信息與計算科學畢業(yè)論文區(qū)間值max-模糊關系方程的完全解

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　區(qū)間值max-*模糊關系方程的完全解</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計

2、算科學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b><

3、;/p><p>　　區(qū)間值模糊集是經(jīng)典模糊集的一種推廣形式. 在實際應用中, 區(qū)間值模糊集更能反映事物的模糊性和不確定性, 也能更有效的減少模糊信息的丟失. 模糊關系方程在各種模型和模糊控制中有著重要的應用. 區(qū)間值模糊關系方程在更能反映日常的模糊性和不確定性的區(qū)間模糊控制中更有優(yōu)勢. 因此討論區(qū)間值模糊關系方程的完全解意義非凡. 本論文給出了區(qū)間值max-*模糊關系方程最大解的形式; 存在極小解的充要條件, 進一步

4、刻畫了極小解的形式和極小解的個數(shù), 最后刻畫了此類區(qū)間值max-*模糊關系方程的解集.</p><p>　　關鍵詞: 區(qū)間值T-模; 區(qū)間值max-*模糊關系方程; 最大解; 極小解</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Interval-valued fuzzy set is a generalizatio

5、n of classical fuzzy sets. In practice, interval-valued fuzzy sets more effectively reflect vagueness and uncertainty, and reduce the blurring of information. There is an important application of fuzzy relation equation

6、in various models and fuzzy control. Interval-valued fuzzy relation equation is more advantage in reflecting vagueness and uncertainty of interval fuzzy control. Therefore, it is more meaningful to discuss the complete s

7、olution of inter</p><p>　　Keywords: Interval-valued T-norm; Interval-valued max-* fuzzy information equations; Maximum solution; Minimal solutions</p><p><b>　　目錄</b></p><p

8、><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p><b>　　2 預備知識2</b></p><p>　　2.1 偏序集、格的定義2</p><p>　

9、　2.2 區(qū)間值T-模及R-蘊涵的定義3</p><p>　　2.3 區(qū)間模糊關系方程及其分解3</p><p>　　3 區(qū)間值矩陣模糊關系方程的解集5</p><p>　　3.1 區(qū)間模糊關系方程的解5</p><p>　　3.2 向量模糊關系方程的解7</p><p>　　3.3 矩陣模糊關系方程的解.

10、17</p><p><b>　　4 小結24</b></p><p><b>　　參考文獻25</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　隨著數(shù)學在社會實際中的應用越來越

11、廣泛, 需要建立的數(shù)學模型也越來越精確, 在建立復雜問題的數(shù)學模型時, 不可避免的要涉及到事物的隨機性和模糊性. 為了更好的解決事物的模糊性, Zadeh于1965年發(fā)表了論文《模糊集合論》, 提出“隸屬函數(shù)”這個概念來描述現(xiàn)象差異中的中間過渡, 從而突破了古典集合論中屬于或不屬于的絕對關系. 區(qū)間值模糊集是Zadeh模糊集的一種推廣形式. 由于人們對事物的認識具有片面性, 而區(qū)間值模糊集的隸屬度比模糊集的隸屬度更為精確, 所以為了更好

12、的了解事物的全面性, 許多學者引入了區(qū)間值模糊集的概念. 在實際應用中, 如果信息處理的結果用區(qū)間值模糊集來表示則更能反映其模糊性和不確定性, 而且在模糊推理過程中可以有效地減少模糊信息的丟失[1].</p><p>　　模糊關系是模糊數(shù)學中的一個重要部分. 模糊關系和模糊關系方程在模糊數(shù)學理論及其應用中占有相當重要的地位. 在模糊集領域中, 模糊關系方程的研究是1976年由法國學者E . Sanchez [2]

13、從醫(yī)療診斷的問題出發(fā), 作為綜合評判問題的反問題而引入的. 關于模糊關系方程的解法, 從問題提出到上個世紀90年代后期, 一直是許多學者關注的問題. 短短幾十年人們對模糊關系方程的研究卓有成效. Sanchez[2]指出若模糊關系方程的解集不空, 則存在一個最大解. 并給出了解存在的充要條件及最大解的求解方法. 1982年, Czogala[3]對模糊關系方程的解集結構做了進一步的研究, 給出了極小解的概念, 并證明模糊關系方程的解集是

