介紹了多元線性回歸模型的原理,

14、建立過程, 檢驗(yàn)方法, 以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用, 并利用多元線性回歸方程對我國財(cái)政收入進(jìn)行了分析和預(yù)測, 得出了財(cái)政收入與國民總收入, 總?cè)丝? 固定資產(chǎn)投資, 就業(yè)人口, 第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值, 第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值幾個(gè)因素的線性關(guān)系, 并預(yù)測出了2011年我國的財(cái)政收入. </p><p><b>　　2 多元回歸分析 </b></p><p>　　2.1 多元線性回歸模

15、型的建立</p><p>　　假設(shè)隨機(jī)變量與個(gè)變量有關(guān), 對于自變量的一組確定的值, 有它的分布. 則元線性回歸模型為</p><p><b>　　.(2.1)</b></p><p>　　設(shè)有一組觀測值, 根據(jù)最小二乘原理, 只要求使</p><p><b>　　,</b></p>

16、<p>　　達(dá)到最小的. 由于Q是的一個(gè)非負(fù)二次型, 故其最小值必存在, 根據(jù)微積分的理論知道, 只要求Q對的一階偏導(dǎo)為0, 即</p><p><b>　　,</b></p><p>　　整理后可得關(guān)于的一個(gè)線性方程組</p><p><b>　　,(2.2)</b></p><p>

17、;　　稱上式為正規(guī)方程組, 其解為的最小二乘估計(jì), 為了方便, 可用矩陣形式簡潔地表示出來. 令</p><p><b>　　,</b></p><p>　　因而用矩陣形式表示即為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　在回歸分析中, 通常是非奇異的, 即存在, 這時(shí)最小二乘估

18、計(jì)可以表示為</p><p><b>　　,(2.3)</b></p><p><b>　　即回歸模型為</b></p><p><b>　　.(2.4)</b></p><p>　　當(dāng)求得了的最小二乘估計(jì)后, 就可建立回歸方程(2.1), 從而就可以利用它對指標(biāo)進(jìn)行預(yù)報(bào)和

19、控制.</p><p>　　2.2 多元線性回歸方程的檢驗(yàn)</p><p>　　檢驗(yàn)是從統(tǒng)計(jì)意義上看參數(shù)估計(jì)量是否成立, 而驗(yàn)證是探討所擬定的模型是否與實(shí)際情況相符合.我們對所得出的參數(shù)估計(jì)量和數(shù)學(xué)模型, 要進(jìn)行檢驗(yàn)和驗(yàn)證. 模型的假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)的檢驗(yàn)是十分重要, 只有檢驗(yàn)和驗(yàn)證通過后, 方能進(jìn)行進(jìn)一步探討分析. </p><p>　　1. 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)&l

20、t;/p><p>　　對回歸方程的顯著性檢驗(yàn), 可以通過在多元線性回歸模型基本假定條件下對統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)來完成, 一般用運(yùn)用檢驗(yàn), 即檢驗(yàn)</p><p><b>　　(2.5)</b></p><p><b>　　是否成立.</b></p><p>　　多元線性回歸方程顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量</p&g

21、t;<p><b>　　,</b></p><p>　　其中是回歸平方和(為的平均值), 是殘差平方和, 回歸自由度, 是殘差自由度. 對于給定的顯著性水平, 當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值時(shí), 拒絕原假設(shè), 即認(rèn)為與之間有線性關(guān)系. </p><p>　　2. 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)</p><p>　　當(dāng)與之間有線性關(guān)系, 但是否每個(gè)變量

22、都能起到顯著性作用呢? 如果因子對的影響不顯著, 那么應(yīng)近似有, 因此要檢驗(yàn)因子對是否有顯著性影響, 就相當(dāng)于檢驗(yàn)假設(shè)</p><p><b>　　,(2.6)</b></p><p><b>　　是否成立</b></p><p><b>　　使用統(tǒng)計(jì)量</b></p><p&g

