排隊論的綜述與應(yīng)用[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p><b>　　排隊論的綜述與應(yīng)用</b></p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要: 排隊論(Queuing t

3、heory), 或稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論, 是通過對服務(wù)對象到來及服務(wù)時間的統(tǒng)計研究，得出這些數(shù)量指標（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統(tǒng)計規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對象的需要，又能使機構(gòu)的費用最經(jīng)濟或某些指標最優(yōu).它是數(shù)學運籌學的分支學科.也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象隨機規(guī)律的學科.</p><p>　　本文首先給出排隊論，排隊系統(tǒng)的定義、結(jié)構(gòu)，接下來敘

4、述了排隊論的排隊模型，排隊論常用模型分類，排隊模型常數(shù)．然后敘述了各種排隊模型，如單服務(wù)臺排隊模型、多服務(wù)臺排隊模型、一般排隊的服務(wù)模型等.最后介紹了排隊系統(tǒng)優(yōu)化及排隊論的實際應(yīng)用.</p><p>　　關(guān)鍵字:排隊論；排隊系統(tǒng)；排隊模型</p><p>　　Review and application of queuing theory</p><p>　　Abs

5、tract：Queuing theory (queuing guys), or call the theory of stochastic service system is through to the service objects, come and service time statistical studies, draw the statistical rules of those quantity indexes (wai

6、ting time, queue length, busy period length etc.), then according to these improve service system structure or reorganized serviced objects, make service system can meet the service objects need, and can make the agency

7、 use the best of their money or make some indexes optimal</p><p>　　This paper firstly presents the queuing system of queuing theory, the definition, structure, then describes the queue theory, queuing model,

8、 classification of common queuing models, queuing model constant, then describes various queuing models, such as single desk queuing model、many desk queuing model、general queuing service model etc. Finally, describes the

9、 queuing system optimization and the practical applications of queuing theory.</p><p>　　Key words: Queuing theory; Queuing system; Queuing model</p><p><b>　　目 錄</b></p><p

10、><b>　　1. 引言1</b></p><p>　　1.1研究背景1</p><p>　　1.2研究意義1</p><p>　　1.3 研究目標1</p><p>　　1.4 研究方法1</p><p>　　1.5 研究步驟1</p><

11、p>　　2 排隊論的基本概念2</p><p>　　2.1 排隊系統(tǒng)的定義2</p><p>　　2.2 排隊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)2</p><p>　　2.2.1 輸入過程3</p><p>　　2.2.2 排隊規(guī)則3</p><p>　　2.2.3 服務(wù)機構(gòu)4</p><p&

12、gt;　　3排隊模型概述4</p><p>　　3.1排隊論常用模型分類5</p><p>　　3.2 排隊模型常數(shù)5</p><p>　　3.3 排隊模型的特征指標5</p><p><b>　　4 排隊模型6</b></p><p>　　4.1標準的排隊模型6<

13、;/p><p>　　4.2 對長有限的排隊模型9</p><p>　　4.3 有限客源的模型10</p><p><b>　　5排隊模型12</b></p><p>　　5.1標準的排隊模型（，）12</p><p>　　5.2 容量有限的排隊模型14</p><

14、;p>　　5.3 客源有限的排隊模型15</p><p>　　6 一般排隊服務(wù)的模型16</p><p>　　6.1 排隊模型16</p><p>　　6.2 排隊模型17</p><p>　　6.3 排隊模型18</p><p>　　7 排隊系統(tǒng)優(yōu)化18</p><p

15、>　　7.1 模型中最優(yōu)化服務(wù)率19</p><p>　　7.2 模型中最優(yōu)化服務(wù)臺數(shù)21</p><p>　　8 排隊論的應(yīng)用22</p><p>　　8.1． 排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理的應(yīng)用【17】22</p><p><b>　　9.小結(jié)26</b></p><p&g

