高階線性常微分方程的解法和應用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　高階線性常微分方程的解法和應用 </p><p>　　所在學院 </p>&l

2、t;p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>&l

3、t;b>　　摘要</b></p><p>　　本文主要討論了高階線性常微分方程的相關解法和應用. 首先給出了高階線性常微分方程的有關概念及解的存在惟一性. 在此基礎上, 探討了高階常微分方程的解法的問題. 討論的主要類型有: 某些特殊類型的高階線性常微分方程、常系數(shù)高階線性常微分方程、變系數(shù)高階線性常微分方程. 接下來, 還介紹了一些新的解法: 運用高階線性微分方程與一階微分方程組的關系求解、升

4、階的方法、降階的方法和計算機求解法. 最后一部分介紹了高階線性常微分方程的應用.</p><p>　　關鍵詞: 基本概念; 解法; 實際應用</p><p>　　The Solutions and Applications of High-level Coefficient of Linear Differential Equations</p><p><b

5、>　　Abstract</b></p><p>　　This thesis mainly discussed some related solutions of high-level coefficient of linear differential equations and applications. This thesis firstly introduced the related c

6、oncept of high-level coefficient of linear differential equations and unique existence of solutions. On such a basis, the thesis probes into the solutions of high-level coefficient of linear differential equations includ

7、ing the main types such as: some special kinds of differential equations, constant coefficient of high-leve</p><p>　　Keywords: Basic concept; Solutions; Practical applications</p><p><b>　　

8、目 錄</b></p><p>　　摘要.......I</p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 高階線性常微分方程的有關概念及解的存在惟一性3</p><p>　　2.1 高階線性微分方程的有關概念

9、3</p><p>　　2.2 高階線性常微分方程的解的存在惟一性4</p><p>　　3 幾類高階線性常微分方程及對應解法5</p><p>　　3.1 常系數(shù)高階齊次線性微分方程的解法5</p><p>　　3.2 常系數(shù)高階非齊次線性微分方程的解法8</p><p>　　3.3 某些特殊類型的高

10、階線性常微分方程解法11</p><p>　　3.4 某些變系數(shù)高階線性微分方程的解法14</p><p>　　4 高階線性常微分方程的一些新的解法18</p><p>　　4.1 運用高階線性微分方程與一階微分方程組的關系求解18</p><p>　　4.2 升階的方法18</p><p>　　4.3

11、 計算機求解法19</p><p>　　5 高階線性常微分方程的應用20</p><p>　　5.1 振動現(xiàn)象20</p><p>　　5.2 電路22</p><p><b>　　6 小結24</b></p><p><b>　　參考文獻25</b><

12、;/p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1前言</b></p><p>　　常微分方程是17世紀伴隨著微積分的產(chǎn)生和發(fā)展成長起來的一門具有重要應用價值而且歷史悠久的學科. 從誕生之日起很快就顯示出它在應用上的重要作用. 特別是作為Newton力學的得力助手, 在天體力學和其他領域顯示出巨大的功能.</p>

13、;<p>　　微分方程的理論和方法從17世紀末開始發(fā)展起來后, 很快成了研究自然現(xiàn)象的強有力的工具. 在17~18世紀, 在力學、天文、物理和科學技術中, 就已經(jīng)借助微分方程取得巨大的成就. 質點動力學和剛體力學的問題很容易化為微分方程的求解問題, 1864年天文學家U Le Verrier和J Adams先通過微分方程的方法推算然后實際觀測預見到了海王星的存在并確定了它在空中的位置, 這些使數(shù)學家更加深信微分方程在認識自

14、然方面的巨大力量. 隨著科技的發(fā)展和進步, 微分方程的應用不斷擴大和深入. 到今天為止, 可以說微分方程在所有自然科學領域和眾多社會科學領域都有著廣泛的應用.</p><p>　　微分方程的首要問題是如何求一個給定方程的通解. 求解微分方程中的高階線性微分方程是學習微分方程的重點, 目前, 人們已經(jīng)研究出許多高階微分方程的對應的解法. 比如常熟變易法、比較系數(shù)法、算子法和拉普拉斯變換法等.</p>

15、<p>　　在數(shù)學學科內(nèi)部的許多分支中, 常微分是整個數(shù)學課程體系中的重要組成部分, 常微分方程每一步進展都離不開其他數(shù)學分支的支援, 例如, 復變函數(shù)、組合拓補學等; 反過來, 常微分方程進一步發(fā)展的需要也推動著其他數(shù)學分支的發(fā)展. 現(xiàn)在, 常微分在很多科學領域內(nèi)都有著重要的應用, 自動控制、各種電子學裝置的設計、導彈的計算等. 這些問題都可以化為求常微分方程的解, 或者化為研究解的性質的問題. 應該說, 應用常微分方程的理