23、t;<b>　　.</b></p><p>　　來檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是否為零, 即對的影響是否顯著. 這里是矩陣主對角線上第個(gè)元素. 對于給定的顯著性水平, 當(dāng)?shù)挠^測值時(shí), 拒絕假設(shè), 認(rèn)為對有顯著影響. </p><p>　　2.3 利用多元線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測</p><p>　　當(dāng)確定了回歸方程后, 就可以用點(diǎn)預(yù)測對于給定的一組自變量來預(yù)測因變量

24、, 但在實(shí)際問題中還需要知道預(yù)測精度, 所以還需要給出預(yù)測區(qū)間, 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量. 則</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　又已知</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　與相互獨(dú)立. 于是, 由分布定義有</

25、p><p><b>　　,</b></p><p>　　從而, 對于給定的顯著性水平, 可以找到使得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　若令</b></p><p><b>　　,</b></p&

26、gt;<p><b>　　則有</b></p><p><b>　　.(2.7)</b></p><p>　　因此, 對于給定的, 以作為的估計(jì)值, 其誤差限為, 可靠性為; 的置信度為的預(yù)測區(qū)間. 這里不難看出用估計(jì)其精度與殘差平方和密切相關(guān), 因此, 是回歸預(yù)測精度的一個(gè)重要指標(biāo). </p><p>　

27、　2.4 非線性回歸分析</p><p>　　前面主要介紹了多元線性回歸, 但在有些實(shí)際問題中, 變量之間關(guān)系是復(fù)雜的, 即(因變量)和(自變量)的關(guān)系并不是線性的, 這就需要運(yùn)用非線性回歸分析. 非線性關(guān)系一般有三種類型, 第一種類型是通過變量替換可換轉(zhuǎn)成線性類型. 第二種是自變量和因變量之間關(guān)系的函數(shù)形式不是很明確, 這種需要運(yùn)用多元逐步回歸來求解. 第三種是非線性問題, 自變量和因變量之間的函數(shù)關(guān)系式是明確

28、的, 但不能轉(zhuǎn)換為線性類型, 這就需要更為復(fù)雜的擬合方法來求解. </p><p>　　一般情況下非線性回歸模型可以表示為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　式中為可觀測的獨(dú)立隨機(jī)變量(自變量), 是待估的參數(shù)向量, 是獨(dú)立觀測變量(因變量), 是隨機(jī)誤差.</p><p>　　非線性回歸模型主

29、要有兩種不同的解法. 其中一個(gè)是最小二乘法, 即求向量與集合的最短距離</p><p><b>　　,</b></p><p>　　假設(shè)函數(shù)對參數(shù)連續(xù)可微, 利用微分法,將對參數(shù)求偏導(dǎo), 且令其為0, 得到個(gè)方程, 建立正規(guī)方程組, 求解使達(dá)到最小的, </p><p><b>　　, </b></p>&l

30、t;p>　　一般用Newton求解該方程組, 得出. </p><p>　　另外一種是極大似然法, 假設(shè)誤差的分布密度函數(shù)是已知的, 然后作似然函數(shù), 再求其最大值, 即</p><p><b>　　,</b></p><p>　　以上兩種非線性回歸模型的解法的使用場合各有不同, 一般情況下, 當(dāng)模型的主體部分占優(yōu)勢時(shí), 有最小二乘法比較

31、合適, 當(dāng)隨機(jī)誤差作用占優(yōu)勢時(shí), 則用極大似然法比較合適. </p><p>　　3 多元線性回歸分析在實(shí)際問題中的應(yīng)用</p><p>　　財(cái)政收入作為一國政府的活動(dòng), 是政府職能的具體體現(xiàn), 主要有資源配置, 收入再分配和宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控三大職能. 財(cái)政收入是政府部門的公共收入, 是國民收入分配中用于保證政府行使其公共職能、實(shí)施公共政策以及提供公共服務(wù)的資金需求. 財(cái)政收入的增長情況關(guān)系這

