數(shù)學與物理關(guān)系綜述

1、<p><b>　　數(shù)學與物理關(guān)系綜述</b></p><p>　　數(shù)學和物理，一個是形式，一個是內(nèi)容，兩者的結(jié)合正好刻劃了一個完整的世界.數(shù)理的發(fā)展就像兩條腿走路，有時數(shù)學在先，有時物理在先，并遵循各自的發(fā)展規(guī)律.然而任何一方的重大突破都會給另一方以巨大的刺激，進而帶來共同的發(fā)展.同樣數(shù)理學習也有其內(nèi)在的規(guī)律可循，需要我們共同探索.</p><p>　　數(shù)

2、學的基本方向與目的都是和實際相脫離的,有個科學家曾經(jīng)說：“因為上帝是個數(shù)學家.”十九、二十世紀數(shù)學中有許多和實際現(xiàn)象沒有任何關(guān)系的發(fā)現(xiàn)跑到物理中去.雖然美妙的數(shù)學屢屢出現(xiàn)在物理中，但比例也不到百分之十.有人說要想在物理學中取得成果就拿數(shù)學去試，這種想法是不正確的.要用數(shù)學去試，成功的可能性很小.當物理學在擴大的同時，同時數(shù)學也在擴大，所以比例仍在百分之幾.宇宙最神秘的結(jié)構(gòu)為什么是數(shù)學，這是永遠的不解之謎.</p><

3、p>　　諾貝爾物理獎獲得者李政道博士說道：“物理學和數(shù)學猶如一根樹枝上的兩片葉子.” 麥克斯韋通讀法拉第的《電學實驗研究》后，用精確的數(shù)學語言來完美地綜合電磁學的全部成就.稱呼：自然科學的皇后是數(shù)學.楊振寧先生在《美與物理學》的演講中，對于數(shù)學和物理的關(guān)系，說了如下的話：“我曾經(jīng)把二者的關(guān)系表示為兩片在莖處重疊的葉片.重疊的地方同時是二者之根，二者之源.譬如微分方程、偏微分方程、希爾伯特空間、黎曼幾何和纖維叢等，今天都是二者共用的

4、基本觀念.這是驚人的事實，因為首先達到這些觀念的物理學家與數(shù)學家曾遵循完全不同的路徑，完全不同的傳統(tǒng).為甚么會殊途同歸呢？大家今天沒有很好的答案，恐怕永遠不會有，因為答案必須牽扯到宇宙觀、知識論和宗教信仰等難題.”</p><p>　　懷特曾經(jīng)講過：“只有將數(shù)學應(yīng)用于社會科學的研究之后，才能使得文明社會的發(fā)展成為可控制的現(xiàn)實！”.英國的牛頓，他在“總釋”里表明了他的學神思維和神學理論：上帝設(shè)計一切….他把亞里士多

5、德的天體引力論，擴展到萬有引力定律上來，用歐氏幾何方式，全面的開始了計算天體運行.他先從月球開始假設(shè)，然后擴展到宇宙的其它天體.他先算出天體之間的距離，然后根據(jù)擺動數(shù)據(jù)算出質(zhì)量.牛頓把他的著作稱為“自然哲學的數(shù)學原理”，牛頓強調(diào)了“數(shù)學”的作用，事實上，這也就是源于古西臘畢達哥拉斯，流行于現(xiàn)代物理學的數(shù)學本體論的自然觀.畢達哥拉斯認為：“萬物皆數(shù)，數(shù)是萬物的原型，萬物都是摹仿數(shù)的，是數(shù)的摹本，數(shù)的原則統(tǒng)治著宇宙中一切現(xiàn)象.”這就是畢達哥