16、t;　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻27</b></p><p><b>　　1. 引言</b></p><p><b>　　研究背景</b></p><p>　　日常生活中存在大量有形和無形的排隊或擁擠現(xiàn)象，如旅客購票排隊，市內(nèi)電話占線等

17、現(xiàn)象.排隊論的基本思想是1910年丹麥電話工程師A.K.埃爾朗在解決自動電話設(shè)計問題時開始形成的，當時稱為話務(wù)理論.他在熱力學統(tǒng)計平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗電話損失率公式【1】.</p><p>　　自20世紀初以來，電話系統(tǒng)的設(shè)計一直在應(yīng)用這個公式.30年代蘇聯(lián)數(shù)學家А.Я.欣欽把處于統(tǒng)計平衡的電話呼叫流稱為最簡單流.瑞典數(shù)學家巴爾姆又引入有

18、限后效流等概念和定義.他們用數(shù)學方法深入地分析了電話呼叫的本征特性，促進了排隊論的研究.50年代初，美國數(shù)學家關(guān)于生滅過程的研究、英國數(shù)學家D.G.肯德爾提出嵌入馬爾科夫鏈理論，以及對排隊隊型的分類方法，為排隊論奠定了理論基礎(chǔ).在這以后，L.塔卡奇等人又將組合方法引進排隊論，使它更能適應(yīng)各種類型的排隊問題.70年代以來，人們開始研究排隊網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊問題的漸近解等，成為研究現(xiàn)代排隊論的新趨勢【2】.</p><p&g

19、t;<b>　　研究意義</b></p><p>　　通過對大量文獻資料的查閱，向人們介紹排隊論的理論，重點討排隊論來解決實際問題.</p><p>　　1.3 研究目標</p><p>　　熟悉排隊論的理論，通過學習可以具有分析問題，解決問題的基本能力，并且用相關(guān)的排隊論知識解決問題.</p><p>　　1.4

20、 研究方法</p><p>　　探討排隊論的理論知識與應(yīng)用問題，要理論聯(lián)系實際！怎么把排隊論的知識應(yīng)用到實際中！排隊論的知識在實際中有很廣泛的作用．主要是通過大量的搜查資料，尋找相關(guān)信息，總結(jié)排隊論的理論知識和不同排隊模型的實際應(yīng)用.我將會通過上網(wǎng)和去圖書館借相關(guān)的書來得到資料信息．</p><p>　　1.5 研究步驟</p><p>　　第一部分：引言．分

21、析研究背景、研究意義、研究目標、研究方法和研究思路．</p><p>　　第二部分：排隊論的基本概念．排隊系統(tǒng)的定義，排隊系統(tǒng)的機構(gòu).</p><p>　　第三部分：排隊模型概述.排隊論常用模型分類，排隊模型常數(shù)，排隊模型特征指標.</p><p>　　第四部分：排隊模型. 標準的排隊模型，對長有限的排隊模型，有限客源的排隊模型.</p><p&

22、gt;　　第五部分：排隊模型．標準排隊模型，容量有限的排隊模型，客源有限的排隊模型.</p><p>　　第六部分：一般排隊的服務(wù)模型.排隊模型，排隊模型，排隊模.</p><p>　　第七部分：排隊系統(tǒng)優(yōu)化. 模型中最優(yōu)化服務(wù)率，模型中最優(yōu)化服務(wù)臺數(shù).</p><p>　　第八部分：排隊論的應(yīng)用：排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理的應(yīng)用.</p>&

23、lt;p><b>　　第九部分：小結(jié).</b></p><p>　　2 排隊論的基本概念</p><p>　　排隊論(queuing theory), 或稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論, 是通過對服務(wù)對象到來及服務(wù)時間的統(tǒng)計研究，得出這些數(shù)量指標（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統(tǒng)計規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)

