積分因子法在常微分方程中的應(yīng)用[畢業(yè)論文]

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文檔簡(jiǎn)介

1、　　本科畢業(yè)論文　?。?0 屆）　　積分因子法在常微分方程中的應(yīng)用　　所在學(xué)院 　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 　　學(xué)生姓名學(xué)號(hào) 　　指導(dǎo)教師職稱 　　完成日期年月 　　摘要：在眾多的實(shí)際問題中，我們經(jīng)常需要求解常微分方程．微

3、分方程的求解方法有很多，如常數(shù)變易法，積分因子法等等．本文主要討論如何利用積分因子法解微分方程，并對(duì)用積分因子法求解常微分方程的一些計(jì)算技巧進(jìn)行了歸納總結(jié)．　　關(guān)鍵詞：常微分方程；通解；積分因子法　　The application of integrating factor method in ordinary differential equation

4、　　Abstract：In many practical problems, we often need to solve ordinary differential equation. There are many methods of solving differential equations, such as method of variation of constant, integr

5、ating factor method and so on. This essay is mainly to discuss how to utilize integrating factor method to solve differential equations and summarize some calculating techniques of this method.　　Key

6、words：ordinary differential equation; general solution; integrating factor method　　目錄　　摘要I　　Abstract0

7、　　1引言1　　2預(yù)備知識(shí)2　　3積分因子的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用3　　3.1觀察法4　　3.2重新組合法6</p&

8、gt;　　3.3分組湊微分法8　　3.4指數(shù)待定法9　　4用積分因子法解一階常微分方程12　　4.1可分離變量方程13　　4.2齊次微分方程14　　4.2.1只與有關(guān)的積分因子16&l

9、t;/p>　　4.2.2與有關(guān)的積分因子17　　4.2.3與有關(guān)的積分因子19　　4.2.4與有關(guān)的積分因子20　　4.2.5與有關(guān)的積分因子21　　4.3一階線性微分方程22　　4

10、.4貝努力（Bernoulli）方程24　　5用積分因子法解二階常微分方程25　　6積分因子法的一些應(yīng)用29　　參考文獻(xiàn)31　　引言

11、眾所周知，微分方程有著廣泛的應(yīng)用背景．在許多科學(xué)領(lǐng)域中,常常需要求微分方程的解．微分方程的解法有很多種，例如，常數(shù)變易法、積分因子法等．　　常微分方程的研究可分為以下幾個(gè)階段：　　發(fā)展初期是針對(duì)具體的常微分方程,希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解,屬于“求通解”的時(shí)代．　　劉維爾在1841年證明了里卡蒂方程不存在

12、一般的初等解,同時(shí)柯西又提出了初值問題．因此,早期的常微分方程的求解熱潮中斷了,從而常微分方程的研究從“求通解”時(shí)代轉(zhuǎn)向“求定解”時(shí)代．　　19世紀(jì)末, 由天體力學(xué)中的太陽系穩(wěn)定性問題需要研究常微分方程解的大范圍性態(tài),從而常微分方程的研究從“求定解”時(shí)代轉(zhuǎn)向“求所有解”的新時(shí)代． 　　20世紀(jì)末六七十年代以后,常微分方程在計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的促進(jìn)下,從“求所

13、有解”時(shí)代轉(zhuǎn)入“求特殊解”時(shí)代．　　求常微分方程的通解在歷史上曾作為微分方程研究的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就能容易地求出問題所需要的特解；根據(jù)通解的表達(dá)式可以了解其對(duì)某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值，使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能，也有助于解的其他研究．雖然通過求通解的方法可以求出方程的解，但是有些時(shí)候會(huì)比較復(fù)雜．因此，我們要尋找更為簡(jiǎn)便的求解方法．對(duì)常微分方程的求解，積分因子法是一種很好

14、的求解方法，它能將復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)單化．　　預(yù)備知識(shí)　　定義1：一般來講，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程.　　定義2：如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則稱這種微分方程為常微分方程．　　定義3：

15、對(duì)稱形式的一階微分方程　　(1.1)　　如果存在一個(gè)可微函數(shù)，使得它的全微分為　　(1.2)　　即它的偏導(dǎo)數(shù)為　　則

16、稱(1.1)(1.1)為恰當(dāng)方程或全微分方程．　　定義4：對(duì)一般的方程　　(1.3)　　設(shè)法尋找一個(gè)可微的、非零函數(shù)，使得它乘方程(1.3)(1.3)后，所得方程　　成為恰當(dāng)方程，亦即</

