對血管切片做三維重建的一種方法

1、<p>　　對血管切片做三維重建的一種方法 </p><p>　　作者：王斯剛　馮有前　趙學軍　王錦江 </p><p>　　【關(guān)鍵詞】 血管切片 </p><p>　　關(guān)鍵詞: 血管切片;中軸線;搜索算法;內(nèi)切圓;擬合 </p><p>　　Abstract:Firstly，taking use of searching a

2、lgorithm to calcu-late coordinate of point of intersection for kinds of blood vessel’s axis demarcation line and radius of incircle.And then，averaging the radius of incircle which was calculated by a piece of dicing.It c

3、aught pipline radius of blood vessel by simulating all points of intersection. </p><p><b>　　0 引言 </b></p><p>　　在醫(yī)學、天文觀測、工業(yè)非破壞性試驗等一些工業(yè)問題中，需要確定某個空間物體的形狀，但由于技術(shù)上的限制，無法將物體分離出來并直觀的顯現(xiàn).解決此

4、類問題的一個可行的方法是用等間隔的平行平面去截取這個物體，得到一組平行截面，通過采樣得到平行截面的數(shù)字圖像，進行數(shù)據(jù)處理后可運用計算機重建物體的三維形態(tài).在2001年全國大學生數(shù)學建模競賽題中，A題給出了某血管管道的相繼N張平行切片圖像，圖像格式、尺寸及坐標均已給定，這些圖片記錄了血管管道與切片的交點，并且假定該血管管道是由一個小球沿某路徑移動而形成的.取z軸垂直于切片，規(guī)定第一張切片平面為z=0，第N張切片平面為z=N-1.要求解決的

5、主要問題是:求解血管管道的中軸線與半徑，同時給出具體算法;以及繪制中軸線在XY，YZ，ZX平面的投影圖.現(xiàn)在我們試圖利用這組平行截面所提供的信息來重建被截血管管道. </p><p><b>　　1 一些假設(shè) </b></p><p>　　題中已給出的假設(shè):（1）管道的中軸線與每張切片有且只有一個交點;（2）形成管道的球半徑固定;（3）切片間距以及圖像像素的尺寸均

6、為1. </p><p>　　求解所需的假設(shè):（1）假設(shè)球是沿光滑曲線運動的;（2）將像素抽象成為一個點，由于像素寬度與切片間距相等，所以由原數(shù)據(jù)得到的是一個均勻的三維點陣.（3）像素點的坐標位置在像素點的中心. </p><p><b>　　2 問題分析 </b></p><p>　　此類問題的關(guān)鍵是:如何利用所已知的一組等間距的平行截面

7、，根據(jù)其平行截面的形狀確定球心軌跡（此軌由于采用本文所用的方法，參與“2001年全國大學生數(shù)學建模競賽”的建模小組獲得了“國家一等獎”. 跡是一個工程上可接受其精度的近似值）.由于問題中假設(shè)管道中軸線與每張切片有且只有一個交點，則切片圖像在XZ，YZ平面的投影是以z為自變量的函數(shù).可以通過求出單個截面與中軸線的交點，再將所有截面與中軸線的交點進行曲線擬合得到所要求的結(jié)果.具體分析思路如下. </p><p>　

8、　2.1 對單個截面的分析 文中所給的單個截面，我們可以認為是形成管道的球體沿某一空間曲線穿過一截平面，球體被截平面連續(xù)截取所得的圓在該截平面上形成的包絡(luò)即為截面.由截面形成過程可知，截平面所截得的包含球心的圓就是截面的最大內(nèi)切圓，其圓心坐標為截面與中軸線的交點坐標.由單個截面所給的信息，我們便可確定每個切片與管道中軸線的交點，并通過求解其最大內(nèi)切圓的平均半徑得出球體半徑.形成管道的平移球體穿過截面時，所形成的相交圖形是一系列半徑可變

9、的圓，可設(shè)其半徑函數(shù)為r=r（t），t1 </p><p>　　2.2 對所有截面的分析 單個截面所提供的是局部坐標所包含的內(nèi)容，按上述同樣思路求得所有切片與中軸線的交點.所有截面的信息則包含了連接各切片的中軸線的內(nèi)容，將所有的交點擬合后便可得到中軸線的近似軌跡. </p><p><b>　　3 問題求解 </b></p><p

10、>　　基于上述分析，對于一個給定的截面形狀，就可以得到這個截面與管道中軸線的唯一交點，若求出每個截面與中軸線的交點，則通過空間曲線的擬合就可以得到原管道的中軸線. </p><p>　　3.1 求解流程 （1）將截面的BMP圖像中的數(shù)據(jù)提取出來并保存在一個二維數(shù)組dot［x］［y］中;（2）對dot［x］［y］進行邊界點識別，除去原點陣dot［x］［y］中的非邊界點，形成一個只包含邊界點的二維數(shù)組Bord