16、論已經(jīng)取得了巨大的成就, 但是, 它的現(xiàn)有理論還遠遠不能滿足需要, 有待于進一步的發(fā)展, 因此, 對常微分方程的研究不僅具有實際意義, 還有理論方面的意義. 對于我們數(shù)學專業(yè)的學生來說, 常微分方程是一門應用性較強的基礎課, 對于訓練學生的數(shù)學思維、應用意識和分析與解決實際問題能力有著極為重要的作用. 本文所講的微分方程主要是高階線性常微分方程, 因為方程的求解是學習常微分方程的基礎, 在學習常微分方程理論時, 總是針對不同類型的方程給

17、出不同的解法, 能否有一種普遍的方法能解各種類型的微分方程呢？著名的美國數(shù)學史家M. 克萊因在所著的《古今數(shù)學思想》中寫道: “總的來說, 這</p><p>　　線性微分方程作為常微分方程中一類很重要的方程, 是為數(shù)不多的能求得通解的方程的中的一類. 所以說, 一方面, 為了讓學生了解求解微分方程通解的一般方法, 大學里數(shù)學專業(yè)所教的常微分方程這一門基礎課程主要研究的是線性的微分方程. 另一方面, 在應用微分方

18、程解決實際問題的過程中, 大多數(shù)問題都涉及線性的微分方程, 比如, 本文所研究的微分方程的兩個應用: 振動現(xiàn)象和電路. 它們涉及的微分方程都是線性的. 日常生活和工程技術中的許多運動, 如鐘擺的往復擺動、彈簧的振動、電路中的電震蕩等振動問題, 在一定條件下, 都具有與微小振動的數(shù)學擺的運動規(guī)律一樣的數(shù)學模型——二階線性常微分方程. 常微分方程在電路中電流、電壓的計算中應用也很廣泛, 根據(jù)電路中各元件上電壓、電流等計算公式建立起來的電流或

19、電壓所滿足的微分方程是線性的. 所以本文在研究高階常微分解法的時候, 只針對線性的常微分方程有著重要的理論和實際意義.</p><p>　　文章主要從三方面入手, 首先對高階線性常微分方程的一般概念和它的解的存在惟一性進行了簡單介紹, 為下文研究并介紹它的各種解法做好理論知識的預備與鋪墊, 接下來, 本文介紹了幾類高階線性微分方程以及對應的解法, 文中還特別介紹了幾種新的解法. 高階微分方程是一種應用比較廣泛的常

20、微分方程, 在研究其求解問題之后, 最后, 本文敘述了高階微分方程的實際應用問題, 并且每種解法都有詳細的例子加以說明. 所以, 總的來說, 本文主要討論了高階線性常微分方程的相關解法和應用. 通過本文可以對高階線性常微分方程的解法及它的應用有更加深刻的認識和理解, 了解高階線性常微分方程在某些實際問題中的應用.</p><p><b>　　.</b></p><p>

21、;　　2高階線性常微分方程的有關概念及解的存在惟一性</p><p>　　我們知道, 高階線性微分方程是常微分方程中一類很重要的方程, 在應用微分方程解決實際問題的過程中, 大多數(shù)問題都涉及線性的微分方程, 本文的這一小節(jié)首先簡單地介紹了它的有關概念以及解的存在唯一性定理.</p><p>　　2.1 高階線性微分方程的有關概念</p><p>　　我們將未知函數(shù)

22、及其各階導數(shù), , 均為一次的階微分方程稱為階線性微分方程. 它的一般形式是</p><p>　　, （2.1）</p><p>　　式中及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).</p><p>　　如果, 則方程(2.1)變?yōu)?lt;/p><p>　　, （2.2）</p><p>　　我們

23、稱(2.2)為階線性齊次微分方程, 簡稱齊線性方程. 而與此相應, 稱(2.1)為階線性非齊次微分方程, 簡稱非齊線性方程, 并且通常把方程(2.2)叫做對應于方程(2.1)的齊線性方程.</p><p>　　階線性微分方程分為常系數(shù)和變系數(shù)的.</p><p>　?。?） 當方程(2.1)或(2.2)的系數(shù)為常數(shù)時, 稱它為常系數(shù)線性微分方程. 它的一般形式是</p>&l

24、t;p><b>　　.</b></p><p>　?。?） 當方程(2.1)或(2.2)的系數(shù)不為常數(shù)時, 稱它為常系數(shù)線性微分方程. 它的一般形式是</p><p><b>　　.</b></p><p>　　若, 稱(2.1)或(2.2)為高階線性常微分方程. </p><p><b