17、p>　?。?lt;/b>　　這時(shí)，函數(shù)叫做方程(1.3)(1.3)的一個(gè)積分因子．　　定義5：對(duì)非齊次線性方程　　(1.4)　　改寫為如下對(duì)稱形式

18、;　　(1.5)　　一般而言,(1.5)(1.5)不是恰當(dāng)方程.但將積分因子乘(1.5)(1.5)兩側(cè)（其中）,得到方程　　它的全微分形式是　　由此可以直接進(jìn)行積分,得到通積分

19、　　這樣,就求出了方程(1.5)(1.5)的通解　　,是任意常數(shù)　　這樣的求解微分方程的方法叫做積分因子法.因?yàn)樵谇蠼獾倪^程是用因子乘微分方程(1.5)(1.5)的兩側(cè)將其轉(zhuǎn)化為全微分方程,從而求得它的積分,所以稱為積分因子法.　　定理1：方程(1.3)

20、(1.3)是全微分方程的充要條件是　?。?lt;/b>　　定理2：對(duì)于方程(1.3)(1.3)，當(dāng)時(shí)，是其積分因子的充要條件是　?。?lt;/b>　　積分因子的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用　　對(duì)

21、全微分方程我們已經(jīng)得到了很多求解的方法，可很多微分方程并非是全微分方程．但是我們需要求解這些方程．通過研究，我們發(fā)現(xiàn)有些方程可以通過積分因子將其轉(zhuǎn)化為全微分方程進(jìn)行求解．　　為了用積分因子法求解非全微分方程，必須對(duì)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的全微分形式比較熟悉，下面這些形式是我們常見的全微分形式（參考文獻(xiàn)［6－7］）：　　(1.6)

22、;　　(1.7)　　(1.8)　　(1.9)　　(1.10)

23、　　(1.11)　　(1.12)　　觀察法　　有些方程的形式比較簡(jiǎn)單，通過觀察就可以找到它的積分因子，我們稱這種方法為觀察法．　　例1 求微分方程的積分因子．

24、;　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然　　由于　　所以　　即原微分方程不是全微分方程．　　根據(jù)方程(1.7)(1.7)很容易觀察到是微分方程的積分因子．</p&g

25、t;　　事實(shí)上方程的積分因子并不唯一，該微分方程還可以找到另一種積分因子：　　因?yàn)?lt;/b>　　所以也是微分方程的積分因子．　　例2 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然&

26、lt;p>　　由于　　所以　　即原方程為非全微分方程，根據(jù)方程(1.6)(1.6)可以得到　　通過觀察可以將原常微分方程變?yōu)?lt;/p>　　即

27、　　即　　(1.13)　　通過觀察可以得到為原方程的積分因子，將同時(shí)乘以方程(1.13)(1.13)的兩邊可以得到　　所以原方程的通解為&

28、lt;b>　　，為任意常數(shù)．　　重新組合法　　對(duì)于某些形式相對(duì)比較復(fù)雜的微分方程，有時(shí)可以將它重新分組組合，找到其積分因子，我們稱這種方法為重新組合法．　　例3 求微分方程的積分因子．　　解：對(duì)照方程(1.3

29、)(1.3)，顯然　　即　　由于　　所以　　即原微分方程不是全微分方程，而且不易觀察出它的積分因子，在這里采用的求積分因子的方法是重新組合法．</p&g

30、t;　　由原微分方程可以得到　　即　　因?yàn)?lt;/b>　　所以是微分方程的積分因子．　　例4 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1

31、.3)，顯然　　由于　　所以　　即原方程為非全微分方程，對(duì)于不容易觀察出它的積分因子的常微分方程，常常將它重新組合，轉(zhuǎn)化為　　(1.14)

32、　　通過觀察并根據(jù)方程(1.10)(1.10)可以得出是原方程的積分因子，因此在方程(1.14)(1.14)的兩邊同時(shí)乘以，得到　　即　　所以原方程的通解為　　，為任意常數(shù)．&l

33、t;/p>　　分組湊微分法　　對(duì)于某些形式相對(duì)復(fù)雜的微分方程，將它進(jìn)行重新分組組合，但用重新組合法不能找到它的積分因子，因此對(duì)它進(jìn)行分組，分別求得其對(duì)應(yīng)的積分因子，從而找到原方程的積分因子，我們稱這種方法為分組湊微分法．　　例5 求微分方程的積分因子．<p&g

34、t;　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然　　由于　　所以　　即原微分方程不是全微分方程，而且方程的積分因子不易觀察出，在這里采用一種求積分因子的方法是分組湊微分法．　　將原

