信息與計算科學畢業(yè)論文常微分方程在數學建模中的應用

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　常微分方程在數學建模中的應用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p&

3、gt;<p>　　常微分方程屬于數學分析的一支, 是數學中與實際應用密切相關的基礎學科, 也是解決問題的重要工具. 在反映客觀世界運動過程的量與量之間的關系中, 大量存在滿足常微分方程關系式的數學模型. 由于當今社會人們的生活節(jié)奏變快, 以致于越來越多的人處于亞健康狀態(tài), 本文結合這個實際背景和在當今社會常發(fā)的流行性感冒分別作為兩個實踐背景, 通過建立的常微分方程模型并利用常微分方程知識對它們分別進行定量和定性的分析, 探

4、討它們的傳播規(guī)律以及影響它們流行的因素、預測可能發(fā)生的后果及如何抑制其流行或惡化. 本文的模型, 在常微分方程的觀點剖析下, 充分展現現代社會生活中常微分方程應用. </p><p>　　關鍵詞: 常微分方程; 數學模型; 流行強度; 亞健康</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Ordinary diffe

5、rential equation, a mathematical analysis belongs to mathematics and practical application, is closely related to the basic disciplines and an important tool to solve practical problem. It reflects the movement process i

6、n the amount and quantity of the relationship between existence and satisfies ordinary differential equations of the relation mathematical model. Because the pace of life in today's society becomes faster, so that mo

7、re and more people in sub-health, combining the ac</p><p>　　Keywords: Ordinary differential equation; Mathematical model; Influenza popular strength; Sub-health</p><p><b>　　目錄</b><

8、;/p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 常微分方程的簡介3</p><p>　　3 數學建模的簡介5</p><p>　　4 常

9、微分方程在數學建模中的應用6</p><p>　　4.1 對流行性感冒的數學建模及分析6</p><p>　　4.2 對亞健康問題的數學建模及分析9</p><p><b>　　5 小結14</b></p><p><b>　　參考文獻15</b></p><p>

10、　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　在生活中, 有很多的事物可以應用數學的方法來解決, 這就需要我們將常微分方程的知識與數學建模很好的結合起來. 事物總是發(fā)展變化的, 因而研究對象的某些特性會隨時間而演變, 而這一演變過程具有某些規(guī)律性, 因此我們可以預測事物未來的狀態(tài), 進而找到控制它的手段, 通常需要我們

11、要建立對象的動態(tài)模型. 針對不同的實際對象進行數學建模時, 首先要根據建模目的對具體的問題分析做出簡化假設, 然后按照對象內在的或可以類比的其他對象的規(guī)律列出微分方程, 利用常微分方程的相關知識求出方程的解并將結果翻譯回實際對象, 就可以進行描述、分析、預測或控制. </p><p>　　將常微分方程和數學建模有機的結合起來, 利用常微分方程理論知識, 針對各種實際問題建立的數學模型, 一般而言都是動態(tài)模型. 雖

12、然它的推導過程稍顯繁瑣, 但是其結果卻相當簡明, 并且可以給出合理的解釋. 因此, 把兩者有機的結合起來不僅讓常微分方程更好的發(fā)揮其作用, 解決更多的實際問題, 還可以提高人們將常微分方程、計算機等方面的知識應用于實踐的能力. </p><p>　　在人類文明的發(fā)展史上, 人們將數學方法應用到有關傳染病方面的研究可追溯到1760年, Bernoulli在其論文中用數學模型評價天花對期望壽命的影響. 上世紀初, K

13、ermark和Mckendrick首先利用動力學方法建立了傳染病的數學模型. 而傳染病動力學的常微分方程SIR模型是由May等在1979年提出的[1], 此模型考慮了3類個體: 正?？梢员桓腥菊? 患病者; 已經恢復并有免疫力者. 此模型分別有以下假設: 條件一: 人群分為易感者、患者和痊愈免疫移出者. 條件二: 個體獲得免疫是永久的, 這意味著假如某個個體獲得免疫, 他們將永遠不會再感染. 這種模型適合于濾過性霉菌引起的流行病, 如麻

14、疹、天花、腮腺炎等. 條件三: 易感人群的減少速度與易感人群和被感染者數量的乘積呈正比. 條件四: 恢復者的增長速度與被感染者的數量成正比. 該模型對乙型肝炎病毒在人群中的感染和傳播有較好的應用. 后來在SIR模型考慮3類個體的基礎上, 增加了1類個體: 已感染但處于潛伏期未發(fā)病者. 上述4類個體及其描述相互關系的常微分方程組構成新的傳染病動力學模型: SEIR模型. 很多學者對這類模型進行</p><p>　　