25、>　　注 由于</b></p><p>　　可以方便地轉化為(2.1)形式, 所以也稱為線性微分方程.</p><p>　　例如, 下面的4個方程都是高階線性微分方程.</p><p>　　其中, 前兩個是齊次的, 后兩個是非齊次. 第一和第三個是變系數(shù)的, 第二和第四個是常系數(shù)的. </p><p>　　2.2 高階線性

26、常微分方程的解的存在惟一性</p><p>　　同一階方程一樣, 高階的方程也有著是否有解和是否存在惟一的解的問題. 因此, 作為討論解法的基礎, 下面我將給出方程(2.1)的解的存在惟一性定理.</p><p>　　定理 2.1 如果方程(2.1)的系數(shù)及右端的函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 則對任一及任意 方程(2.1)存在惟一的解 滿足下列初始條件</p><p&g

27、t;　　下面將介紹各種不同類型的高階線性常微分方程求解的方法和步驟, 為了更清楚的了解每種解法的具體解題步驟, 還給出了相應的一些例子.</p><p>　　3 幾類高階線性常微分方程及對應解法</p><p>　　3.1 常系數(shù)高階齊次線性微分方程的解法</p><p><b>　　形如</b></p><p>　　

28、. (3.1)</p><p>　　類型的方程稱為常系數(shù)高階(階)線性微分方程.</p><p>　　下面研究形如式(3.1)的微分方程的解的結構和具體解法.</p><p>　　在式(3.1)中, 若, 即</p><p>　　. (3.2)</p><

29、p>　　則把式(3.2)稱為對應于(3.1)的常系數(shù)線性齊次微分方程.</p><p>　　常系數(shù)線性非齊次微分方程(3.1)的通解表達式可寫為</p><p>　　, (3.3)</p><p>　　其中為對應的齊次微分方程(3.2)的通解, 設</p><p>　　

30、, (3.4)</p><p>　　而為非齊次微分方程(3.2)的任一特解.</p><p>　　為求得齊次線性微分方程</p><p>　　, </p><p>　　通解的具體表達式, 只要求得它的個線性無關的解的線性組合就可以了. 下面介紹求方程(3.2)的基

31、本解組的待定指數(shù)函數(shù)法</p><p>　　我們設想 (3.5)</p><p>　　是式(3.2)的解, 其中是待定常數(shù). 把式(3.5)對微商, 得</p><p>　　, , , , . (3.6)</p>

32、<p>　　把式(3.5)和(3.6)代入式(3.2), 得</p><p>　　. (3.7)</p><p>　　在式(3.7)中, 因為, 則必有</p><p>　　. (3.8)</p><p>　　(3.8)稱為式(3.2)的特征方程, 而它的

33、根稱為特征根. </p><p>　　下面根據(jù)特征根的不同情況分別研究式(3.2)的通解結構.</p><p>　?、?當特征方程(3.8)具有個不相等的實根 時, </p><p>　　則相應地式(3.2)有如下個解 </p><p>　　式(3.2)的通解可寫為</p><p>　　( 為任意常

34、數(shù)). </p><p>　?、?當特征方程(3.8)具有等根時,</p><p>　　若特征方程(3.8)具有個等根, 即, 式(3.7)通解表達式為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　⑶ 當特征方程(3.8)具有共軛復根時, 即</p><p>　?、?具有一對共

35、軛復根, 其余均為不等實根, 如 為互異實根；則式(3.2)通解表達式為</p><p>　　. </p><p>　　具有兩重共軛復根, 其余均為不等實根, 則式(3.2)通解表達式為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　具有重共軛復根, 則式(3.2

36、)通解表達式為</p><p><b>　　. </b></p><p>　　式中 均為任意常數(shù).</p><p>　　為了便于應用, 我下面把二階、三階齊次微分方程的通解表達式總結如下:</p><p>　?、?根據(jù)式(3.2)型二階常系數(shù)線性齊次微分方程的表達式可寫為</p>

37、<p>　　, （3.9）</p><p>　　其特征方程為 </p><p>　　. </p><p><b>　　從中可解得 .</b></p><p>　　當

38、 為兩個不相等的實數(shù)根時, 則式(3.9)的通解的表達式可寫為</p><p>　　. </p><p>　　當為兩個相等的實數(shù)根時, 式(3.9)的通解的表達式可寫為</p><p>　　. </p><p&g

39、t;　?、?當 , 式(3.9)的通解的表達式可寫為</p><p>　　. </p><p>　?、?根據(jù)式(3.2)型三階常系數(shù)線性齊次微分方程的表達式可寫為</p><p>　　, (3.10)</p><p>　　其特征方程為

40、 </p><p>　　. </p><p><b>　　從中可解得 .</b></p><p>　　① 當 為三個不相等的實數(shù)根時, 則式(3.10)的通解的表達式可寫為</p><p><b>　　.</b></