14、由最大解和極小解構成的. 在此基礎上給出了極小解的算法. 為了更好地應用區(qū)間值模糊關系方程去解決實際問題, 正如經(jīng)典模糊關系方程一樣, 需刻畫區(qū)間值max-*模糊關系方程的完全解. Wang在文獻[4]中提出了區(qū)間值max-*模糊關系方程的可行解、一致解和可控制解的概念, 并討論了此類區(qū)間值模糊關系方程的解集問題. 但他們選取了T可表示的的區(qū)間值T-模, 然而</p><p>　　本文內容安排如下: 第二章我

15、們簡單回顧區(qū)間值T-模和求解模糊關系方程時所需的一些概念和性質及區(qū)間值矩陣模糊關系方程的分解. 第三章求解區(qū)間值模糊關系方程、區(qū)間值向量模糊關系方程的完全解. 最后刻畫出區(qū)間值矩陣模糊關系方程的完全解.</p><p><b>　　2 預備知識</b></p><p>　　下面我們回顧在本論文中用到的一些相關的概念與性質.</p><p>　　

16、2.1 偏序集、格的定義</p><p>　　定義2.1[6] 設P是一個非空集合, 是P上的一個二元關系. 若是自反的, 反對稱的, 傳遞的, 則稱是P上的一個偏序, 而是一個偏序集. </p><p>　　定義2.2[6] 設是一個偏序集, 是P的一個非空子集, . , 均有, 則稱是A的一個最大元; 若不存在, 使得, 則稱是的一個極大元. 若,均有, 則稱是A的一個最小元; 若

17、不存在, 使得, 則稱是的一個極小元.</p><p>　　定義2.3[6] 設是偏序集的任意子集, . 若對, 總有, 則稱為在內的一個上界; 反之, 若對, 總有, 則稱為在內的一個下界. </p><p>　　定義2.4[6] 令表示在內所有上界組成的集合. 若存在最小元, 則稱其為在內的上確界, 記為. 對偶地, 令表示在內所有下界組成的集合. 若l(A)</p>

18、<p>　　的存在最大元, 則稱其為在內的下確界, 記為.</p><p>　　定義2.5[6] 在一個偏序集中, 如果任意兩元都有上確界和下確界, 則稱偏序集為一個格.</p><p>　　定義2.6 [6] 如果格的任意非空子集都有上確界和下確界, 則稱為一個完備格.</p><p>　　定義2.7[6] 滿足如下分配律的格稱為一個分配格.

19、</p><p><b>　?。?）;</b></p><p><b>　?。?）.</b></p><p>　　定義2.8 [7] 令, 若或, 則是并既約元.</p><p>　　引理2.1[8] 若且是并既約元, 存在 N, 使得.</p><p>　　定義2.9

20、[9] 設為格, , 如果存在個并既約元, 使得, 則稱有有限并既分解. 進一步, 如果, 則稱該分解是不可約的, 此時稱有不可約有限并既分解.</p><p>　　引理2.2[8] 設p有不可約有限并既分解. 若, 則存在N, 使得.</p><p>　　引理2.3[8] 分配格中任一元素的并不可約有限并分解是唯一的.</p><p>　　2.2 區(qū)間值

21、T-模及R-蘊涵的定義</p><p>　　令表示閉區(qū)間上的區(qū)間集. </p><p>　　定義2.10[10] , 我們定義. 易知如此定義的是上的一個偏序關系. </p><p>　　進一步定義當且僅當. </p><p>　　當且僅當. 易知是一個完備的分配格.</p><p>　　定義2.11[10]

22、稱為區(qū)間值T-模, 若 滿足以下條件:</p><p>　　定義2.12[10] , 若存在</p><p>　　, 是上的區(qū)間值T-模, 則定義</p><p><b>　　為區(qū)間值R-蘊涵.</b></p><p>　　2.3 區(qū)間模糊關系方程及其分解</p><p>　　定義2.13[1

