三階微分方程的解的存在定理

1、第三章第三章一階微分方程的解的存在定理一階微分方程的解的存在定理教學(xué)目的教學(xué)目的：使學(xué)生掌握解的存在唯一性定理的內(nèi)容及證明思想、延拓定理、解對初值的連續(xù)依賴性和可微性定理的內(nèi)容；掌握逐次逼近法；會判斷解的存在區(qū)間；了解奇解的概念和解法教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容：1、解的存在唯一性定理與逐次逼近法解的存在唯一性定理及其證明、Lipschitz條件、Picard逼近序列、逐次逼近法2、解的延拓定理與延拓條件3、解對初值的連續(xù)依賴性和可微性定理4、奇解

2、、包絡(luò)、奇解、Clairaut方程教學(xué)重點教學(xué)重點：解的存在唯一性定理及其證明教學(xué)難點教學(xué)難點：解的延拓定理、解對初值的連續(xù)依賴性、可微性定理的證明教學(xué)過程教學(xué)過程：3.13.1解的存在唯一性定理與逐步逼近法解的存在唯一性定理與逐步逼近法3.1.13.1.1存在唯一性定理存在唯一性定理定理１定理１如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足李普希茲條件，則方程)(yxfRy(3.1))(yxfdxdy?存在唯一解定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件)(xy??h

3、xx??0（3.3）00)(yx??其中)(max)min()(yxfMMbahRyx???可用皮卡（Picard）逐步逼近法證明這個定理，此外，用歐拉折線法（差分法）、紹德爾（Schouder）不動點方法等亦可證明逐步逼近法的基本思想分五個命題來證明定理命題１命題１設(shè)是方程(3.1)的定義于區(qū)間上，滿足初始條)(xy??hxxx???00件00)(yx??的解，則是積分方程)(xy??滿足初始條件0000)()(yxyyxy????3

4、.1.2近似計算與誤差估計近似計算與誤差估計在(3.14)中令可得第次近似解和真正解在區(qū)間)()(xx???n)(xn?)(x?(3.19)11)!1()()(?????nnnhnMlxx??在近似計算時，可根據(jù)誤差的要求，選取適當?shù)闹鸩奖平瘮?shù))(xn?例１例１方程定義于矩形區(qū)域上，試利用存在22yxdxdy??1111:??????yxR唯一性定理確定過點的解的存在區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過)00(05.0的近似解的表

5、達式作業(yè)：P881、3、4、5、7、93.3.２解的延拓解的延拓局部利普希茲條件局部利普希茲條件，即對于內(nèi)的每一點，有以其為中心的完全含于內(nèi)的閉矩形存GR在，在上關(guān)于滿足利普希茲條件R)(yxfy解的延拓定理解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)關(guān)于)(yxfG滿足局部利普希茲條件，則方程(3.1)的通過內(nèi)任意一點的解可以延yG)(00yx)(xy??拓，直到點任意接近區(qū)域的邊界以向增大的一方的延拓來說，如果)

6、)((xx?Gx只能延拓到區(qū)間上，則當時，趨于區(qū)域的邊界)(xy??mxx??0mx?))((xx?G推論推論如果是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1)的通過G)(00yx的解可以延拓，以向增大的一方的延拓來說，有下面兩種情況：)(xy??x(1)解可以延拓到區(qū)間；)(xy??)[0??x(2)解只可以延拓到區(qū)間，其中為有限數(shù)，則當時，或者)(xy??)[0mxmmx?無界，或者點趨于區(qū)域的邊界)(xy??))((xx?