41、p><p>　　② 當 時, 則式(3.10)的通解的表達式可寫為</p><p>　　. </p><p>　?、?當時, 則式(3.10)的通解的表達式可寫為</p><p>　?、?當 時, 則式(3.10)的通解的表達式可寫為</p><

42、p><b>　　.</b></p><p>　　將上文對常系數(shù)高階齊次線性常微分方程的求解方法應用于兩個例子, 第一個為二階當 為兩個不相等的實數(shù)根時的情況, 第二個為三階當 時的情況.</p><p>　　例3.1 求微分方程的通解.</p><p>　　解 按式(3.9)型解式, 其特征方程為, </p><

43、p>　　解得 為兩個不相等的實數(shù)根, 則通解為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3.2 求微分方程的通解.</p><p>　　解 按式(3.10)型解式, 其特征方程為, 解得 , 則通解為</p><p><b>　　.</b></p>&

44、lt;p>　　3.2 常系數(shù)高階非齊次線性微分方程的解法</p><p>　　眾所周知, 求解常系數(shù)高階非齊次線性微分方程的特解方法有許多種, 常見的有常數(shù)變易法、比較系數(shù)法、算子法和拉普拉斯變換法. 下面, 我將介紹另外兩種不常用的求解方法.</p><p><b>　　1. 分部積分法</b></p><p>　　考慮階常系數(shù)非齊次

45、微分方程</p><p>　　, (3.11)</p><p>　　其中 為實常數(shù), 為已知實連續(xù)函數(shù), 其相應的齊次線性微分方程為</p><p>　　. (3.12) </p><p>　　記其相應的特征方程為 </p><p>　　,

46、 (3.13)</p><p>　　設方程(3.13)的特征根為 它們的重數(shù)分別為 </p><p>　　并滿足 ,</p><p>　　則方程(3.12)的一個基本解組:</p><p><b>　　. </b></p>

47、<p>　　在上式中取每個函數(shù)乘以方程(3.12)的兩邊, 兩邊從初始時刻積分到, 左端各項反復運用分部積分公式, 直至化成 的線性式, 由此化成 的線性代數(shù)方程組 </p><p><b>　　(3.14)</b></p><p>　　其中, 為階方陣, 為已知的連續(xù)函數(shù).</p><p>　　最后,

48、 求解線性代數(shù)方程(3.14), 則的第一分量就是方程(3.12)對應初值問題的解.</p><p>　　例3.3 求解方程滿足初始條件 的解.</p><p>　　解 考慮方程, 其對應的特征方程為</p><p>　　其特征值為 這是兩個實單根.</p><p>　　首先, 用函數(shù)乘以方程(1)的兩邊, 并從0到積分, 得</

49、p><p>　　分部積分并整理得 </p><p>　　其次, 用函數(shù)乘以原方程的兩邊, 并從0到積分, 得</p><p>　　分部積分并整理得 . </p><p>　　解得 </p><p><b

50、>　　2. 遞推法</b></p><p>　　首先, 考慮二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 </p><p><b>　　(3.15)</b></p><p>　　其中, 為常實數(shù). 其對應的齊次線性微分方程的特征方程為</p><p><b>　　,</b></p>

51、<p>　　設 為其兩個特征值, 則有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　于是方程(3.15)化為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　連續(xù)兩次利用一階線性微分方程的通解公式, 則可得方程(3.15)的通解.</p><

52、;p>　　其次, 考慮三階常系數(shù)非齊次線性微分方程</p><p>　　. (3.16)</p><p>　　其對應的齊次線性微分方程的特征方程為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　設 為其三個特征值, 于是方程可化為</p>&l

53、t;p><b>　　(3.17)</b></p><p>　　其中, . 此時主意到 為方程(3.22)對應齊次線性微分方程的特征方程</p><p><b>　　.</b></p><p>　　的兩個特征根, 利用上面二階方程的處理方法和一階常系數(shù)線性微分方程的通解公式就可以得到原方程的通解.</p>

54、<p>　　下面將歸納法推廣到高階常系數(shù)非齊次線性微分方程.</p><p>　　定理3.1 階常系數(shù)非齊次微分方程(3.17)與以下方程組等價:</p><p>　　其中, 為特征方程. </p><p><b>　　的個特征根.</b></p><p>　　例3.4 求解方程</p&

55、gt;<p><b>　　解 特征方程為</b></p><p>　　解得特征根為 由定理3.1知原方程等價于以下方程組:</p><p><b>　　于是原方程的通解為</b></p><p>　　其中 為任意常數(shù).</p><p>　　下面我將研究以下類型的變系數(shù)高階線