35、方程轉(zhuǎn)變?yōu)?lt;/b>　　根據(jù)方程(1.10)(1.10)與方程(1.11)(1.11)可以得到是微分方程的積分因子．　　例6 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然　　由于&l

36、t;p>　　所以　　即原方程不是全微分方程，而且不易觀察出它的積分因子，因此將它重新分組成　　(1.15)　　通過觀察可以得出前兩項(xiàng)的積分因子為，第三項(xiàng)的積分因子為，相乘之后可以分別得到相應(yīng)的全微分<p

37、>　　因此，原方程的積分因子為，故在方程(1.15)(1.15)的兩邊同時(shí)乘以，得到　　即　　所以原方程的通解為　　，為任意常數(shù)．

38、指數(shù)待定法　　定理3：對(duì)微分方程，其中是的多項(xiàng)式，則可以找到形式的積分因子．　　我們這種求形式的積分因子的方法為指數(shù)待定法．　　例7 求微分方程的積分因子．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然<b&

39、gt;　　由于　　所以　　即原微分方程不是全微分方程，而且此方程有別于之前討論的三種方法中的方程，此方程更為復(fù)雜，在這里采用的求積分因子的方法是待定系數(shù)法．　　根據(jù)定理3，設(shè)微分方程的積分因子為，則可以得到<

40、b>　　即　　要使任意的都能滿足此等式，則必須有　　解得　　所以，因此微分方程的積分因子就為．　　例8 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然

41、　　由于　　所以　　即原方程為非全微分方程，根據(jù)定理3，設(shè)微分方程的積分因子為，則可以得到　　即　　要使任意的都能滿

42、足此等式，則必須有　　解得　　所以，因此微分方程的積分因子就為，在原方程的兩邊同時(shí)乘以，得到　　由于此方程還是比較復(fù)雜，于是將它重新分組成　　即　　根據(jù)方

43、程(1.6)(1.6)可以得到　　所以原方程的通解為　　，為任意常數(shù)．　　用積分因子法解一階常微分方程　　可分離變量方程<p&g

44、t;　　定義6：如果一階微分方程可變化為　　(1.16)　　的形式，則稱這個(gè)方程為可分離變量方程．　　定理4：方程(1.16)(1.16)兩邊同時(shí)乘以　　可以得到<p

45、>　　(1.17)　　由于　　顯然方程(1.17)(1.17)是個(gè)全微分方程．所以是變量可分離方程的其中一個(gè)積分因子．　　例9 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然

46、　　由于　　所以　　即原方程為非全微分方程，將方程變形為　　根據(jù)可分離變量方程積分因子的公式得到此方程的積分因子為　　在原方程的兩邊同時(shí)乘以積分因子，可以

47、得到　　即　　兩邊積分得　　所以原方程的通解為　　，是任意常數(shù)．<b&g

48、t;　　齊次微分方程　　定義7：如果微分方程　　(1.18)　　其中和是次齊次函數(shù)，這時(shí)引入新函數(shù)，則，從而得到　　將其代入方程(1.18)(1.18)可得到<b&g

49、t;　　即　　是個(gè)可分離變量方程．　　定義8：如果方程(1.18)(1.18)兩邊同時(shí)乘以將其變?yōu)樵瓉淼淖兞?，就有，即方?1.18)(1.18)兩邊同時(shí)乘以，這樣即方程(1.18)(1.18)就變?yōu)槿⒎址匠蹋褪驱R次微分方程的積分因子．　　例10 求常微分方程的通解．

50、　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然　　由于　　所以　　即原方程為非全微分方程，由齊次微分方程的積分因子公式，可得原方程的積分因子為　　即</b&

51、gt;　　在方程的兩邊同時(shí)可以積分因子，得　　將方程轉(zhuǎn)化為　　根據(jù)方程(1.7)(1.7)將上述方程變?yōu)?lt;/p>　　即　　根據(jù)方程(1.7)(1.7)和方程(1.

52、11)(1.11)有　　所以方程的通解為　　，為任意常數(shù)．　　只與有關(guān)的積分因子　　定理5：方程(1.18)(1.18)存在只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，這

53、里的為僅與有關(guān)的函數(shù)，可以求得相應(yīng)的具有形式的積分因子．　　例11 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然　　由于　　所以　　即原

54、方程為非全微分方程，因?yàn)?　　則根據(jù)定理5可知原方程存在只與有關(guān)的積分因子，其為　　在方程的兩邊同時(shí)乘以積分因子，得到　　即　　根據(jù)方程(1.8)(1.8)和方程(1.11)(1.11)有&l

55、t;b>　　所以方程的通解為　　,為任意常數(shù)．　　與有關(guān)的積分因子　　定理6：方程(1.18)(1.18)存在只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，這里的為僅于有關(guān)的函數(shù)，可以求得相應(yīng)的具有形式的積分因子．</p

56、>　　例12 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然　　由于　　所以　　即原方程為非全微分方程，因?yàn)?