6、拉斯數(shù)學本體論的自然觀.天文學的具體計算開端，是兩千五百多年以前希臘的一個奴隸主：畢達哥拉斯（紀元前580—500）用他自己發(fā)現(xiàn)的勾股定律進行計算：成功地預示了一次月蝕的來到.他因此而宰牛百頭，宴賓慶賀.從此人類展開了規(guī)模巨大的，用幾何學原理對天體運行進行計算.德國的開普勒，把丹麥的第谷積累到的天文資料，以經(jīng)驗數(shù)據(jù)直接表達的方式，描繪成他的第三定律——天體運行和諧律公式.</p><p>　　對此，亞里士多德、恩

7、格斯都有過評論.亞里士多德說：“這些哲學家顯然把數(shù)目看作本原，把它既看作存在物的質(zhì)料因，又拿來描寫存在物的性質(zhì)和狀態(tài).”恩格斯在《自然辯證法》一書中也寫道：“曾經(jīng)把數(shù)，即量的規(guī)定性，理解為事物的本質(zhì)”. 楊樂院士說：“數(shù)學要研究幾何圖形，直觀和空間想像的能力就得到提高；數(shù)學要嚴格地推導，可以增強嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?；學數(shù)學還可以提高分析和歸納的能力.”</p><p>　　“創(chuàng)造性的原則寓于數(shù)學之中，因此，在一定意

8、義上，我認為正如古人所夢想的那樣，純粹的夢想能夠把握實在.這是真的.”【1】“我堅信，我們能夠用純粹數(shù)學的結(jié)構(gòu)來發(fā)現(xiàn)概念以及把這些概念聯(lián)系起來的定律，這些概念和定律是理解自然現(xiàn)象的鑰匙.”【2】愛因斯坦拋棄了歐氏幾何學的計算方式，而用高斯曲面幾何學計算，他的邏輯起點是：“物質(zhì)在其存在的空間散發(fā)一種廣延性的彎曲引力場”，以此為據(jù)建立了廣義相對論.</p><p>　　伽利略曾經(jīng)講過:考慮到這些，我開始相信：那些拋棄

9、從吃奶時就被灌輸?shù)牟榇蠖鄶?shù)人所信仰的見解，轉(zhuǎn)而接受一種被所有學派排斥的并只有少數(shù)人相信的見解的人，他們即使不是被迫承認，也必然是被有力的論據(jù)所打動.我考慮更重要的是，一門廣博精深的科學已經(jīng)啟蒙，我在這方面的工作只是它的開始，那些比我更敏銳的人所用的方法和手段將會探索到各個遙遠的角落.如果不理解它的語言，沒有人能夠讀懂宇宙這本偉大的書，它的語言就是數(shù)學. 伽利略在他的力學研究中成功地運用了數(shù)學方法，是他第一個用數(shù)學方法來分析時間和空間的

10、定量關(guān)系，用數(shù)學關(guān)系精確地表述和定義了時間、位置、速度、加速度、勻速運動、勻變速運動等概念，并賦予自由落體、擺、斜面和拋體等運動的規(guī)律以簡潔、優(yōu)美的數(shù)學表達式.在這里笛卡兒坐標系為他進行這種描述提供了數(shù)學框架.所以，伽利略是物理學中數(shù)學——實驗方法的奠基者；伽利略的動力學理論是數(shù)學美與實驗美合一的知識體系.牛頓由此而評論說，伽利略是開辟道路的拓荒者.而愛因斯坦則指出：“伽利略的發(fā)現(xiàn)以及他所應(yīng)用的科學的推理方法，是人類思想史上最偉大的成就

11、之一，而且標志著物理學的真正開端.”</p><p>　　李醒民在他所翻譯的《物理學理論的目的和結(jié)構(gòu)》（皮埃爾·迪昂著）一文中講到：“迪昂對物理學理論的目的、定義、價值、本性、功能、結(jié)構(gòu)等作了廣泛而深入的探討.在他看來，物理學理論不是實在說明，而是自然定律的描述和分類”.“按照迪昂的觀點，物理學理論是符號的體系，它是通過以下四個基本操作建構(gòu)的：物理量的定義和測量、假設(shè)的選擇、理論的數(shù)學展開以及理論與實驗