15、近幾年, 人們用數學的方法來研究傳染病的傳播過程和發(fā)展, 已逐步成為一個活躍的研究領域. 在國外, 數學預測模型已經能夠成功地應用于生物分子水平, 模擬體內病毒的復制及半衰期, 讓我們更加全面地認識并了解了傳染病的感染機制. 而我們的國內學者吳開琛等也成功的把該模型應用于非典型肺炎(SARS)的研究,并在此基礎上提出5分室模型[3], 即SEIDR, 其中的D(death)為人群中感染發(fā)病者不治死亡的. </p><

16、p>　　常微分方程是數學理論聯系實際的重要工具, 它不僅與幾何學、力學、電子技術、自動控制、星際航行, 甚至和化學、生物學、農業(yè), 以及經濟學都有著密切的聯系. 因此, 本文首先介紹了常微分方程和數學建模的相關知識, 然后根據二者相結合的特點, 從流行性感冒和亞健康這兩個具體的實踐背景來介紹了常微分在數學建模的應用. 這次論文充分利用圖書館和互聯網上豐富的資源來建立數學模型, 再對建立好的數學模型進行定量和定性的分析與探究的過程中

17、, 觀察和研究實際對象的固有特征和內在規(guī)律, 抓住問題的主要矛盾, 探討它的傳播規(guī)律、預測可能發(fā)生的后果及如何抑制其流行或惡化. </p><p>　　數學模型的建立及探究說明了在反映客觀現實世界運動過程的量與量之間的關系中, 大量存在了滿足常微分方程關系式的模型, 需要我們通過求解常微分方程來了解未知函數的性質, 常微分方程是解決實際問題的重要工具. 所建立的模型, 在常微分方程的觀點剖析下, 充分展現現代社會

18、生活中常微分方程應用. </p><p>　　2 常微分方程的簡介</p><p>　　常微分方程的發(fā)展有著淵遠的歷史, 而研究常微分方程必須從方程開始. 方程對于受過中等數學教育的人來說是基礎知識, 在初等數學中方程有很多種, 比如線性方程、指數方程、對數方程、三角方程等. 所有的方程的目的都是研究已知數和未知數之間的關系, 列出包含一個未知數或幾個未知數的一個或者多個方程式, 之后,

19、去求方程的解. 然而方程并不能解決所有的實際問題, 如物質在一定條件下的運動變化, 要尋求它的運動變化規(guī)律; 某個物體在重力作用下自由下落, 要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律; 火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行, 要研究它飛行的軌道等. 具體地說, 所有的研究課題在數學上是用函數關系來表現的, 因此, 要研究實際問題就要尋求滿足某些條件的一個或幾個未知數方程. 也就是說凡是這類問題不是簡單的一個或者幾個固定不變的數值, 而是要求一個或幾個未知

20、的函數. 令人高興的是, 這類問題的基本思想和初等數學解方程的思想有很多相似的地方, 也就是說我們可以把研究的問題中已知數和未知數之間的關系找出來, 從列出的包含未知函數的一個或幾個方程中去求得函數的表達式. 但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質</p><p>　　為了解決這類實際問題, 從而產生了微分方程. 同時, 我們又得出了常微分方程的概念:如果知道自變量、未知函數、及函數的導數組成的關系式,

21、得到的便是微分方程, 通過求解微分方程求出未知函數, 自變量只有一個的微分方程稱為常微分方程. </p><p>　　例如, 下面的方程就是常微分方程: </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　這里是未知數, 是自變量. </p&

22、gt;<p>　　隨著世界經濟的發(fā)展, 科學技術是第一生產力早已成為不變的真理. 而常微分方程在眾多領域的突出貢獻也證明了這一點. 工業(yè)革命早期, 航海業(yè)、造船業(yè)、紡織業(yè)、采掘業(yè)、軍械業(yè)以及交通運輸業(yè)等都急需使用機械, 又要求不斷改進機械, 這就要求理論技術以空前的速度發(fā)展. </p><p>　　當今, 隨著科學技術的飛速發(fā)展, 使不同學科之間交叉逾越, 學科之間的相互滲透與綜合, 形成了一些與常