24、對象的需要，又能使機構(gòu)的費用最經(jīng)濟或某些指標最優(yōu)【3】.它是數(shù)學運籌學的分支學科.也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊現(xiàn)象隨機規(guī)律的學科.廣泛應(yīng)用于計算機網(wǎng)絡(luò), 生產(chǎn), 運輸, 庫存等各項資源共享的隨機服務(wù)系統(tǒng).排隊論研究的內(nèi)容有3個方面：統(tǒng)計推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，即和排隊有關(guān)的數(shù)量指標的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題．其目的是正確設(shè)計和有效運行各個服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益【4】．</p><p>　　我們首先介紹

25、一下排隊系統(tǒng)．</p><p>　　2.1 排隊系統(tǒng)的定義</p><p>　　排隊系統(tǒng)又稱服務(wù)系統(tǒng).服務(wù)系統(tǒng)由服務(wù)機構(gòu)和服務(wù)對象（顧客）構(gòu)成.服務(wù)對象到來的時刻和對他服務(wù)的時間（即占用服務(wù)系統(tǒng)的時間）都是隨機的.</p><p>　　排隊論中把尋求服務(wù)者統(tǒng)稱為顧客，顧客可能是人，也可以是物；把為顧客服務(wù)者統(tǒng)稱為服務(wù)臺，服務(wù)臺可能是人，也可以是物.排隊是指顧客到達

26、服務(wù)系統(tǒng)而不能得到及時服務(wù)，在允許等候的情況下自愿留下來形成的隊列.隊列可分為單隊和多隊；對長和隊列長是兩個概念，所謂隊列長是指排隊的顧客數(shù)；所謂隊長是指排隊的顧客加上正在接受服務(wù)的顧客數(shù)【5】.</p><p>　　2.2 排隊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)</p><p>　　排隊系統(tǒng)由輸入過程、排隊規(guī)則與服務(wù)機構(gòu)等三個部分組成【6】.</p><p>　　2.2.1 輸入過程

27、</p><p>　　輸入是指顧客到達排隊系統(tǒng)，可能有下列各種不同情況，當然這些情況并不是彼此排斥的.</p><p>　?。?）顧客的總體（稱為顧客源）的組成可能是有限的，也可能是無限的.上游河水流入水庫可以認為總體是無限的，工廠內(nèi)停機待修的機器顯然是有限的總體.</p><p>　　（2）顧客到來的方式可能是一個一個的，也可能是成批的.例如到餐廳就餐就有單個到來

28、的顧客和受邀請來參加宴會的成批顧客，我們將只研究單個到來的情形.</p><p>　?。?）顧客相繼到達的間隔時間可以是確定型的，也可以是隨機型的.</p><p>　?。?）顧客的到達可以是相互獨立，就是說，以前的到達情況對以后顧客的到來沒有影響,否則就是有關(guān)聯(lián)的.</p><p>　?。?）輸入過程可以是平穩(wěn)的，或稱對時間是齊次的，是指描述相繼到達的間隔時間分布

29、和所含參數(shù)（如期望值、方差等）都是與時間無關(guān)的，否則稱為非平穩(wěn)的.非平穩(wěn)情形的數(shù)學處理是很困難的.</p><p>　　2.2.2 排隊規(guī)則</p><p>　?。?）顧客到達時，如所有服務(wù)臺都正被占用，在這種情形下顧客可以隨即離去，也可以排隊等候.隨即離去的稱為即時制或稱損失制，因為這將失掉許多顧客；排隊等候的稱為等待制.</p><p>　　對于等待制，為顧客

30、進行服務(wù)的次序可以采用下列各種規(guī)則：先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，隨即服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)等.</p><p>　　先到先服務(wù)，即按到達次序接受服務(wù)，這是最通常的情形.</p><p>　　后到先服務(wù)，如乘電梯的顧客常是后入先出的.倉庫中存放的厚鋼板也是如此.在情報系統(tǒng)中，最后到達的信息往往是最有價值的，因而常采用后到先服務(wù)（指被采用）的規(guī)則.</p><p>　　隨即服