12、的比較”（見《物理學理論的目的和結(jié)構(gòu)》[法]皮埃爾·迪昂著 李醒民 譯華夏出版社1999.1）P5.迪昂則講到：“不管怎樣，有一門科學邏輯在其中達到完美的程度，從而使它容易避免，而且當它犯錯誤時也容易辨認錯誤，這門科學就是數(shù)的科學，即算術(shù)及其在代數(shù)中的擴展.它把這種完美性歸功于極其簡略的符號語言，在這種語言中，每一個觀念都用毫不含糊定義的記號來表示，每一個演繹推理都用與嚴格固定的法則一致的、把記號組合起來的操作，用其正確性總是

13、容易檢驗的運算來代替.這種迅速而精確的代數(shù)符號體系保證了進步，這種進步幾乎完全無視競爭派的對立的學說（見《物理學理論的目的和結(jié)構(gòu)》[法]皮埃爾·迪昂  李醒民 譯華夏出版社（1999.1）P122”.</p><p>　　狄拉克于1937年提出了著名的大數(shù)假說，其內(nèi)容是：“自然界出現(xiàn)的任何兩個很大的無量綱數(shù)是彼此相關(guān)的，他們都由一個簡單的數(shù)學關(guān)系相聯(lián)系”.</p><p&g

14、t;　　理論物理學和現(xiàn)代數(shù)學中的函數(shù)、集、矩陣、線性與非線性方程組、向量、幾何，拓撲、流形、導數(shù)、積分、級數(shù)、極限、實數(shù)、連續(xù)、概率、代數(shù)結(jié)構(gòu)等內(nèi)容，都有很深的聯(lián)系.英國科學家發(fā)表文章《宇宙學的黃金時代》已經(jīng)來臨，指出：“在我們思考宇宙的方式方面最近取得的進展以及能夠追溯時間的工具，正在使科學家們越來越接近科學的圣杯———一項包羅萬象的理論……幾十年來，世界上一些最杰出的物理學家一直努力尋找破解宇宙奧秘的鑰匙，但收效甚微……但是，僅僅是

15、最近幾年，才得以發(fā)現(xiàn)了真正的答案，所有技術(shù)當中最強有力的卻被證明是筆和紙(數(shù)學法)……”著名物理學家、諾貝爾獎獲得者楊振寧所說“物理學的最終目標是建立一種統(tǒng)一的數(shù)學理論構(gòu)架，這種美是最終極的美”， 愛因斯坦沒有獲得成功，卻留下了這樣一段話：“物理學家的最高使命是要獲得普遍的基本定律（宇宙核心定律），由此世界體系就能用單純的演繹方法建立起來.”應(yīng)用數(shù)學大師林家翹認為:自然界的事物基本上都很簡單，所有的基礎(chǔ)原理及主要問題都可以用數(shù)學方式表達

16、，這是應(yīng)用數(shù)學家的一個信仰.</p><p>　　雖然人們已經(jīng)認識到復雜世界的演化并不是數(shù)理方法的簡單化原理所能確定的，然而數(shù)理基礎(chǔ)終究是無法繞開的，經(jīng)濟學家從正反饋悟出了“邊際收益遞增”原理，生物遺傳信息的核心定理出自數(shù)學家之手``````.復雜系統(tǒng)對數(shù)理科學的依賴性正在不斷加大加深.</p><p>　　由物理學理論的基本物理學原理，只有通過數(shù)學推導，才能產(chǎn)生可檢驗的物理學效應(yīng).因此，