23、微分方程交叉、綜合的學科. 計算機輔助設計也引入了常微分方程領域,</p><p>　　并做出了突出成績. 在自動控制、各種電子裝置的設計、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性研究、化學反應過程中的研究等方面, 常微分方程也做出了突出的貢獻. 所以隨著常微分方程理論的不斷完善, 它會在各個科學領域做出更多的貢獻. </p><p><b>　　3 數學建模的簡介</b></p

24、><p>　　數學建模就是用數學的語言來描述實際現象的過程[6]. 這里的實際現象既包括具體的自然現象, 比如自由落體現象; 也包括抽象的現象, 比如顧客對某種商品的價值傾向. 這里的描述不僅包括外在形態(tài), 內在機制的描述, 同時也包括預測、試驗和解釋實際現象等內容. 我們也可以這樣認為: 數學建模的過程是一個讓純粹的數學家變成心理學家、經濟學家、生物學家甚至是物理學家等的過程. 要描述一個實際的現象可以有很多種方式

25、, 比如錄音、錄像、比喻、傳言等等. 而數學語言以其科學性、邏輯性、客觀性及可重復性的特點, 在描述實際現象時體現出其別具一格. 正是由于這樣, 更多人越來越喜歡運用數學這種嚴格而又嚴密的語言. </p><p>　　建立數學模型的過程, 是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程,在根據實際問題建立相應的數學模型時, 需要解決的問題往往涉及眾多的因素, 這就需要分清問題的主要因素和次要因素, 恰當的

26、拋棄次要因素, 提出合理的假設, 建立相應的數學模型, 并用相應的數學方法求解模型, 然后將所得的解與實際問題作比較, 找出存在的差距和原因, 對問題作進一步的分析, 提出新的假設, 逐步修改完善模型, 使問題得到更好的解決.上述數學建模的過程可用流程圖表述如下: </p><p>　　表3.1 數學建模過程的流程 </p><p>　　4 常微分方程在數學建模中的應用</p>

27、<p>　　我們要解決一些實際問題, 通常首先需要建立研究對象的數學模型. 建立數學模型的時侯, 先要根據建立數學模型的目的和對問題的具體分析做出相應的簡化和假設, 然后按照規(guī)律列出微分方程, 求出方程的解, 并將結果翻譯回實際現象, 這樣就可以對實際問題進行描述、分析和預測了. </p><p>　　下面我們就通過兩個不同的例子來說明. </p><p>　　4.1 對流

28、行性感冒的數學建模及分析</p><p>　　眾所周知, 流行性感冒是由流感病毒引起的呼吸道傳染病, 是呼吸道傳染病中傳染性最強的病種之一. 下文將利用常微分方程的知識來探討流行性感冒的傳播規(guī)律以及影響其傳播的因素、預測可能發(fā)生的后果及如何控制其流行. </p><p>　　假設某高校相對獨立, 總人口l萬人, 去年冬天該校最初有20人患流感, 流行時間持續(xù)1個月, 感病人數總計約有300

29、0人. 為建立流感傳播過程的數學模型, 將研究的人群分成三類: </p><p>　　類: 易感者, 指未得病者, 但由于與流感患者接觸之后就容易受到感染; </p><p>　　類: 已感者, 指已患流感者; </p><p>　　類: 移出者, 因為患病被隔離而最終痊愈或因病愈而具有免疫力的人. </p><p>　　設群體在時刻, 易感

30、者、感病者及移出者的人數分別為、和, 并有以下假設: </p><p>　　假設1 群體是封閉的, 人數總計為, 起初有感病者, 易感者, 移出者; </p><p>　　假設2 易感者轉化為感病者的變化率與當時的易感人數和感病人數的乘積成正比; </p><p>　　假設3 疾病的傳染率為常數(單位時間內, 一個病人傳染的人數與當時易感者人數之比);</p&

31、gt;<p>　　假設4 感病者以固定的比率(單位時間內因病愈移出的人數占感病人數的比率)痊愈而進入移出者類. </p><p>　　設、和是的連續(xù)可微函數, 依假設可得數學模型[6]</p><p><b>　　(4.1)</b></p><p>　　所建模型(4.1)無法求出解析解、、, 可對該模型做一些分析: </p&

32、gt;<p>　　(1) 由(4.1)中知, 恒有, 從而為單調減函數, 對任何時刻有. </p><p>　　(2) 令, 由模型(4.1)中, 可得. </p><p>　　若, 則由知, 恒有, 即感染流行性感冒的人數始終不增加, 所以流行性感冒不會流行. 只有在時, 才有可能出現流行, 反映了流行性感冒是否流行的一個臨界值.</p><p>　