31、務(wù)，指服務(wù)員從等待的顧客中隨即地選取其一進行服務(wù)，而不管到達的先后.</p><p>　　有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)，如醫(yī)院對于病情嚴重的患者將給予優(yōu)先治療.</p><p>　?。?）從占有的空間來看，隊列可以排在具體的處所，也可以是抽象的.由于空間的限制或其他原因，有的系統(tǒng)要規(guī)定容量（即允許進入排隊系統(tǒng)的顧客數(shù)）的最大限；有的沒有這種限制（即認為容量可以是無限的）.</p><

32、p>　　（3）從隊列的數(shù)目看，可以是單列，也可以是多列.在多列的情形，各列間的顧客有的可以相互轉(zhuǎn)移，有的不能.有的排隊顧客因等候時間過長而中途退出，有的不能退出，必須堅持到被服務(wù)為止.</p><p>　　2.2.3 服務(wù)機構(gòu)</p><p>　　從機構(gòu)形式和工作情況看有以下幾種情況</p><p>　?。?）服務(wù)機構(gòu)可以沒有服務(wù)員，也可以由一個或多個服務(wù)員

33、（服務(wù)臺、通道、窗口等）.</p><p>　?。?）在有多個服務(wù)臺的情形中，它們可以是平行排列（并列）的，可以是前后排列（串列）的，也可以是混合的.</p><p>　?。?）服務(wù)方式可以對單個顧客進行，也可以對成批顧客進行，公共汽車對在站臺等候的顧客成批進行服務(wù).</p><p>　?。?）和輸入過程一樣，服務(wù)時間也分確定型的和隨機型的.自動沖洗汽車的裝置對每輛

34、汽車沖洗的時間就是確定型的，但大多數(shù)情形的服務(wù)時間是隨機的.對于隨機型的服務(wù)時間，需要知道它的概率分布.</p><p>　?。?）和輸入過程一樣，服務(wù)時間的分布我們總假定是平穩(wěn)的，即分布的期望值、方差等參數(shù)都不受時間的影響.</p><p><b>　　排隊模型概述</b></p><p>　　1953年康道爾（D. G. Kendall）提

35、出一種排隊系統(tǒng)描述模型，稱為Kendall記號：</p><p>　　式中 X為輸入流分布類型（D型、M型、型）；</p><p>　　Y為服務(wù)流分布類型（D型、M型、G型、型）；</p><p>　　Z為服務(wù)臺并列的數(shù)目（，）.</p><p>　　1966年（A. M. Lee）在康道夫記號的基礎(chǔ)上又加以增補.</p>&l

36、t;p>　　1971年一次關(guān)于排隊論符號標準化會議上，決定將Kandall記號擴充成為</p><p>　　式中 A為系統(tǒng)容量或隊列長度（為系統(tǒng)無限，為常數(shù)為系統(tǒng)有限）；</p><p>　　B為客源數(shù)目大小（為客源無限，為常數(shù)為客源有限）；</p><p>　　C為服務(wù)規(guī)則（為先到先服務(wù)，為后到先服務(wù)）.</p><p>　　為了簡化

37、起見，為標準型，可以只寫出；如果寫成，略去了時一定是指排隊規(guī)則為先到先服務(wù)【7】.</p><p><b>　　排隊論常用模型分類</b></p><p>　　單服務(wù)臺（S=1）排隊模型</p><p>　?。?）標準型排隊模型：；</p><p>　?。?）隊長有限排隊模型：；</p><p>

38、　?。?）客源有限排隊模型：；</p><p>　?。?）定長服務(wù)排隊模型：；</p><p>　?。?）服務(wù)時間為任意隨機分布排隊模型：；</p><p>　?。?）服務(wù)時間為愛爾朗分布排隊模型：；</p><p>　　2.多服務(wù)臺（）排隊模型</p><p>　?。?）標準型排隊模型：；</p>&l