23、1] 設, , . 稱</p><p>　　為區(qū)間值max-*模糊關系方程, 其中“”表示max-*合成.</p><p>　　2001年, Stamou給出了sup-t合成模糊關系方程的分解[12]. 區(qū)間值模糊關系方程</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p><b>　　可以分解為

24、</b></p><p><b>　　(2-2)</b></p><p>　　方程可以進一步分解為</p><p>　　(2-3)方程可進一步分解成</p><p><b>　　(2-4)</b></p><p>　　易知方程是方程(2-3)在的特殊情況.<

25、/p><p>　　3 區(qū)間值矩陣模糊關系方程的解集</p><p>　　3.1 區(qū)間模糊關系方程的解</p><p><b>　　令表示方程的解集.</b></p><p><b>　　定理3.1 .</b></p><p>　　證明 “” 因為, 存在. 由T-模單調性得&

26、lt;/p><p><b>　　, , 所以.</b></p><p>　　“” 因為, 令. 又因為,</p><p>　　, 由T-模的單調性得: , 由介值定理得, 存在,</p><p>　　, 使得. 即方程有解. </p><p>　　定理3.2 是方程的最大解.</p>

27、<p>　　證明 由, 知成立. 構造</p><p><b>　　. 則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　設是方程的解. 因為是方程的解集. ,則成立. 所以</p><p><b>　　. 又因為. </b></p>

28、;<p>　　. 由T-模單調性得.</p><p>　　, . 即是方程的解且是最大解.</p><p>　　定理3.3 為方程的最小解.</p><p>　　證明 . 則成立. 構造. </p><p><b>　　.</b></p><p>　　設為方程的解. 因為是方程的解

29、集. 所以</p><p>　　. 故. 則成立. 因為</p><p><b>　　. , </b></p><p>　　. 由T-模的單調性得. </p><p><b>　　. 所以</b></p><p>　　. 即是方程的解且是最小解.</p><

30、;p>　　定理3.4 若, , , 則.</p><p>　　證明 根據(jù)定理3.3, 因為, , . 由T-模單調性得, </p><p>　　由介值定理得. 故.</p><p>　　定理3.5 是模糊關系方程的解集.</p><p>　　證明 由上述證明可知, , </p><p><b>　　

31、. . 即</b></p><p>　　. 由, 得是方程的解集.</p><p>　　3.2 向量模糊關系方程的解</p><p>　　我們設, 表示方程的解集, 則下面的定理成立:</p><p>　　定理3.6 若且為最大解.</p><p>　　證明 “” 顯然.</p><

32、p><b>　　“” ,. 則</b></p><p><b>　　成立. 構造. </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　設是方程的解. . </p><p><b>　　則, 成立. 因為</b></p>

33、<p><b>　　. 又因為.</b></p><p>　　對, 存在. 由T-模單調性得, 有</p><p><b>　　. 進而</b></p><p><b>　　. 因為</b></p><p>　　為方程的解. 又因為, 所以</p>

34、<p><b>　　為方程的最大解.</b></p><p>　　為并既約元時, 我們可以得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理3.7[11] 令, , 則不是并既約元.</p><p>　　證明 , 故存在, 使得存在, 且</p><

35、;p>　　., 是并既約元. 根據(jù)定義 2.6 和引理2.1得若, 是并既約元那么存在, 使得.</p><p>　　. 因為. 故. 即.</p><p>　　由上述證明可知, 當 時, 有</p><p><b>　　. 故</b></p><p>　　. 即. 這與矛盾. 故, , 則不是并既約元.<

36、/p><p>　　定理3.8[8] 若是并既約元, 則.</p><p>　　證明 “” 由上述證明可得.</p><p>　　“” 因為. 令, 定義.</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　因為是并既約元, 所以</p><p><

37、b>　　. . 即. 故</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理3.9[8] 若, 則(1)有極小解. (2)所有極小解的形式都為式(3-1). (3).</p><p>　　證明 (1) 因為, 令, 定義. 得</p><p>　　, 由定理3.7的證明可得<