57、　　則根據(jù)定理7可知原方程存在只與有關(guān)的積分因子，其為　　在方程的兩邊同時(shí)乘以積分因子，得　　即　　根據(jù)方程(1.10)(1.10)和方程(1.11)(1.11)有　　所以方程的通解為</p

58、>　　,為任意常數(shù)．　　與有關(guān)的積分因子　　定理7：方程(1.18)(1.18)具有這種特殊積分因子的充要條件是，可以求得相應(yīng)的具有形式的積分因子．　　例13 求常微分方程的通解．<

59、;p>　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然　　由于　　所以　　即原方程為非全微分方程，因?yàn)?　　則根據(jù)定理7可知原方程存在只與有關(guān)的積分因子，其為<p&g

60、t;　　在方程的兩邊同時(shí)乘以積分因子，得　　即　　根據(jù)方程(1.9)(1.9)和方程(1.11)(1.11)有　　所以方程的通解為　　,為任意常數(shù)．</

61、p>　　與有關(guān)的積分因子　　定理8：方程(1.18)(1.18)具有這種特殊積分因子的充要條件是，可以求得相應(yīng)的具有形式的積分因子．　　例14 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然

62、　　由于　　所以　　即原方程為非全微分方程，因?yàn)?　　則根據(jù)定理8可知原方程存在只與有關(guān)的積分因子，其為　　在方程的兩邊同時(shí)乘以積分因子，得<b&g

63、t;　　即　　根據(jù)方程(1.9)(1.9)有　　所以方程的通解為　　,為任意常數(shù)．　　與有關(guān)的積分因子<p&

64、gt;　　定理9：方程(1.18)(1.18)具有這種積分因子的充要條件是，可以求得相應(yīng)的具有形式的積分因子．　　例15 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.3)(1.3)，顯然　　由于　　所以</b&g

65、t;　　即原方程為非全微分方程，因?yàn)?　　則根據(jù)定理9可知原方程存在只與有關(guān)的積分因子，其為　　在方程的兩邊同時(shí)乘以積分因子，得　　即　　即</p&

66、gt;　　根據(jù)方程(1.6)(1.6)有　　所以方程的通解為　　,為任意常數(shù)．　　一階線性微分方程　　定理10：若方程有一個(gè)僅依賴于的積

67、分因子，則，其中；反之，若僅依賴于，則是方程的一個(gè)積分因子．　　定理11：設(shè)一階線性非齊次微分方程為　　(1.19)　　將其成對(duì)稱的形式　　(1.20)<

68、;/p>　　其中，，，因?yàn)閮H依賴于，則，從而可以得到是方程(1.19)(1.19)的一個(gè)積分因子．在方程(1.19)(1.19)的兩邊同時(shí)乘以，得到　　即　　直接積分得　　由此可以得到<

69、/b>　　例16 求常微分方程的通解．　　解：原方程可以改寫為　　由此可以看出這是一階線性非齊次方程，根據(jù)定理10和定理11，將其改寫為　　對(duì)照方程(1.19)(1.19)和方程(1.20)(1.20)，顯然

70、;　　由于　　所以　　即原方程為非全微分方程，又因?yàn)?lt;/p>　　僅依賴于，所以方程其中一個(gè)積分因子為　　在方程的兩邊同時(shí)乘以積分因子，得　　即

71、　　即　　根據(jù)方程(1.6)(1.6)有　　所以方程的通解為　　,為任意常數(shù)．　　貝努力（Bernoulli）方程&

72、lt;/p>　　定理12：將貝努力方程　　(1.21)　　令，可以將方程(1.21)(1.21)化為一階線性微分方程　　(1.22)　　由一階線性微分方程的積分因子可知

73、，方程(1.22)(1.22)的一個(gè)積分因子為，因此是方程(1.21)(1.21)的一個(gè)積分因子．　　定理13:方程(1.21)(1.21)的通解為　　例17 求常微分方程的通解．　　解：對(duì)照方程(1.21)(1.21)，該方程為貝努力方程，其中，`并將其改寫為　　根據(jù)定

