2006年考研線性代數(shù)考題講評

1、<p>　　2006年考研線性代數(shù)考題講評</p><p>　　—海天學校 何堅勇 教授</p><p>　　作 者 簡 介</p><p>　　何堅勇，清華大學數(shù)學科學系教授。從事線性代數(shù)教學近三十年。長期從事考研閱卷、試題分析研究工作，在各類考研輔導班主講線性代數(shù)的教學過程中，深入淺出、重點突出，且深諳命題的規(guī)律與陷阱，熟悉同學的學習認識規(guī)

2、律，在講題中經常能講出解題的各種“妙招”，使同學深受其益。經其輔導的學生對其輔導效果贊不絕口，每年的考研線性代數(shù)考題，在何老師考前輔導講課中總可找到對應的例題。尤其令人叫絕的是，2004年數(shù)學（三）第（20）大題考題，與何老師考前輔導的例4.2其中的具體數(shù)字、參數(shù)及求解結果完全相同（只是出題方式不同）。現(xiàn)將2006年全部線性代數(shù)考題與何老師考前輔導題對列如下，同時對2006年考題作出講評，以饗讀者。

3、 ——編者</p><p>　?。碱}一）：設、為2維列向量，又</p><p>　　若行列式，則 。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p><b>　　妙招：&

4、lt;/b></p><p><b>　　∴ </b></p><p>　?。碱}二）：設矩陣，矩陣B滿足：BA=B+2E，E為二階單位陣，則B=。</p><p>　　解：BA-B=2E，B（A-E）=2E </p><p>　　∴ 可逆，求（A-E）的逆。</p><p>　　用

5、伴隨矩陣法（或初等行變換法）</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　∴ ∴ </b></p><p>　　何老師所講述的對應題：</p><p>　　1、強化班例1.22：</p><p>　　設、、均為3維列向量，記矩陣 </p>

6、;<p>　　，且，那么 。</p><p>　　2、沖刺班講課：例1-2-1：已知，均為三維列向量，且，若</p><p><b>　　,則 。</b></p><p>　　何老師所講述的對應題：</p><p>　　1、強化班例2.4：A、B均為3階方陣，且AB=2A+B，</p&

7、gt;<p><b>　　求。</b></p><p>　　2、沖刺班講課例2-1-1：A、B均為3階方陣，且AB=4A+2B，</p><p><b>　　求。</b></p><p><b>　　妙招：</b></p><p><b>　　若可逆,則

8、有公式：</b></p><p><b>　　（考題三）：</b></p><p>　　若，…，均為n維列向量，A是m·n矩陣，則</p><p>　?。ˋ）若，…，相關，則必相關。</p><p>　　（B）若，…，相關，則必無關。</p><p>　?。–）若，…，無關，

9、則必相關。</p><p>　?。―）若，…，無關，則必無關。</p><p>　　解：選（A）由題意：</p><p><b>　　記，則有</b></p><p><b>　　，∴ </b></p><p><b>　　若，…，相關</b><

10、/p><p><b>　　∴ </b></p><p><b>　　∴ 線性相關。</b></p><p><b>　　點評：</b></p><p>　　1、利用列向量組（行向量組）的秩=矩陣的秩。再利用矩陣秩的有關公式。</p><p>　　2、向量組線

11、性相關（無關）其秩<個數(shù)（等于向量的個數(shù)）。</p><p><b>　　（考題四）：</b></p><p>　　設A為三階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，將B的第1列的-1倍加到第2列得C。</p><p><b>　　記，則</b></p><p>　?。ˋ）C=P-1 AP （B

12、）C=PA P-1 （C）C=PT AP (D) C=PA PT</p><p>　　解：選（B），由題意PA=B，</p><p><b>　　記，則B·P1=C</b></p><p>　　何老師所講述的對應題</p><p>　　1、沖刺班例3.2.3：設A為m·n矩陣，r(A)=n，又n

13、維向量組，…，線性無關,試證：線性無關。</p><p>　　2、強化班例3.17：已知n維向量，…，線性無關。且向量組可由向量組，…，線性表出：</p><p>　　則也線性無關的充分必要條件是r(C)=S。</p><p>　　何老師所講述的對應題：</p><p><b>　　強化班例2.16：</b></p

14、><p><b>　　已知：</b></p><p>　　A可逆，則B-1等于①A-1P1P2 </p><p>　　②P1A-1P2 ③P1P2A-1 ④P2A-1P1</p><p>　　∴ PAP1=C，又</p><p>　　∴ PAP-1=C。</p><p

15、><b>　　點評：</b></p><p>　　有些同學認為“將B的第1列的-1倍加到第2列所對應的初矩陣寫成是錯誤的。</p><p>　　考題（五）：已知非齊次方程組</p><p>　　有3個線性無關的解。</p><p>　　1、證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2。</p><p&g

16、t;　　2、求a、b的值及方程組的通解。</p><p>　　解：1、設AX=b有三個線性無關的解，，則，必是AX=0的兩個線性無關的解。</p><p><b>　　∴ 。</b></p><p><b>　　又?！??！唷?lt;/b></p><p><b>　　2、增廣矩陣</b&

17、gt;</p><p><b>　　∴ 代入求之。</b></p><p><b>　　求解：得 </b></p><p><b>　　求解： 得</b></p><p>　　通解為：（k1，k2為任意常數(shù)）</p><p><b>　　點

