解一階級(jí)性常微分方程的積分因子法

1、解一階級(jí)性常微分方程的積分因子法一階級(jí)性常微分方程p（x）y=Q（x）當(dāng)已知函數(shù)Q（X）≠0時(shí)，稱(chēng)為非齊次方程，而當(dāng)Q（X）=0時(shí)，稱(chēng)為齊次方程。這種方程，通?？捎枚喾N方法求解，如Lagrange常數(shù)變易法，積分因子法，積分變換法，或者冪級(jí)數(shù)解法等。由于后面兩種方法所用工具比較高深，在教學(xué)中一般安排較晚，本文暫不討論。一般在微積分或微分方程教程中所采用的，多是常數(shù)變易法。為了說(shuō)明問(wèn)題，我們先簡(jiǎn)單介紹一下這個(gè)解法。（1）常數(shù)變易法非齊次線

2、性方程p（x）y=Q（x）（?。┣蠼獾某?shù)變易法，是從對(duì)應(yīng)的齊次方程p（x）y=0（2）的通解y=Ce∫P（x）dx（3）出發(fā)。把這通解中的任意常數(shù)C易為待定函數(shù)u（x），得到y(tǒng)=u（x）e∫P（x）dx（4）則y=u（x）e∫P（x）dxu（x）[p（x）]e∫P（x）dx為了定出函數(shù)u（x），把（4）代入方程（1）的左端，從而得到p（x）y=u（x）e∫P（x）dxu（x）[p（x）]e∫P（x）dxP（X）u（x）e∫P（x）dx

3、=u（x）e∫P（x）dx知，乘積的倒數(shù)u（x）[u（x）v（x）]=u（x）v（x）u（x）v（x）（5）就是含有u（x）及u（x）的一次二項(xiàng)式。我們很容易發(fā)現(xiàn)，把（1）式兩端乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)因子μ（x）時(shí)，使之成為μ（x）yμ（x）p（x）y=μ（x）Q（x）（6）（自然要求μ（x）≠0）時(shí)再比較（5）式的右端與（6）式的左端，可見(jiàn)，應(yīng)該選擇。使之適合微分方程u（x）=μ（x）p（x）（7）對(duì)于這樣的μ（x），（6）式可寫(xiě)成（μ（

4、x）y）=μ（x）Q（x）（8）它的左端是一個(gè)完全微分式，已經(jīng)可以直接積分，于是μ（x）y=∫μ（x）Q（x）dxk（9）k是任意常數(shù)?，F(xiàn)在問(wèn)題歸結(jié)為求解齊次方程（7）了。這是大家熟知的事，把（7）的解：u（x）=e∫P（x）dx代入（9）中，立刻得到所求的非齊次方程（1）的通解：Y=e∫P（x）dx[∫Q（x）e∫P（x）dxdxk]我們稱(chēng)這里所乘的函數(shù)μ（x）為積分因子。這樣的解法，目的明確，方法自然，并且是建立在學(xué)生熟悉的事物的基