56、性常微分方程的解法, 以便于在后文對其實際應用的討論.</p><p>　　3.3 某些特殊類型的高階線性常微分方程解法</p><p><b>　　形如</b></p><p>　　. (3.18)</p><p>　　稱為變系數(shù)的高階線性微分方程.</p><p>

57、　　式中, , … , , , 均為的函數(shù).</p><p>　　若在式(3.18)中的左邊之第一項, 能用微分由</p><p>　　, (3.19)</p><p>　　中算得時, 得式(3.19)為式(3.18)左邊積分中之第一項. 對式(3.19)微分, 得</p><p>

58、　　, (3.20)</p><p>　　再由式(3.18)中的左邊減去(3.20), 得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　繼續(xù)順利地進行下去能獲得式(3.18)左邊第項的積分為</p><p><b>　　,</b

59、></p><p>　　式(3.18)左邊第項的積分為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　上式中, 系數(shù)之導數(shù)等于, 為</p><p>　　, (3.21)</p><p>　　至此, 式(3.18)能滿足條件式(3.21), 則(3

60、.18)稱為線性全微分方程. 且它的第一積分表達式為 </p><p><b>　　(3.22)</b></p><p>　　若式(3.22)仍滿足條件式(3.21), 則式(3.22)仍為線性全微分方程, 其積分可按前述同一方法求得, 重復進行, 目的降階, 降到一階、二階或更高階, 一直求到非全微分方程時為止, 再按其他可解類型求解.</p>

61、<p>　　現(xiàn)將二階、三階線性微分方程具體分析如下:</p><p>　　⑴ 若二階線性微分方程表達式為</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　滿足條件 </b></p><p><b>　　,</b></p><p

62、>　　則稱其為全微分方程, 且第一積分表達式為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　若上式也是全微分方程, 則第二積分表達式 </p><p><b>　　.</b></p><p>　?、?若三階線性微分方程表達式為</p><p><

63、b>　　.</b></p><p><b>　　滿足條件 </b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　則其稱為全微分方程, 且第一積分表達式為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　若

64、上式, 還能滿足條件 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　則也是全微分方程, 且第二積分表達式為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　若上式, 還繼續(xù)滿足條件 </p><p><b>　　,</b>

65、;</p><p>　　則它仍是全微分方程, 且第三積分表達式為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　下面就上文對這類特殊型的高階線性常微分方程求解方法的分析舉兩個例子.</p><p>　　例3.5 求微分方程的通解.</p><p>　　解 這里 由于</

66、p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以原式為全微分方程, 可以求得其的第一積分為 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　又由于, 則此仍式為全微分方程, 可求得原式的第二積分表達式為 </p><p><b>　　,<

67、/b></p><p><b>　　即為所求的通解.</b></p><p>　　例3.6 求微分方程的通解.</p><p>　　解 這里 .</p><p>　　由于, 所以原式為全微分方程. </p><p><b>　　且第一積分為 </b></

68、p><p><b>　　,</b></p><p>　　由于上式仍式為全微分方程, 則第二積分為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　顯見, 此式屬于一階線性微分方程中的型. </p><p><b>　　它的通解的表達式為</b>&

69、lt;/p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　此式為所求通解.</b></p><p>　　3.4 某些變系數(shù)高階線性微分方程的解法</p><p><b>　　1. 化為常系數(shù)

70、法</b></p><p>　　(一) 齊性線性微分方程</p><p><b>　　形如</b></p><p>　　. （3.23）</p><p>　　的微分方程, 稱為齊性線性微分方程. 其中 均為常數(shù); 為的已知函數(shù).</p><p>　　設

71、, , 對式(3.23)進行一系列的變換獲得以下具有常系數(shù)的微分方程:</p><p>　　. (3.24)</p><p>　　接下來求解式(3.24),</p><p>　　(1) 求式(3.24)的余函數(shù)</p><p>　　(3.24)的特征方程為</p><p><b>　　.</b&

72、gt;</p><p>　　1) 若特征方程有個不相等的實根, 即.</p><p>　　則 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　2) 如果有等根, 假如有兩個, 即, </p><p>　　則

73、</p><p><b>　　.</b></p><p>　　3) 如果有一對共軛復根, 即及時, </p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2) 求得式(3.24)的特積分設為

74、 ,</p><p>　　則式(3.24)的通解為 .</p><p>　　下面我將應用以上方法來解一個高階齊性線性常微分方程.</p><p>　　例3.7 求解微分方程. </p><p>　　解 這里 , 將它們代入原式經(jīng)過變換獲得常系數(shù)微分方程得 .<

75、;/p><p>　　第一步, 求上式的余函數(shù)</p><p>　　由特征方程解得 , 則 </p><p>　　. </p><p>　　第二步, 用待定系數(shù)法求特積分, 這里</p><p><b>　　; .</b></p>&