17、任何一個物理學理論完整的剛性框架，都是由數(shù)學構(gòu)成的.經(jīng)不起數(shù)學檢驗的理論肯定是錯的（這句話不能推出“經(jīng)得起檢驗就是對的”）.但有些物理學原理，可以在數(shù)學推導過程中產(chǎn)生，尤其是現(xiàn)代物理學理論.物理學理論是由一組物理學原理，鑲嵌在數(shù)學構(gòu)成的框架中，形成的一種剛性理論.只要有足夠的數(shù)學可以建立框架，由一組已知的物理學原理，導出一個物理學理論可能并不難，是一個研究生就可以做的事.但一組新的物理學原理的產(chǎn)生是很難的，沒有人能教您怎樣才能創(chuàng)建一組新

18、的原理.這種物理學的“鑲嵌物”，和數(shù)學的“剛性框架”，有著非常奇妙的關(guān)系.云南大學物理學教授張一方認為:科學的最高準則在于絕對尊重事實，在于必須能與實驗相比較，能說明并預言實驗事實，總之必須符合客觀世界.為此不惜拋棄、修改、發(fā)展現(xiàn)有的任何概念、理論.這也是科學發(fā)展的一貫傳統(tǒng).隨著物理學的發(fā)展，他的復雜性也在不斷地增大.復雜性必然產(chǎn)生模糊性.因此，相應(yīng)地一定存在模糊物理.…… 數(shù)學從精確數(shù)學、統(tǒng)計數(shù)學發(fā)展到模糊數(shù)學，物理學也是從精確物理、

19、統(tǒng)計物理發(fā)展到模糊物理.任何物理理論的</p><p>　　1、建立框架過程中引出的鑲嵌物</p><p>　　物理學家都希望，能發(fā)現(xiàn)一組全新且簡單的物理學原理，進而帶來一個剛性的理論體系.但實際有很多剛性的原理，并不是預先設(shè)定好的，而是在過程中誕生.最恰當?shù)睦泳褪牵旱侠嗽谠噲D通過粒子波，重建薛定諤形式的量子力學，使它能跟狹義相對論一致時，發(fā)現(xiàn)電子必然有一定的自旋，和存在反電子以及負能

20、量電子的物理學原理，并取得了巨大成功.世界著名物理學家費恩曼有如下論述：“我還要說說在數(shù)學同物理學的關(guān)系方面的幾件更普遍一點的事.數(shù)學家們僅僅處理推理的結(jié)構(gòu)，并不真正關(guān)心他們所談?wù)摰氖鞘裁礀|西.他們甚至不需要知道他們所談?wù)摰氖鞘裁礀|西或者，像他們自己常說的那樣，并不關(guān)心他們說的東西是否真正存在”.</p><p>　　2、數(shù)學框架的“便攜性”</p><p>　　數(shù)學框架不但具有可鑲嵌性，

21、而且具有便攜性.即為一組物理學原理，而建立的數(shù)學框架，有時即使是原理錯了，框架仍然可以保留下來.最典型的例子還是迪拉克的電子理論.現(xiàn)在我們已經(jīng)知道：量子力學和狹義相對論的融合，不是迪拉克所尋求的那種薛定諤形式的波動力學，而是海森堡和泡利提出的更為一般的量子場論.只是在只涉及光子、電子、反電子時，迪拉克的電子理論碰巧和量子場論具有相同的結(jié)果.但是，迪拉克為其電子理論所建立的數(shù)學框架，卻作為量子場論的基本形式保留下來.因此，迪拉克的相對論波

22、動力學死了，但理論的結(jié)構(gòu)卻仍然活著.</p><p><b>　　3、框架的完整性</b></p><p>　　有時一個數(shù)學理論，無意中好象是專門為一個物理學理論而創(chuàng)立的，具有非常好的完整性.愛因斯坦在想到用時空彎曲來表述引力時，問他的數(shù)學朋友格羅斯曼，有沒有能表達三維以上空間彎曲的數(shù)學.格羅斯曼告訴并教會他，有黎曼等人在歐幾里得幾何上發(fā)展出來的黎曼幾何.黎曼無論如何