38、;/p><p>　　. 下證是的極小元. 其中, 只需證. 當時, , 則. 當時</p><p><b>　　, 則</b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　. 則</b></p><p><b>　　. &

39、lt;/b></p><p><b>　　. 因為</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　. 因為, 故,</b></p><p><b>　　. 又因為, 所以</b></p><p>

40、;　　. 由上述證明可得. 故是的極小元.</p><p>　　⑵ 若, , 則不是極小元.</p><p>　　若, 由上述證明得是的極小元. . 故的所有極小元的形式為（3-1）.</p><p>　?、?因為是并既約元, 存在</p><p>　　. 由⑴的證明可知一個構造一個極小解, 故極小解的個數(shù)等于的個數(shù).即.</p>

41、<p>　　定理3.10 若, 是并既約元, , 則有一個極小元, 使得.</p><p>　　證明 令, 由定理3.8得, 存在</p><p>　　, 使得 . 由上述證明得, </p><p><b>　　. 令 得, </b></p><p><b>　　, 當時, , </

42、b></p><p>　　. 故 . 當時, </p><p><b>　　, 故. , </b></p><p>　　. 由定理3.8得是解集中的極小元.</p><p><b>　　由上述證明得.</b></p><p>　　備注3.1 若, 是并既約元, 則

43、是由最大解和極小解構成的.</p><p>　　當有不可約有限并分解, . 令</p><p>　　和, 是自然數(shù). 可得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　引理3.1[8] .</p><p>　　定理3.11 若有不可約有限并分解, , , 此時有極小元.<

44、;/p><p>　　證明 “” 因為. 令. 則</p><p><b>　　, </b></p><p>　　. , 因此. 得, 存在, .</p><p><b>　　令,</b></p><p><b>　　且,</b></p><

45、;p><b>　　且,</b></p><p><b>　　且.</b></p><p><b>　　由上述得 </b></p><p>　　.是的劃分. 我們可以定義 . </p><p><b>　　其中, </b></p>&l

46、t;p><b>　　（3-2）</b></p><p>　　根據(jù)的定義, 若, 則.</p><p><b>　　, 因此,</b></p><p><b>　　, 則</b></p><p>　　. 若, 則. 因此, </p><p><

47、b>　　. 則</b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　. </b></p><p><

48、b>　　, 故.</b></p><p>　　“” 若, , 則我們令</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　且&l

49、t;/b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　.<

50、;/b></p><p><b>　　由上述得且</b></p><p>　　. 是的劃分. 定義</p><p><b>　　, 其中.</b></p><p><b>　　因為,, 則</b></p><p><b>　　, 因此&l

51、t;/b></p><p>　　. 接下來我們將要證明是的極小元.</p><p>　　令, 且. 根據(jù)備注3.1得. 根據(jù)的形式, 我們需要證明當 </p><p><b>　　, . , </b></p><p>　　, 由引理2.1得存在, 使得 . 可以提出 . 否則, 若, 根據(jù)</p>&

52、lt;p><b>　　得</b></p><p><b>　?。?-3）</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　（第一變元是遞減的, , 故所建立的方程</p><p>　?。? 因此, . 即</p><p>&l

53、t;b>　　. 我們得到</b></p><p>　　. 因此, 根據(jù)（3-3）得</p><p>　　. 是并既約元, 因此, 然而, 根據(jù)的形式, , 則</p><p><b>　　. 因此, </b></p><p><b>　　. 即</b></p><

54、;p>　　. 得存在, 使得 .</p><p>　　若, 則. 有不可約有限并分解</p><p>　　, 因此, . 當, 是的劃分. 當時, 根據(jù)解的形式得. 得 </p><p><b>　　, </b></p><p>　　. 綜上得. 因此. 即是解集的極小元.</p><p&g

55、t;　　備注3.2 由定理3.10的證明得的劃分是不唯一的.</p><p>　　定理3.12 若, 有不可約有限并分解, 則, 存在一個極小元, 使得 .</p><p><b>　　證明 令, ,</b></p><p>　　因此,. 是并既約元,得存在, 使得. 我們令</p><p><b>　　且