76、lt;p>　　應用計算得 ,</p><p>　　把算得的數(shù)值帶入得 . </p><p>　　第三步, 求得通解為. </p><p>　　第四步, 原式的通解為(代入上式)</p><p><b>　　.</b>

77、</p><p>　　(二) 可化為齊性線性的微分方程</p><p><b>　　形如 </b></p><p><b>　　(3.25)</b></p><p>　　的微分方程, 通過變量代換可以化為齊性線性的微分方程. 其中 , 均為常數(shù). 設, 即; 經(jīng)過一系列計算就得到齊

78、性線性微分方程</p><p>　　. (3.26)</p><p>　　設 得到的式子代入(3.25)得到具有常系數(shù)的式子:</p><p><b>　　.</b></p><p>　　接下來我應用以上方法來解一個高階非齊性線性常微分方程.</p><p>　　例3.8 求微分方

79、程的通解.</p><p>　　解 這里, . 根據(jù)以上方法可以把原式改寫為</p><p>　　, 由特征方程, 解得 則為所求式的通解. 把代入得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　為所求的通解.</b></p><p>　　

80、以上兩類變系數(shù)線性常微分方程, 都是可以通過適當?shù)淖兞刻鎿Q化為常系數(shù)的, 從而可求得其解, 這種方法稱之為化為常系數(shù)法. 接下來介紹某些變系數(shù)線性常微分方程的另外一種解法.</p><p><b>　　2. 降階法</b></p><p>　　我們知道, 若已知一元次代數(shù)方程的個根, 則可提出個因式, 使次方程降低次, 變?yōu)榇未鷶?shù)方程, 與此類似, 對階線性齊次微分方

81、程</p><p>　　, (3.27)</p><p>　　若能找到個線性無關的解, 則可選擇適當?shù)淖儞Q, 使(3.27)降低階, 化為階方程, 且保持線性性和齊次性. 下面討論的情形.</p><p>　　設是方程(3.27)的一個非零解, 作線性變換 . 把它代入(3.27),</p><p>　　則可得到下面形式

82、的方程 </p><p><b>　　(3.28)</b></p><p>　　因為是方程(3.27)的解, 則是方程(3.28)的解, 把代入得, </p><p>　　于是方程(3.28)變?yōu)?,</p><p>　　再令, 就得 </p><p>　　這是一個關于未

83、知函數(shù)的階線性齊次方程. 特別地, 對二階線性齊次方程, 若已求得它的一個非零解, 則經(jīng)變換及, 化為了一階的, 而且還可求得方程(3.27)的與線性無關的另一解為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　上文主要介紹了某些特殊類型的高階線性常微分方程、常系數(shù)高階線性常微分方程、變系數(shù)高階線性常微分方程這三類高階線性常微分方程的具體解法和對應例子.

84、 下面文章將介紹一些新的解法.</p><p>　　4 高階線性常微分方程的一些新的解法</p><p>　　4.1 運用高階線性微分方程與一階微分方程組的關系求解</p><p>　　由3.2小節(jié)知高階(階)常系數(shù)線性微分方程的一般表達式為:</p><p>　　, (4.1)</p>

85、<p>　　若令; 則得 , , , , </p><p>　　將其代入式(4.1), 得.</p><p>　　因此, 高階(階)常系數(shù)線性微分方程式(4.1)可化為一階微分方程組</p><p><b>　　(4.2)</b></p><p>　　例4.1 將微分方程.</p><p

86、>　　解 可以根據(jù)以上方法將原式化為一階微分方程組, 為</p><p>　　接下來就可以利用微分方程組的解法來求解.</p><p>　　4.2 升階的方法</p><p>　　升階法是常微分方程中很少提到的一種方法, 這是因為隨著階數(shù)的升高, 一般會使得求解更為繁瑣, 但適當運用這種方法, 在有些情況下也可以受到事半功倍的效果, 升階法常用于求常系數(shù)非

87、齊次線性微分方程的特解. </p><p>　　例4.2 用升階法求方程的一個特解.</p><p>　　解 兩邊同時逐次求導, 直至右端為常數(shù), 得</p><p>　　令 則 代回原方程, 得 解之, 有 該表達式即為方程的一個特解.</p><p>　　4.3 計算機求解法</p><p>　　由于關于高階

88、常系數(shù)微分方程的求解在階數(shù)較高時用手工計算是很困難的, 而用求解是非常方便的.</p><p>　　計算機代數(shù)系統(tǒng)的一項重要功能就是求解各種微分方程. 解微分方程的常用命令是. 其一般格式為它可以給出許多常微分方程的解析解. 還可以直接求解常系數(shù)齊次與非齊次線性微分方程、變系數(shù)的方程. </p><p>　　下面我將給出幾個用求解的具體例子.</p><p>　　例