39、t;p>　?。?）隊長有限排隊模型：；</p><p>　?。?）客源有限排隊模型：；</p><p>　　3.2 排隊模型常數(shù)</p><p>　　1.基本的參數(shù)有兩個：（1）顧客平均到達率（到達顧客數(shù)/單位時間）或顧客相繼到來平均的間隔時間；（2）服務(wù)臺的平均服務(wù)率（服務(wù)完成離去的顧客數(shù)/單位時間）或顧客服務(wù)平均占用時間.</p><

40、;p>　　2.模型平輔助參數(shù)：（1）對多服務(wù)臺排隊模型而言其服務(wù)臺數(shù)；（2）對隊長容量有限的排隊模型而言其N為常數(shù)；（3）對客源大小有限的排隊模型而言其m為常數(shù).</p><p>　　3.3 排隊模型的特征指標</p><p>　　1. ：根據(jù)表達式的不同，可以有不同的解釋.對模型而言，有以下三種解釋：（1）稱為顧客平均到達率與平均服務(wù)率之比；（2）稱為顧客服務(wù)時間與到達間隔時間

41、之比，或稱服務(wù)強度；（3）稱為服務(wù)臺平均利用率.</p><p>　　2. 為服務(wù)臺空閑率、服務(wù)臺等候顧客到來的概率、顧客到來即時得到服務(wù)的概率.</p><p>　　3. 為系統(tǒng)內(nèi)的有（）個顧客的（狀態(tài)）概率.</p><p>　　4. 為系統(tǒng)內(nèi)存在顧客總數(shù)的期望值，包括排隊等候的顧客平均數(shù)加上正在服務(wù)臺接受服務(wù)的顧客平均數(shù)，簡稱平均對長或顧客逗留總數(shù).<

42、/p><p>　　5. 為排隊中顧客數(shù)的期望值，又稱隊列長.</p><p>　　6. 為顧客在系統(tǒng)內(nèi)的時間的期望值，又稱逗留時間，包括排隊等待的平均時間加上接受服務(wù)的平均時間.</p><p>　　7. 為顧客排隊時間的期望值，又稱排隊（等待）時間.</p><p>　　8. 為顧客時間的損失系數(shù)，即排隊平均時間與平均服務(wù)時間之比.</p

43、><p>　　9. 為服務(wù)臺機會損失概率，適用于損失制、混合制的排隊系統(tǒng)，因系統(tǒng)容量（N為常數(shù)）有限而失掉顧客的平均比率【8】.</p><p><b>　　排隊模型</b></p><p>　　模型是研究顧客到達服從以為平均到達率的泊松分布，服務(wù)時間服從負指數(shù)分布 、單臺服務(wù)、單列隊及先到先服務(wù)的排隊系統(tǒng)的特征指標計算及應(yīng)用方法.</p&

44、gt;<p>　　該模型按隊列容量和客源大小的不同，可分為標準型、容量有限型、客源有限型【9】.</p><p>　　模型是排隊模型中最簡單的一類模型.</p><p><b>　　標準的排隊模型</b></p><p>　　標準的排隊模型適用范圍</p><p>　　輸入過程：客源無限（），顧客到達系統(tǒng)服

45、從以為平均到達率的泊松分布（即M型），顧客是單個相互獨立地到來，到達過程呈平穩(wěn)狀態(tài)；、</p><p>　　排隊與服務(wù)規(guī)則：隊列容量無限（），形成單對，先到先服務(wù)（FCFS）；</p><p>　　服務(wù)機構(gòu)：單臺服務(wù)（S=1），顧客服務(wù)時間服從以為平均服務(wù)率的負指數(shù)分布（即M型）.</p><p><b>　　標準的模型參數(shù)</b></p

46、><p><b>　　顧客平均到達率</b></p><p><b>　　窗口服務(wù)率</b></p><p><b>　　標準的模型特征指標</b></p><p><b>　　服務(wù)強度</b></p><p>　　在系統(tǒng)中的定義域為（