33、　若存在某時刻使得, 由為單調減函數, 有時, 時, 則</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　由此知, 在之前, 感染流行性感冒的人在增加, 而在之后感染流行性感冒的人在減少, 即流行性感冒的傳播基本得到控制.</p><p>　　(3) 若, 由模型(4.1)知, 當時, 總有. 則有, 進而有, 流行性感冒的

34、傳播完全結束. 此時所有感染流行性感冒的人全部被移出. 所以, 流行性感冒傳播的最終結果為, . </p><p>　　(4) 對模型(4.1)得</p><p><b>　　. </b></p><p>　　則對作變量分離, 得</p><p><b>　　. </b></p>&l

35、t;p><b>　　對上式兩邊積分得:</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　又, . 解得. </b>

36、</p><p>　　令, 得, 說明流行性感冒的傳播結束之后并不是所有的人都要受其感染, 當痊愈者成為移出者, 總有未曾得流感的人. </p><p>　　(5) 由得, 它反映了流行性感冒結束之后, 被移出的人數占該群體總人數的比率, 它作為衡量流行性感冒傳播強度的一種指標, 該值越大, 傳播的強度也越大. </p><p>　　(6) 由(4.1)可得, ,

37、. 解得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　進而得</b></p><p>　　. (4.3)</p><p>　　令, 取極限, 且知, 則滿足</p><p>　　.

38、 (4.4)</p><p><b>　　再由觀測數據和可得</b></p><p>　　. (4.5)</p><p>　　而由聯系(4.2)(4.3)可知, 當時, 感病人數達到最大值. 這說明從開始到之前, 容易感染流行性感冒的人數隨著的增加而減少, 感染流行性感冒的人數隨的增加而

39、增加, 容易感染流行性感冒的人數從遞減到, 感染流行性感冒的人數從增加至. 而在之后至傳播結束時刻, 容易感染流行性感冒的人數繼續(xù)減少至, 感染流行性感冒的人數也從最多開始減少, 直到傳播結束, 感染流行性感冒的人完全康復. </p><p>　　由以上的研究分析可以看出, 假如提高模型的臨界值 (合理膳食、運動提高身體免疫力、改善衛(wèi)生條件與減少傳染期的接觸數), 使得, 就可以控制流行性感冒的傳播過程. <

40、;/p><p>　　(7) 根據對上述例子的觀測數據, (人), (人), 由(4.5)式得的估計值</p><p><b>　　. </b></p><p>　　這里臨界值, 流行性感冒會蔓延. </p><p><b>　?。ㄈ耍? </b></p><p>　　即感染流

41、行性感冒的人從初始時刻20人不斷增加, 當容易感染的人從初始時刻9980人減少到(即8458人)時, 感染流行性感冒的人數達到最多為142人, 之后感染流行性感冒的人數開始降低, 直到流行性感冒傳播結束. </p><p>　　4.2 對亞健康問題的數學建模及分析</p><p>　　另外, 世界衛(wèi)生組織于1989年提出了健康的新含義[8]. 除了軀體健康、心理健康和社會適應良好外, 還

42、要加上道德健康, 只有這四個方面健康才算是完全健康. 亞健康是介于健康和疾病之間的一種健康低質量狀態(tài), 即無明顯疾病, 卻呈現活力降低, 各種適應能力減弱的生理狀態(tài). 亞健康狀態(tài)處理得當, 身體可向健康轉化; 反之, 則患病. 因此, 對亞健康問題的研究, 對人們的生活質量有著很重要的意義. </p><p>　　亞健康問題的形成與生活方式及心理、社會環(huán)境、遺傳等因素有關, 為建立亞健康的數學模型, 我們將研究的

43、人群分成三類: 類(健康者); 類(亞健康者); 類(患病者). </p><p>　　設該群體在時刻, 健康者、亞健康者及患病者的人數分別為、、, 并有以下假設: </p><p>　　假設1 群體總人數為, 開始有健康者, 亞健康者, 患病者. </p><p>　　假設2 群體內三類成員的轉化關系為健康亞健康患病, 只考慮轉化過程的平均效應. </p&g