56、,</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　由上題證明

57、可得且</b></p><p>　　. 是的劃分. 定義, 得</p><p>　　是的極小元, 故. </p><p>　　且是無限分配的，我們可以得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理3.13 若, 有不可約有限并分解, 則.</p>

58、<p>　　證明 根據(jù)定理3.11 得 ,.令</p><p><b>　　, 則存在, </b></p><p>　　.一個定義一個解, 函數(shù)確定方程的一個解[13], 故.</p><p>　　由定理3.6, 3.11, 3.12和3.13, 若有不可約有限并既分解且, 則可由最大解和極小解刻畫. </p><

59、;p>　　定理3.14 若, 則. </p><p><b>　　證明 </b></p><p><b>　　因為, , 所以</b></p><p><b>　　, 即. </b></p><p>　　定理3.15 若, 則. </p><p&

60、gt;<b>　　證明 </b></p><p>　　因為, , , 所以</p><p><b>　　, 即. </b></p><p>　　3.3 矩陣模糊關系方程的解. </p><p>　　令是方程的解集, 是方程的解集, 則下面這些證明成立.</p><p>　　根

61、據(jù)矩陣的運算將方程分解, 得（其中和均為向量）. 以為例還可以繼續(xù)分解成, 其中.</p><p>　　由方程(2-3)的求解證明可得當時, 方程式(1)的最大解為</p><p>　　. 同理可得方程式(2)的最大解為</p><p>　　方程式(n)的最大解為.</p><p><b>　　取方程組</b></

62、p><p>　　任取, 使得, 且, </p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　. 又因為</b></p><p><b>　　. 同理得</b></p><p><b>　　.</b></p>

63、<p>　　根據(jù)是方程的最大解的證明得是方程組的最大解.</p><p>　　方程式的每個解都必須是方程組的解, 且每個方程式的最大解組成了方程組的最大解. 根據(jù)R-蘊涵: 方程組 的最大解為</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　方程組的最大解為</b></p>

64、<p><b>　　方程組的最大解為</b></p><p>　　. 綜上得區(qū)間矩陣模糊關系方程的最大解的形式為.</p><p>　　是并既約元時, 類似上題的分解, 同樣以為例, 求方程組中方程式(1)的極小解. 可以構造.</p><p>　　定理3.16 令, , 則不是并既約元.</p><p>

65、　　證明 如定理3.5的證明.</p><p>　　定理3.17 若是并既約元, 則.</p><p>　　證明 如定理3.6的證明可得方程式(1)的極小解形式為</p><p><b>　　(3-4)</b></p><p>　　定理3.18 若, 則(1)有極小解. (2)所有極小解的形式都為式(3-4). (

66、3).</p><p>　　證明 如定理3.7的證明, 故方程式(1)的極小解為(3-4). 同理可得方程式(2)的極小解為</p><p>　　, , 方程式(n)的極小解為</p><p>　　. 根據(jù)最大解的證明可得</p><p>　　任取, 使得, 則根據(jù)定理3.14得</p><p><b>　　

67、, . </b></p><p><b>　　. 當時, 又因為</b></p><p>　　是方程式(1)的極小解, </p><p>　　是方程式(2)的極小解, 根據(jù)區(qū)間值T-模的單調性</p><p><b>　　. </b></p><p><b&

68、gt;　　. 故</b></p><p>　　是方程式組的解. 綜上所述得, 當時, 的極小解為</p><p><b>　　. 同理的極小解為</b></p><p><b>　　的極小解為</b></p><p><b>　　. 當時, , </b></

69、p><p>　　, , 的極小解均為向量.</p><p>　　綜上所得方程中是矩陣, 故極小解表達形式如下:</p><p>　　其中表示第一列中的某一行, 表示第二列中的某一行則</p><p>　　引理3.2[13] 有極小解, 那么有極小解, 形如且個數(shù)為.</p><p>　　有不可約有限并既分解時, 解方程組