23、也想不到，他為愛因斯坦量身定做了一個物理學框架.愛因斯坦把“等效原理”和“時空彎曲”，原封不動地鑲嵌在黎曼幾何中，“輕而易舉”地創(chuàng)建了無可挑剔的廣義相對論.</p><p><b>　　4、框架的超前性</b></p><p>　　有時物理學家為了創(chuàng)建某種理論而苦苦思索，但忽然他們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學已經(jīng)為他們提供了這樣的理論.典型的例子是：在物理學家尋求粒子大家庭，能生成什么

24、樣的內(nèi)部對稱時，發(fā)現(xiàn)在數(shù)學的“群”和“群論”中，早已把可能的對稱都分類好了，根本無須在研究什么了.難怪物理學家威格納說：數(shù)學（在物理學中）具有一種莫名其妙的作用.</p><p>　　狄拉克非常善于充分發(fā)揮自己的數(shù)學天才，所以他便“無中生有、石破驚天”地寫下了達到物理學最高境界的狄拉克方程（pcα+mc2β）Ψ=EΨ．直截了當?shù)亟沂境龃笞匀坏膬?nèi)在規(guī)律，形成架構(gòu)理論（1928年）．也就是說，狄拉克愛好用數(shù)學靈感描述

25、唯象理論的理論物理學的研究．因此，他的文章具有清新、簡潔、結(jié)構(gòu)美、邏輯美以及“性靈出萬象，風骨超常倫”的特點．給人以“神來之筆”和“秋水文章不染塵”的感受.早在1931年奧地利數(shù)學邏輯學家?guī)鞝柼?哥德爾“通過復雜的邏輯證明，以‘在羅素佯謬系統(tǒng)中不存在命題PK（K）的證明’的結(jié)論，確立了著名的哥德爾定理，摧毀了偉大德國數(shù)學家大衛(wèi)?希爾伯特要把數(shù)學置于無懈可擊牢固基礎(chǔ)上的宏偉計劃，證明了宇宙公理和法則并非數(shù)學邏輯獨家所能描述這一科學結(jié)論”（

26、姜祖桐：《H自組織理論》）.羅素對哥德爾證明的回應(yīng)是：“數(shù)學基本上不是一個了解和操縱感覺世界的工具，而是一個抽象的體系”；“我在數(shù)學里總是希望得到的那種壯麗的確定性消失在不知所措的困惑之中”.數(shù)學家外爾（H.Weyl）說：“我相信整個物理現(xiàn)象可以從一個普遍的具有最大數(shù)學簡單性的自然法則推導出來.” Heisenberg認為：“</p><p>　　麥克斯韋是在前人的基礎(chǔ)上,把由實驗得出的電磁學規(guī)律加以總結(jié)和推廣而

27、得出他的方程組的. 他的推廣有兩個方面:其一是假定變化的電場(位移電流) 產(chǎn)生磁場,從而把安培環(huán)路定理加以推廣,使之包括位移電流;其二是假定變化的磁場產(chǎn)生電場,從而把法拉第電磁感應(yīng)定律由導體回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢推廣到一般情況.</p><p>　　麥克斯韋方程組的來源如下圖所示.</p><p>　　麥克斯韋方程組在歷史上的建立過程非常復雜,但它的邏輯基礎(chǔ)卻很簡單.它是由麥克斯韋在3個基

28、本電磁實驗定律(庫侖定律、畢奧-薩伐爾定律、法拉弟電磁感應(yīng)定律)的基礎(chǔ)上,引出渦旋電場與位移電流的2個假設(shè),并將這些定律與假設(shè)加以整合與推廣而得到.由庫侖定律與畢奧-薩伐爾定律可以導出靜態(tài)場的麥克斯韋方程組.而動態(tài)場的麥克斯韋方程組是在此基礎(chǔ)上作了兩個重大改進.第一個改進是從法拉弟電磁感應(yīng)定律出發(fā),可以得出處于變化磁場中的導體會產(chǎn)生感應(yīng)電場,麥克斯韋進一步將它推廣,認為只要有變化的磁場就會產(chǎn)生感應(yīng)電場,并將它稱為渦旋電場,渦旋電場的產(chǎn)生