11、er［x］［y］;（3）搜索邊界內(nèi)的點，找出最大內(nèi)切圓圓心，此點即為管道中軸線與截面的交點Ci;（4）對所有截面進行同樣處理，求出所有的Ci （i=0，1，2……N-1）;（5）將這N個空間點分別投影到XZ，YZ，XY平面上并進行擬合;（6）將擬合后的曲線方程兩兩聯(lián)立，即得到三個所求中軸線的空間曲線方程;（7）再將這三個曲線平均，得到最終的計算結(jié)果 三維的中軸線. </p><p>　　3.2 搜索最大內(nèi)切圓圓心

12、Ci 由切片及截面形成的過程可知，在截面上必定存在一個最大內(nèi)切圓，中軸線與截面的交點即為該內(nèi)切圓的圓心. </p><p>　　算法描述:（1）將邊界點的坐標按順時針（逆時針也可）的方向依次寫入一個坐標序列（Xi ，Yi ）（i=0，1，2……N-1，N為邊界點總數(shù)）中;（2）對任意一個截面內(nèi)的點（即黑色的點），記錄其到邊界的最短距離dmin p ;（3）掃描所有截面內(nèi)的點，對于每一個點按上述方法求出到邊界的

13、最短距離，找出這些最短距離中最大的一個所對應(yīng)的點，則此點即為最大的內(nèi)切圓圓心，亦即管道中軸線與此截面的交點Ci . </p><p>　　為了進一步精確求得圓心位置，我們進行了以下修正:將所取的參考點在其周圍的8個方向上都減小1/2步長，再以上述同樣的方法作圓，這樣所得的半徑最大的圓就與最大內(nèi)切圓更加接近，所確定的該參考點即為圓心. </p><p>　　3.3 擬合中軸線 通過MATL

14、AB軟件中相應(yīng)功能，應(yīng)用最小二乘擬合將所有切片與中軸線交點在空間進行擬合.具體擬合方法如下:對于上述方法求出的C（xi ，yi ，zi ），i=0，1，2，…N-1，將其投影到各個坐標平面上，即得到XY平面上的（xi ，yi ），YZ平面上的（yi ，zi ），XZ平面上的（xi ，zi ），應(yīng)用最小二乘法將二維點用一個多項式擬合，應(yīng)用MATLAB的PULYFIT函數(shù)選取適當?shù)臄M合次數(shù)進行求解，得到中軸線在三個坐標面上的投影曲線的方程［

15、2］ . </p><p>　　使用MATLAB軟件畫出兩兩聯(lián)立的空間曲線，選擇最優(yōu)的一條，得到最終的空間曲線為:XZ平面與YZ平面的投影擬合方程聯(lián)立.y=0.4371-0.7134z+0.1308z2 -0.0082z3 +0.0003z4x=-160.4458-2.1263z+0.12019z2 -0.2649z3 +0.0301z4 -0.002z5 +0.0001z6具體圖像見圖1. </p>

16、<p>　　圖1 血管管道中軸線　略 </p><p>　　4 算法改進及推廣 </p><p>　　4.1 算法改進 在上述問題中尋找最大內(nèi)切圓時，程序采用的是對邊界內(nèi)的所有點進行逐個搜索求解，這樣處理程序效率不高，為了減少在尋找最大內(nèi)切圓時所搜索的點數(shù)，設(shè)各個邊界點均有按序的標號，我們將具體的算法改進如下:首先，找出內(nèi)切圓圓心.在所求切片截面中選取一內(nèi)部點作為基準點，由

17、搜索法求得邊界上所有點到此點的最短距離r1 .若有 r2 -r1 &lt;ε成立（r2 為其他邊界點到該基準點的距離，ε為任意小的正數(shù)），再判斷滿足上述條件的點中，是否有標號相差較大（大于5）的兩點.若存在至少兩點滿足上述條件，則可確定該基準點為內(nèi)切圓圓心.其次，選定r1 在大于一個規(guī)定的值a的范圍內(nèi)搜索.由前邊分析可知，內(nèi)切圓半徑隨x，y變化，會在中間某處出現(xiàn)最大值，所以，若r </p><p>　　

18、1 a的方向移動，可確定作為參考的內(nèi)切圓圓心.最后，在此參考圓心的周圍取一矩形區(qū)域，在區(qū)域內(nèi)搜索半徑更大的內(nèi)切圓圓心，并逐步迭代［3］ .這樣就將所需搜索的范圍大大壓縮.經(jīng)改進后的算法在處理更復(fù)雜的數(shù)據(jù)群時，更能體現(xiàn)出優(yōu)越性. </p><p>　　4.2 算法的推廣 考慮到實際中生物組織、器官等的形態(tài)是一類特殊的管道，該管道的表面與我們上述討論有所不同，是由半徑在連續(xù)變化的球體其球心沿著某一曲線滾動包絡(luò)而成.

19、由于管道半徑是連續(xù)變化的，所以在較小的變化范圍內(nèi)，可近似視為其球體半徑是固定的，按問題所提供的算法，再進行相應(yīng)的處理. </p><p><b>　　參考文獻: </b></p><p>　?。?］黃友謙，李岳生.數(shù)值逼近［M］.第2版.北京:高等教育出版社，1999:97-131. </p><p>　　［2］王沫然.MATLAB5.X與科