89、4.3 用求方程的通解. </p><p>　　解 該方程用求解的程序為</p><p>　　運行后給出的結果是 </p><p>　　上面的命令的第一行是定義了所求的微分方程, 第二行用函數(shù)直接求解. 除了上述函數(shù)外, 我們可調(diào)用函數(shù)來求出方程線性無關的特解, 由這兩個線性無關的特接線性組合就得到原方程的通解. 下面的指令輸出為.</p&g

90、t;<p>　　前面介紹了高階線性常微分方程的基本理論及一些方程的求解方法, 下面將介紹高階微分方程的一些應用.</p><p>　　5 高階線性常微分方程的應用</p><p>　　高階常微分方程的應用是一個涉及面廣泛并且復雜的問題, 這里只能通過某一些高階常微分方程的簡單例子來介紹它的應用.</p><p><b>　　5.1 振動現(xiàn)象

91、</b></p><p>　　日常生活和工程技術中有許多運動, 如鐘擺的往復擺動、彈簧的振動、樂器中弦線的振動、電路中的電震蕩等振動問題, 在一定條件下, 都具有與微小振動的數(shù)學擺的運動規(guī)律一樣的數(shù)學模型——二階線性常微分方程.</p><p>　　下面將研究彈簧的振動問題. 設有一個進度系數(shù)為的彈簧豎直懸掛著, 其上端固定,下端系以質量為的物體, 當我們在豎直方向壓(拉)一下

92、或者敲一下的時候, 物體就會運動起來. 現(xiàn)設僅作上下運動, 試求它的運動規(guī)律.</p><p>　　設彈簧的自然長度(即未掛重物時的長度)為, 如圖5-1所示.物體靜止時長度為, 物體運動時在時的長度為. 建立坐標系, 取通過懸掛點的豎直線為軸, 向下為正向; 物體平衡時的位置為坐標原點. 設在時刻物體的位移為</p><p>　　由第二運動定律, , 其中為物體的加速度, 為作用在上的合

93、外力. 此時, 由以下幾部分構成:</p><p>　　彈簧的恢復力, 由胡克定律為.</p><p>　　重力(因為在平衡位置重力與一部分彈性力完全抵消,故數(shù)值相等);</p><p>　　介質的阻力, 此時不妨設的大小與運動速度成正比且方向相反, 即 其中為阻尼系數(shù);</p><p>　　外力(生產(chǎn)實踐中一般會有這種情況).</p&

94、gt;<p><b>　　故有</b></p><p>　　于是, 運動微分方程為 </p><p>　　即 </p><p><b>　　(5.1)</b></p><p>　　這就是彈振動的微分方程模型. 由于它所表示的是物體在外

95、力的持續(xù)作用下的運動, 故被稱為 “有阻尼的強迫振動”.</p><p>　　方程(5.1)是一個常系數(shù)的二階線性非齊次微分方程, 可以根據(jù)3.4節(jié)介紹的方法來求解, 接下來求解這個方程:</p><p>　　設外力(,為常數(shù)), 但. 令 </p><p>　　則方程(5.1)變?yōu)?</p><p><b&

96、gt;　　(5.2)</b></p><p>　　根據(jù)實際的需要, 我們只討論介質阻尼不太大, 即的情形, 這時對應的齊次方程如</p><p><b>　　.</b></p><p>　　的通解, 其中 , 為任意常數(shù), 它所表示的是一個衰減的振動.</p><p>　　下面求非齊次方程(5.2)的通解.

97、由方程(5.2)右端函數(shù)的形狀, 知它有形如</p><p><b>　　.</b></p><p>　　的特解. 將它代入方程(5.2), 比較同類項系數(shù)可得</p><p>　　解此方程組, 可得 </p><p>　　于是得到方程(5.2)的一個特解</p><p>　　為了

98、得到此特解的物理意義, 將它變形為</p><p>　　其中 </p><p>　　于是方程(5.2)通解可寫為 .</p><p><b>　　5.2 電路</b></p><p>　　常微分方程在電路中電流、電壓的計算中應用很廣泛, 先用電路中各元件上電壓、電流等計算公式及回路電

99、壓定律、節(jié)點電流定律建立起電流或電壓所滿足的微分方程, 提出相應的初始條件, 再求解所提供的初始值問題, 得到所需要的結果.</p><p>　　設有一個由電阻, 電感為, 電容和電源串聯(lián)組成的電路, 其中 及為常數(shù),電源電動勢是時間的函數(shù) 這里及也是常數(shù).</p><p>　　設電路中的電流為, 電容器極板上的電量為, 兩極板間的電壓為, 電感電動勢, 由電學知識知道 .&l