18、評：</b></p><p>　　有不少同學求齊次方程組的基礎解系時用：</p><p><b>　　結果錯了！！</b></p><p>　　2、強化班例2.18：設A為三階矩陣，將A的第1列與第2列交換后得到B，再把B的第2列加到第3列得到C，求滿足AQ=C的可逆矩陣Q。</p><p>　　何老師所講述

19、的對應題：</p><p>　　1、強化班例4.2：試就a、b的各種取值情況討論下述方程組何時有解？何時無解？在有解時，求出組的通解方程：</p><p><b>　　考題（六）：</b></p><p>　　設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量是線性方程組AX=0的兩個解：</p><p>　?。á瘢┣驛的特征

20、值與特征向量</p><p>　　（Ⅱ）求正交矩陣Q和對角矩陣∧，使∧。</p><p><b>　?。á螅┣驛及</b></p><p>　　解：（Ⅰ）由A的各行元素之和均為3，即：</p><p><b>　　∴。</b></p><p><b>　　又∴&

21、lt;/b></p><p>　　是A的屬于0的線性無關特征向量。</p><p>　　∴是屬于3的全部特征向量（）。</p><p>　　（k1k2不全為0）是屬于0的全部特征向量。</p><p>　?。á颍┈F(xiàn)但與不正交，用施密特正交化方法將與正交化：</p><p><b>　　令。</b

22、></p><p><b>　　單位化：</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　令，有：∧</b></p><p>　?。á螅┯桑á颍摹摹?lt;/p><p>　　何老師所講述的對應題：</p>&

23、lt;p>　　1、強化班例5.7：已知n階矩陣A=(aij)的行和都等于t(t≠0)，求A的一個特征值及一個特征向量。</p><p>　　2、沖刺班：例5-4-1：設三階非零矩陣A的行和都等于2，又</p><p><b>　　且AB=0</b></p><p>　　求A的特征值與特征向量。</p><p>　　

24、3、沖刺班例6-4-1：已知二次型中，對應矩陣A的各行元素之和為3，且滿足AB=0，其中求正交交換X=QY，將f化成標準形。</p><p>　　4、強化班例5.11：</p><p>　　設三階實對稱矩陣A的秩為2，是A的二重特征值，若</p><p>　　都是A的屬于特征值6的特征向量。</p><p>　　求A的另一個特征值與特征向量。

25、</p><p><b>　　求矩陣A。</b></p><p><b>　　∴∧</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　點評：</b></p><p>　　1、此題計算工作量相對較大。計算

26、錯誤也非常之多：</p><p>　?、僬换^程計算錯誤較多，如，（與不正交），等。②單位化錯誤也很多，不會計算單位向量。③計算錯誤。④計算錯誤。</p><p>　　2、此題考點頗多。①各行元素之和都相等的特殊矩陣的特征值，特征向量規(guī)律。②AX=0的非零解必也是A的屬于0的特征向量。③實對稱矩陣的性質。④已知正交矩陣Q及對角矩陣∧，反求A。⑤反復運用：。</p><

27、p><b>　　妙招1：</b></p><p>　　行和均相等(=t)的n階矩陣，A必有特征值，特征向量為。</p><p><b>　　妙招2：</b></p><p>　　，故AX=0的非零解必是A的屬于0的特征向量。</p><p><b>　　妙招3：</b>&

28、lt;/p><p>　　正交化過程可省去，由求下列方程組產生：</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　由：：解得</b></p><p><b>　　既省事又不易錯。</b></p><p><b>　　妙招4：<

29、;/b></p><p>　　如求的單位向量，可令，則單位向量，這樣計算又快又不容易錯。</p><p><b>　　妙招5：</b></p><p>　　反求A時，可避免計算錯誤。設</p><p><b>　　∵ 線性無關。</b></p><p>　　∴ ，故A的

30、三行成比例，又三行元素之和相等，故比例系數(shù)必為1，即A的三行必相同。又。故a11=a12=a13=1。</p><p><b>　　∴。</b></p><p><b>　　考題（七）：</b></p><p><b>　　設4維向量組</b></p><p>　　。問a為何值

31、時，相關？當相關時，求其一個極大無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表出。</p><p><b>　　解：記，∵</b></p><p>　　∴當a=0或a=-10時，線性相關。</p><p>　　1、當a=0時，r(A)=1，任一向量都可作極大無關值，如取作極大無關組，則。</p><p>　　2、當a=-

32、10時，對A作一系列初等行變換。</p><p>　　何老師所講述過的對應題：</p><p>　　1、強化班例3.10：求向量組，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　的秩，一個極大無關組，及其余向量用該極大無關組線性表出。</p><p>　　2、強化班例3.4：，&l

33、t;/p><p>　　r(A)=r(B)=3，∴極大無關組中有三個向量，取，求解，則。</p><p><b>　　點評：</b></p><p>　　本題并不難，但得分率不高，原因是計算錯誤太多。</p><p>　　1、行列式計算與矩陣初等變換弄混了，結果錯。</p><p>　　矩陣初等變換中計

34、算錯誤多。</p><p>　　當求解：時計算錯誤多。</p><p><b>　　妙招：</b></p><p>　　當時，只要不進行列變換。則求解與求解的結果是相同的。而求解后后者要比前者方便多了。</p><p>　?。?）a、b取何值時，β不能由線性表出。</p><p>　?。?）a、b