一階微分方程解的存在定理

1、一階微分方程解的存在定理一階微分方程解的存在定理.doc一階微分方程解的存在定理.doc第三章一階微分方程解的存在定理[教學(xué)目標(biāo)]1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。2.了解解的延拓定理及延拓條件。3.理解解對初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。[教學(xué)重難點(diǎn)]解的存在唯一性定理的證明，解對初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。[教學(xué)方法]講授，實(shí)踐。[教學(xué)時(shí)間]12學(xué)時(shí)[教學(xué)內(nèi)容]解的存

2、在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明。[考核目標(biāo)]1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡單的問題。2.熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對初值的連續(xù)性及可微性公式。3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動解釋所出現(xiàn)的各種

3、現(xiàn)象并預(yù)測未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是，大如果函數(shù)滿足以下條件：1）在上連續(xù)：2）在上關(guān)于變量滿足李普希茲（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)，使對于上任何一對點(diǎn)，均有不等式成立，則方程（3.1）存在唯一的解，在區(qū)間上連續(xù)，而且滿足初始條件（3.3）其中稱為Lipschitz常數(shù).思路：1）求解初值問題(3.1)的解等價(jià)于積分方程的連續(xù)解。2）構(gòu)造近似解函數(shù)列任取一個連續(xù)函數(shù)，使得，替代上述積分方

4、程右端的，得到如果，那么是積分方程的解，否則，又用替代積分方程右端的，得到如果，那么是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到（3.4）于是得到函數(shù)序列.3）函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于，即存在，對(3.4)取極限得到即.4)是積分方程在上的連續(xù)解.這種一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假設(shè)條件下分五個命題來證明定理.為了討論方便只考慮區(qū)間對于區(qū)間的討論完全類似.命題1設(shè)是方程(3.1)定義于區(qū)間上滿足初始條件（3.3）的解則是積