100、t;/p><p>　　由回路電壓定律知 </p><p>　　即有 </p><p><b>　　(5.3)</b></p><p>　　這就是串聯(lián)電路的震蕩方程.</p><p>　　例5.1 在由一個電阻, 電感為, 電容和電源組成的閉合回路中

101、, 電源的電動勢, 電阻, 電感, 電容. 如果開始時電路中的電流為零, 電容器上的電荷量為零, 求該電路接通后電容器上的電荷量隨時間變化的關系.</p><p>　　解 記時刻該回路中的電流為, 電容器上的電荷量為, 由回路電壓定律和初始條</p><p>　　件得 </p><p><b>　　(5.4)<

102、;/b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　(5.4)對應的齊次方程的特征方程為 </p><p>　　這個特征方程的兩個根為 (5.4)對應的齊次方程的通解為</p><p>　　現(xiàn)在用待定系數(shù)法來求它的一個特解. 根據(jù)方程的特點, 設特解為 </p><p>　

103、　將它代入方程(5.4)兩邊, 分別比較和的系數(shù)得 </p><p>　　故原方程的通解為 </p><p>　　利用(5.4)的初始條件得, . 于是, 該電路中電容器上的電荷量隨時間變化的關系為 </p><p>　　由前兩小節(jié)給出的彈簧振動和串聯(lián)電路這兩個系統(tǒng)存在某些聯(lián)系, 發(fā)現(xiàn)它們導出的微分方程是非常相似, 而且有對應關系:

104、 質量與電感, 阻尼系數(shù)與電阻, 彈簧彈性系數(shù)與電容倒數(shù), 物體的位移與電容上的電荷.</p><p><b>　　6 小結</b></p><p>　　高階線性常微分方程是常微分方程中一類重要的微分方程. 自從微分方程發(fā)展以來, 求解微分方程一直是研究微分方程的核心內(nèi)容. 本文主要從三方面入手, 首先對高階線性常微分方程的一般概念和它的解的存在惟一性進行了簡單介紹,

105、 然后, 本文介紹了高階線性微分方程的分類以及它們對應的解法, 除此之外, 文中還分析了幾種新的解法, 以便于我們更好地了解和掌握高階微分方程. 高階微分方程是一種應用比較廣泛的常微分方程, 在研究其求解問題之后, 本文主要敘述了高階微分方程在物理學中的實際應用問題, 并且每種解法都有詳細的例子加以說明. 在研究高階微分方程的實際應用問題和它的解法問題時, 本文列舉了很多具體例子來進行說明. 相信通過本文,大家能夠更深刻的了解高階線性微

106、分方程沒有一般統(tǒng)一的解法, 只能針對各種具體問題得出具體解法, 不過它在實際中的應用十分廣泛. 正如拉普拉斯所說, “我們知道的, 是很微小的; 我們不知道的, 是無限的.” 總之, 這次從高階線性常微分方程的基本理論到求解方法再到應用的研究, 使我對高階線性常微分方程的認識有了質的飛躍.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　王高雄, 周

107、之銘, 朱思銘等. 常微分方程(第3版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.</p><p>　　樓紅衛(wèi), 林偉. 常微分方程 [M]. 上海: 復旦大學出版社, 2005.</p><p>　　肖箭, 盛立人, 宋國強. 常微分方程簡明教程 [M]. 北京: 科學出版社, 2008.</p><p>　　國振喜. 工程微分方程解法與實例 [M]. 北京

108、: 機械工業(yè)出版社, 2004.</p><p>　　化存才. 常微分方程解法與建模應用選講 [M]. 北京:科學出版社, 2009.</p><p>　　時寶, 黃朝炎. 微分方程基礎及其應用 [M]. 北京:科學出版社, 2007.</p><p>　　周義倉, 秦軍林. 常微分方程及其應用 [M]. 北京: 北京師范學院出版社, 1993.</p>

109、<p>　　孫肖麗, 楊艷萍. 常微分方程的思想與方法 [M]. 濟南: 山東大學出版社, 1993.</p><p>　　莊萬. 常微分方程習題解 [M]. 濟南: 山東科學技術出版社, 2003. </p><p>　　石瑞青. 常微分方程全程導學及習題全解 [M]. 北京: 中國時代經(jīng)濟出版社, 2007.</p><p>　　Z. R. Liu

110、, R. Q. Wang, Z. J. Jing. Peaked Wave Solution of Camassa-holm equation [J]. Chaos and Fractais, 2004 (19): 77-92.</p><p>　　J. B. Li, H. H. Dai. On the study of Singular Nonlinear Traveling Wave Equations [M