32、一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會的進(jìn)步. </p><p>　　影響財(cái)政收入的因素很多, 但離不開一些基本的經(jīng)濟(jì)變量. 大多數(shù)相關(guān)的研究文獻(xiàn)中都把國民總收入這個(gè)指標(biāo)作為影響財(cái)政收入的基本因素, 還有一些文獻(xiàn)中也提出了其他一些變量, 比如其總?cè)丝凇⒐潭ㄙY產(chǎn)投資、就業(yè)人口等. 從財(cái)政收入的部門又可以得出我國財(cái)政收入主要來自與工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運(yùn)輸、與服務(wù)業(yè)等部門. 其中工業(yè)和農(nóng)業(yè)對財(cái)政收入的影響最大. 所以通過研究經(jīng)濟(jì)理

33、論對財(cái)政收入的解釋以及實(shí)踐的觀察, 本文認(rèn)為財(cái)政收入主要與國民總收入、總?cè)丝?、固定資產(chǎn)投資、就業(yè)人口、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值、工業(yè)生產(chǎn)總值等有關(guān)系. </p><p>　　本文樣本數(shù)據(jù)的來源為《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》(1994年~2009年)，如表3.1, 其中為財(cái)政收入, 為國民總收入 (億元), 為總?cè)丝?萬人), 為固定資產(chǎn)投資(億元), 為就業(yè)人口(萬人), 為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值(億元), 為工業(yè)生產(chǎn)總值(億元). </p

34、><p>　　將財(cái)政收入與各因素之間的關(guān)系寫成(2.2), 并用EXCEL進(jìn)行多元回歸分析, 數(shù)據(jù)如下</p><p><b>　　表3.2</b></p><p><b>　　表3.3</b></p><p>　　表3.1 財(cái)政收入與各指標(biāo)的數(shù)據(jù)</p><p><b&g

35、t;　　表3.4</b></p><p>　　由表3.4和式(2.3)可看出各參數(shù)系數(shù)為</p><p>　　=0.627321, =-0.96687, =-0.0603, =0.494398, =-0.50519, =-0.65635. </p><p>　　由表3.2得決定系數(shù)為0.999985, 非常接近1, 即財(cái)政收入可寫成國民總收入, 總?cè)丝?

36、 固定資產(chǎn)投資, 就業(yè)人口, 第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值, 第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值的多元線性回歸模型. 所以根據(jù)式(2.4)得到回歸方程為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(1) 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)</p><p>　　對回歸方程的顯著性檢驗(yàn), 就是要看自變量從整體上對因變量是否有明顯的影響. 因此, 可提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)</p&

37、gt;<p><b>　　.</b></p><p>　　如果被接受, 則表明因變量與自變量之間的關(guān)系由線性回歸模型表示不合適, 多元線性回歸方程顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為 </p><p><b>　　, </b></p><p>　　由表3.3得回歸離差平方和, 總的偏差平方和</p><p

38、><b>　　,</b></p><p>　　殘差平方和, 回歸自由度, 殘差自由度 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　取,查分布表得臨界值</p><p><b>　　, </b></p><p>　　拒絕假設(shè), 認(rèn)為

39、在顯著性水平下, 對有顯著的線性關(guān)系, 也即回歸方程是顯著的. </p><p>　　(2) 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)</p><p>　　回歸方程的顯著并不意味著每個(gè)自變量對因變量的影響都顯著, 就應(yīng)從回歸方程中剔除那些次要的、可有可無的變量, 建立更為簡單的回歸方程. </p><p>　　假設(shè), 如果接受假設(shè), 則不顯著; 如果拒絕假設(shè), 則是顯著的.使用量式&l

40、t;/p><p><b>　　. </b></p><p>　　來檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是否為零, 即對的影響是否顯著. 這里是矩陣主對角線上第個(gè)元素. </p><p>　　由上文可知?dú)埐钇椒胶? </p><p>　　令顯著性水平, 根據(jù)matlab可得到</p><p>　　, , ,&l

41、t;/p><p>　　, , ,</p><p><b>　　故由式</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　, ,</b></p&g

42、t;<p><b>　　, ,</b></p><p><b>　　,,</b></p><p>　　查表的. 可看出變量對都有顯著影響, 故財(cái)政收入可寫成國民總收入, 總?cè)丝? 固定資產(chǎn)投資, 就業(yè)人口, 第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值, 第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值的多元線性回歸模型, 即回歸方程為</p><p><b&g