74、理13可得方程的通解為　　,為任意常數(shù)．　　用積分因子法解二階常微分方程　　定義9：對(duì)于一階線性微分方程，即　　(1.23)　　若存在非零可微函數(shù)，使得方

75、程(1.23)(1.23)兩邊同時(shí)乘以后可化為　　則稱為方程(1.23)(1.23)的一個(gè)積分因子．　　定理14：非零可微函數(shù)是方程(1.23)(1.23)的積分因子的充要條件是，此時(shí)方程(1.23)(1.23)的通解為．　　定義10：對(duì)于二階線性微分方程

76、;　　(1.24)　　若存在二階非零可微函數(shù)，方程(1.24)(1.24)兩邊同時(shí)乘以，可化為　　(1.25)　　則稱為方程(1.24)(1.24)的積分因子．　　定理15：二階非零可微函數(shù)是方程(1.25)(1.

77、25)的積分因子的充要條件是　　(1.26)　　現(xiàn)在可取，方程(1.24)(1.24)的通解為　　例18 求常微分方程的通解．　　解：由題可得，<b

78、>　　根據(jù)定理15取到，　　因?yàn)椋啥ɡ?6可知是原方程的一個(gè)積分因子，且其通解為　　利用求積分因子雖然簡(jiǎn)便，但是還必須滿足條件．　　定理16：二階變系數(shù)方程非齊次線性方程　　(1.27)

79、　　對(duì)應(yīng)的二階變系數(shù)齊次線性方程　　(1.28)　　若,則方程(1.27)(1.27)與方程(1.28)(1.28)為全微分方程的充要條件是　　(1.29)　　此時(shí)方程(1.

80、27)(1.27)與方程(1.28)(1.28)的首次積分分別為　　(1.30)　　和　　(1.31)　　它們的通解分別為

81、;　　(1.32)　　和　　(1.33)　　定義11：若存在函數(shù)，在方程(1.27)(1.27)與方程(1.28)(1.28)兩邊同時(shí)乘以，使得方程(1.27

82、)(1.27)與方程(1.28)(1.28)變?yōu)槿⒎址匠?，則稱為方程(1.27)(1.27)與方程(1.28)(1.28)的一個(gè)積分因子．　　即　　(1.34)　　和<

83、;p>　　(1.35)　　是全微分方程．　　根據(jù)定理16，對(duì)全微分方程(1.34)(1.34)和全微分方程(1.35)(1.35)可以得到下面定理．　　定理17：若，則存在積分因子使得方程(1.27)(1.27)與方程(1.28)(

84、1.28)為全微分方程的充要條件是　　(1.36)　　則全微分方程(1.34)(1.34)和全微分方程(1.35)(1.35)的首次積分分別為　　(1.37)　　和</b&

85、gt;　　(1.38)　　例19 求常微分方程的通解．　　解：由題可得，　　因?yàn)椋啥ɡ?7可知原方程不是全微分方程，因此設(shè)原方程的一個(gè)積分因子為，將其與原方程相乘，使得原方程變?yōu)槿⒎址匠蹋校?/p>

86、　　所以　　解得　　因此　　首次積分得　　根據(jù)定理17解得此方程的通解為<

87、;/p>　　積分因子法的一些應(yīng)用　　根據(jù)定義3易知方程(1.1)(1.1)的通解是．　　定理18：如果是某個(gè)全微分方程的兩個(gè)通解，則有，其中是某個(gè)確定的函數(shù)．　　例20 證明指數(shù)公式．　　解：在證指數(shù)公式之前先解微分方程

88、　　，　　根據(jù)方程(1.6)(1.6)解得此微分方程的通解為　?。?lt;/b>　　此外，是微分方程的積分因子，因此將其乘到微分方程的左右兩邊得　　從而得到方程的另一個(gè)通解

89、　?。?lt;/b>　　根據(jù)定理18有，是個(gè)確定的函數(shù)，令有，由此證得　?。?lt;/b>　　例21 證明對(duì)數(shù)公式．　　解：在證對(duì)數(shù)公式之前先解微分方程<

90、b>　　，　　根據(jù)方程(1.11)(1.11)解得此微分方程的通解為　?。?lt;/b>　　此外，是微分方程的積分因子，因此將其乘到微分方程的左右兩邊得　　即&

91、lt;p>　　從而得到方程的另一個(gè)通解　　．　　根據(jù)定理17有，是個(gè)確定的函數(shù)，令有，從而由此證得　　．　　參考文獻(xiàn)<p&

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