44、t;<p>　　假設3 亞健康者以固定的比率(單位時間內亞健康者轉化為健康者人數占亞健康人數的比率)轉為健康者而進入類, 健康者以固定的比率轉為亞健康者而進入類. 亞健康者以固定的比率轉化為患病者而進入類. 患病者以固定的比率轉為亞健康者而進入類. </p><p>　　設、、是的連續(xù)可微函數. 依假設條件可得如下數學模型: </p><p><b>　　(4.6)

45、</b></p><p>　　其中, , , 為正常數, 模型(4.6)是關于、、的常系數一階線性微分方程組, 求出模型(4.6)的解析解、、, 并對該模型做一些分析[10]</p><p>　　(1) 由模型(4.6), 求解出: 將代入, 關于求導, 再與聯立消去得</p><p>　　. (4.7)</p>

46、<p>　　此為二階常系數非齊次線性方程, 相應的齊次方程為</p><p>　　. (4.8)</p><p><b>　　其特征根為</b></p><p>　　. (4.9)</p><p>　　方程(4.7)具有形如的特解, 代入(4.7)求得

47、.</p><p>　　若方程(4.8)有兩相異實特征根, 由式及</p><p><b>　　,</b></p><p>　　知兩特征根均為負根, (4.7)的通解為</p><p>　　. (4.10)</p><p>　　若方程(4.8)有兩相同實特征根時

48、亦為負根, (4.7)的通解為</p><p>　　. (4.11)</p><p>　　若方程(4.8)有一對共軛復特征根時, 實部為負值, (4.7)的通解為</p><p>　　. (4.12)</p><p>　　利用模型(4.6)中初始條件及, 可確定出, 的值.&l

49、t;/p><p>　　在公式(4.10)、(4.11)、(4.12)三種形式的解中, 令, 皆有</p><p><b>　　. </b></p><p>　　即在假定條件下, 群體當中的亞健康人數最終趨于穩(wěn)定值. 結合模型(4.6)式得知, 若提高值、降低值(均衡營養(yǎng), 適度運動, 戒煙限酒, 心理平衡), 就可以降低的值, 即降低人群中亞健康人

50、數的穩(wěn)定值.</p><p>　　(2) 由模型(4.6), 類似1, 可得</p><p>　　. (4.13)</p><p>　　解得(4.13)對應齊次方程有兩相異實特征根、兩相同實特征根及一對共軛復特征根時, 分別有解</p><p>　　, (4.14)</p>&l

51、t;p>　　, (4.15)</p><p>　　. (4.16)</p><p>　　在公式(4.14)、(4.15)、(4.16)三種形式的解中, 令, 皆有</p><p><b>　　. </b></p><p>　　即在假定條件下, 群體中健康人數

52、最終趨于穩(wěn)定值. 結合模型(4.6)式得知, 若提高與值、降低與值(均衡營養(yǎng), 適度運動, 戒煙限酒, 心理平衡, 提升醫(yī)療水平), 就能提高的值, 即提升群體中健康人數的穩(wěn)定值. </p><p>　　(3) 由模型(4.6)中, 得, 令, 有</p><p>　　即在假定條件下, 群體當中患病的人數最終趨于穩(wěn)定值. 結合(1)式得知, 若提高與值、降低與值(均衡營養(yǎng), 適度運動, 戒

53、煙限酒, 心理平衡, 提升醫(yī)療水平), 就能有效降低的值, 即減少人群中患病人數的穩(wěn)定值. </p><p>　　綜合得, 只要想辦法提高、值、降低、值. 就可以降低群體當中亞健康的患病人數, 增加健康人數. </p><p><b>　　5 小結</b></p><p>　　本文通過對當今社會中仍然經常爆發(fā)的流行性感冒和大部分人們正在處于亞健

54、康狀態(tài)建立數學模型, 并利用常微分方程知識對它們分別進行分析和研究, 探討了它們的傳播規(guī)律以及影響它們流行的因素、預測可能發(fā)生的后果及如何抑制其流行或惡化. 這兩個模型的建立及探究說明了在反映客觀現實世界運動過程的量與量之間的關系中, 大量存在了滿足常微分方程關系式的模型, 需要我們通過求解常微分方程來了解未知函數的性質, 常微分方程是解決實際問題的重要工具, 所以對于常微分方程知識的研究就顯得十分必. </p><

55、p><b>　　參考文獻 </b></p><p>　　May RM et al, Nature [J]. Nature Publishing Group, 1979, 180: 455~461. </p><p>　　Langlais M et al, Math Comp Model [J]. Elsevier Science, 2000, 31: 117~1

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