43、t;　　.</b></p><p><b>　　(3) 預(yù)測</b></p><p>　　假設(shè)給定2011年(國民總收入)為 395900.12億元, (總?cè)丝?為134100萬人) , (固定資產(chǎn)投資為)為274632.5億元, (就業(yè)人口)為80012萬人, 為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值為37087億元, 工業(yè)生產(chǎn)總值為163476.87億元. 即為</p&g

44、t;<p><b>　　,</b></p><p>　　假設(shè), 估計(jì)2011年國家的財(cái)政收入, 以及其預(yù)測區(qū)間. 預(yù)測值</p><p><b>　　,</b></p><p>　　根據(jù)式(2.7)得出預(yù)測區(qū)間</p><p><b>　　,</b></p&

45、gt;<p>　　所以的置信度為95%的預(yù)測區(qū)間為. </p><p>　　通過方程各種檢驗(yàn), 得到如下結(jié)論: 回歸方程通過了所有統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn), 故2011年國家的財(cái)政收入為億元, 且在顯著性水平上, 我國財(cái)政收入的預(yù)測區(qū)間為. </p><p>　　根據(jù)文獻(xiàn)[7]中, 崔志坤, 朱秀變通過對國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展變化和財(cái)政收入本身的變動(dòng)趨勢, 對國家財(cái)政收入進(jìn)行的預(yù)測, 預(yù)測2011年國

46、家財(cái)政收入為93855.27億元, 這個(gè)結(jié)論在和本文的結(jié)論基本符合, 在預(yù)測區(qū)間內(nèi). 但他們提出財(cái)政收入預(yù)測屬于宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的預(yù)測, 是根據(jù)國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展變化和財(cái)政收入本身的變動(dòng)趨勢, 且只考慮了這個(gè)因素來對國家財(cái)政收入進(jìn)行的預(yù)測, 但財(cái)政收入受多種因素影響, 而不僅僅是一個(gè)因素, 所以本文在此基礎(chǔ)上, 通過篩選影響財(cái)政收入的因素, 利用多元回歸分析, 擬合出一個(gè)相對比較合理的方程, 并對2011年中國的財(cái)政收入進(jìn)行預(yù)測, 結(jié)果和大部分文

47、獻(xiàn)中的預(yù)測數(shù)據(jù)相符合. 但財(cái)政收入的預(yù)測不是依靠一個(gè)公式、一個(gè)方程就能解決的, 而是一個(gè)不斷完善的過程. </p><p><b>　　小結(jié)</b></p><p>　　回歸分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一種常用方法, 它通過建立統(tǒng)計(jì)模型研究變量間的相關(guān)關(guān)系, 既可以分析變量間關(guān)系的密切程度, 又是進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析、政策評價(jià)、預(yù)測和控制的有效工具. 回歸分析技術(shù)隨著它本身的不斷完善和發(fā)

48、展以及應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大, 必將在統(tǒng)計(jì)學(xué)中占有更重要的位置, 所以研究回歸分析就顯得非常必要. </p><p>　　本文系統(tǒng)介紹了多元線性回歸模型的原理, 建立過程, 檢驗(yàn)方法, 預(yù)測方法. 并將其運(yùn)用在財(cái)政收入的實(shí)際問題中. 通過建立財(cái)政收入與其相關(guān)影響因素的多元回歸方程, 以及進(jìn)行方程和系數(shù)檢驗(yàn), 得到一個(gè)合理的方程, 并根據(jù)這個(gè)方程預(yù)測了2011年的財(cái)政收入以及它的預(yù)測區(qū)間, 可以看出多元線性回歸對實(shí)際生

49、活和生產(chǎn)中的問題可以作出一定的預(yù)測, 并對其有一定的指導(dǎo)作用. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　禹學(xué)禮, 陳洪軍, 艾華水, 栗穎華, 昝林森. 引用四元回歸分析估測黃?；钪豙J]. 西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 30(6): 72~77. </p><p>　　徐東雨, 李靜. 利用Excel進(jìn)行醫(yī)學(xué)

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