70、中方程式(1)的解. 可寫成</p><p><b>　　, 構造</b></p><p>　　, 由引理3.1可得</p><p>　　. 由定理3.15的證明可得, 若有不可約有限并分解, , 此時有極小元. 定義, . 可得極小解為</p><p>　　. 則為極小解. 由定理3.10的證明得, 若, 有不可約有限

71、并分解, 則, 存在一個極小元, 使得. 由定理3.11的證明可得, 若, ,有不可約有限并分解, 則. 有不可約有限并分解, 則. 可得方程式(1)的極小解為</p><p><b>　　(3-5)</b></p><p>　　同理可得方程式(2)的極小解為</p><p><b>　　(3-6)</b></p&g

72、t;<p>　　方程式(n)的極小解為</p><p><b>　　(3-7)</b></p><p>　　任取, 使得, 根據(jù)定理3.14得</p><p><b>　　, , </b></p><p>　　, 又因為是方程式(1)的極小解, </p><p>

73、;　　是方程式(2)的極小解, 根據(jù)T-模的單調性, 則</p><p><b>　　. 故</b></p><p>　　是方程式組的極小解. </p><p>　　綜上所得, 方程的極小解為</p><p>　　同理可得, 方程的極小解為</p><p><b>　　. </b&

74、gt;</p><p><b>　　方程的極小解為</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　當時, , , , 的極小解均為向量</p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜上得方程中是矩陣, 故極小解表達

75、形式如下:</p><p>　　其中表示第一列中的某一行, 表示第二列中的某一行, 且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理3.19 有極小解, 那么有極小解, 形如</p><p><b>　　且個數(shù)為.</b></p><p><b&g

76、t;　　4 小結</b></p><p>　　本論文首先根據(jù)區(qū)間值模糊關系方程的分解, 得到了區(qū)間值模糊關系方程和區(qū)間值向量模糊關系方程的解集, 進一步討論了區(qū)間值max-*模糊關系方程最大解的形式. 以及此類模糊關系方程存在極小解的必要條件, 同事刻畫出了極小解的形式和極小解的個數(shù), 最后給出了此類區(qū)間值max-*模糊關系方程的完全解.</p><p><b>　　

77、參考文獻</b></p><p>　　[1] C.B. Bedregal1. XOR-implications and E-implications: classes of fuzzy implications based on fuzzy XOR [J]. Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 2009, 247:5~18.</p

78、><p>　　[2] E. Sanchez. Resolution of composite fuzzy relation equations [J]. Information and Control, 1976, 30: 38~48.</p><p>　　[3] M. Higashi, G.J. Klir. Resolution of finite fuzzy relation equa

79、tions [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1984, 13: 65~82.</p><p>　　[4] S. Wang, S.C. Fang, L.W. Henry. Solution sets of interval-valued fuzzy relational equations [J]. Fuzzy Optimization and Decision Making, 2003

80、, 241: 60. </p><p>　　[5] G. Deschrijver. A representation of t-norms in interval-valued L-fuzzy set theory [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2008, 159 (1): 1597~1618.</p><p>　　[6] 胡長流, 宋振明. 格論基礎 [

81、M]. 開封: 河南大學出版社, 1990.</p><p>　　[7] 屈小兵, 王學平. 完備格上并既約元的性質 [J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學, 2004, 9(18): 176</p><p><b>　　~179.</b></p><p>　　[8] Q.Q. Xiong, X.P. Wang. Solution sets of inf

82、-fuzzy relation equations on complete Brouwerian lattices [J]. Information Sciences, 2007, 177: 4757~4767.</p><p>　　[9] 王學平. 完備格上模糊關系方程的研究進展 [J]. 四川師范大學學報（自然科學報）, 2009, 32(3) : 365~372 .</p><p>

83、;　　[10] C. Alcade, A. Burusco, R.F. Gonzalez. A constructive method for the dentition of interval-valued fuzzy implication operators [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2005, 1539: 211~227.</p><p>　　[11] 張伯生. 定義在區(qū)間

84、值上的Fuzzy 關系方程 [J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學, 1995, 9(4) :48~53.</p><p>　　[12] G.B. Stamou, G. Tzafestas. Resolution of composite fuzzy relation equation based on Archimedean triangular norms [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2001