29、與是否存在導體無關(guān),只不過有導體存在時,在渦旋電場的作用下會產(chǎn)生渦旋電流.引入渦旋電場的概念后就可以得到動態(tài)場電場的旋度方程.因此,從邏輯上來看,渦旋電場僅是法拉弟電磁感應(yīng)定律的一個引申與推廣,它并不是一個獨立的邏輯基礎(chǔ).第二個改進是由麥克斯韋一個人完成的,他為了協(xié)調(diào)當時的磁場旋度方程與電荷守恒定律間的矛盾,天才地提出了位移電流的假設(shè),認為位移電流也是產(chǎn)生磁場的源,于是就得到了動態(tài)場磁場的旋度方程.因此,位移電流假設(shè)相當于一個定律,是與

30、三大實驗定律并列的一個定律.綜上</p><p>　　李醒民在他說翻譯的《物理學理論的目的和結(jié)構(gòu)》（皮埃爾·迪昂著）一文中講到：“迪昂對物理學理論的目的、定義、價值、本性、功能、結(jié)構(gòu)等作了廣泛而深入的探討.在他看來，物理學理論不是實在說明，而是自然定律的描述和分類.”，“按照迪昂的觀點，物理學理論是符號的體系，它是通過以下四個基本操作建構(gòu)的：物理量的定義和測量、假設(shè)的選擇、理論的數(shù)學展開以及理論與實驗的

31、比較.”這與某些著名物理大師觀點并不相同.著名物理學家費恩曼講到：“我還要說說在數(shù)學同物理學的關(guān)系方面的幾件更普遍一點的事.數(shù)學家們僅僅處理推理的結(jié)構(gòu)，并不真正關(guān)心他們所談?wù)摰氖鞘裁礀|西.他們甚至不需要知道他們所談?wù)摰氖鞘裁礀|西或者，像他們自己常說的那樣，并不關(guān)心他們說的東西是否真正存在.”……“物理不是數(shù)學，數(shù)學也不是物理學.兩者是相輔相成的.但在物理學里你要理解詞語同現(xiàn)實世界的聯(lián)系.你最終必須把腦子里所想的東西轉(zhuǎn)換為語言文字，轉(zhuǎn)換為

32、同現(xiàn)實世界的聯(lián)系，……只有通過這種方式你才能發(fā)現(xiàn)你的結(jié)果是否正確.這是一個單憑數(shù)學完全無能為力去解決的問題.” 北京大學物理系主任趙凱華講到：“理論物理學家不能僅僅埋首于公式的推演，應(yīng)該詢問其物理實質(zhì)，從中構(gòu)</p><p>　　數(shù)學是打開自然秘密的鑰匙，但從物理學理論這種高度抽象中得到的數(shù)學關(guān)系，涉及到一些無法測量的量，只有一小部分可以直接驗證，這就要求從本質(zhì)上與現(xiàn)實世界保持聯(lián)系.日本物理學家湯川秀樹認為，這最

33、容易理解的方法，當然是用模型所進行的類推；他說，類推法是把過去熟知的東西作為圖像，抓住還不十分清楚的物質(zhì)的本質(zhì)，預想兩者之間具有的類似點，以發(fā)現(xiàn)和理解與其性質(zhì)類似而性質(zhì)不同的新事實.我們可以用美國數(shù)學家、數(shù)學史家、數(shù)學教育家克萊因的話結(jié)束這篇文章：</p><p>　　“數(shù)學的另外一個基本作用（的確，這一點在現(xiàn)代特別突出），那就是提供自然現(xiàn)象的合理結(jié)構(gòu).數(shù)學的概念、方法和結(jié)論是物理學的基礎(chǔ).這些學科的成就大小取決