47、），如果，則，在競爭取勝的服務(wù)系統(tǒng)里，顧客將自動離去另擇服務(wù)機構(gòu)；在沒有競爭的情況下，顧客隨機到來也會形成長蛇陣.</p><p><b>　　服務(wù)臺空閑率</b></p><p><b>　　，（）</b></p><p>　　易看出，時，，表明，服務(wù)臺空閑概率極小，服務(wù)強度最高.這種情況在設(shè)計與建設(shè)隨機服務(wù)系統(tǒng)里是不允

48、許出現(xiàn)的，因為，都是統(tǒng)計數(shù)據(jù)的期望值，是不能人為加以控制的，因而變大及變小一旦發(fā)生，隊列將變成無窮大.</p><p>　　當是，，，這種情況對服務(wù)臺經(jīng)營極為不利.現(xiàn)實中某些服務(wù)行業(yè)（包括企業(yè)機修、電修部門）盲目貪大求洋，或?qū)驮垂烙嫴蛔?，或變成損失制經(jīng)營，其后果就是損失極大.</p><p>　　排隊系統(tǒng)中某時刻有個顧客（）概率：</p><p><b>

49、;　　，（，）</b></p><p><b>　　在系統(tǒng)中隊長期望值</b></p><p><b>　　，（，）</b></p><p>　　在系統(tǒng)中隊列長期望值</p><p><b>　　，（）</b></p><p>　　在系統(tǒng)中顧

50、客逗留的平均時間</p><p>　　在系統(tǒng)中顧客平均等待時間</p><p>　　顧客因?qū)で蠓?wù)造成的時間損失系數(shù)R</p><p>　　例1. 某修理店只有一個修理工人，來修理東西的顧客到達次數(shù)服從泊松分布，平均每小時4人；修理時間服從負指數(shù)分布，平均6分鐘，求：（1）修理店空閑時間的概率；（2）店內(nèi)有3個顧客的概率；（3）店內(nèi)至少有1個顧客的概率；（4）在店內(nèi)

51、顧客平均數(shù)（5）在店內(nèi)平均逗留時間；（6）等待服務(wù)的顧客平均數(shù)；（7）平均等待修理（服務(wù)）時間；（8）必須在店內(nèi)消耗15分鐘以上的效果【10】.</p><p>　　解：由題意知題設(shè)排隊系統(tǒng)屬；模型</p><p>　　且（人/小時）=（人/分鐘），（人/分），</p><p>　?。?）=1-0.4=0.6； （2）</p><p>　　

52、（3） （4）（人）</p><p><b>　?。?）（分鐘）</b></p><p><b>　?。?）（人/分）</b></p><p><b>　?。?）（分/人）</b></p><p><b>　　（8）</b></p>&l

53、t;p>　?。櫩驮谙到y(tǒng)中逗留時間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即：）.</p><p>　　4.2 隊長容量有限的排隊模型</p><p><b>　　1.適用范圍</b></p><p>　?。?）隊長容量有限（為常數(shù)）：隊列長最大容量為加上窗口數(shù)（）等于；</p><p>　?。?）其他條件與標準的模型相同<

54、/p><p>　　2．容量有限模型參數(shù)</p><p>　?。?）顧客平均到達率</p><p><b>　?。?）窗口服務(wù)率</b></p><p><b>　?。?）系統(tǒng)最大容量</b></p><p>　　當N=1時，由于，對列才為，則</p><p&g

55、t;<b>　??；</b></p><p>　　為“即時制”單服務(wù)臺模型</p><p>　　3.容量有限模型特征指標</p><p><b>　?。?），</b></p><p><b>　?。?），</b></p><p><b>　?。?

56、），</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b&g

57、t;　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　例1. 某單人理發(fā)店內(nèi)有4把椅子接待人們排隊等待理發(fā).當4把椅子都坐滿顧客時，后來的顧客就不進店而離去.顧客平均到達速度為4人/小時，理發(fā)時間平均10分鐘/人.沒到達過程為泊松流，服務(wù)時間服從負指數(shù)分布.</p><p>　　求：（1）顧客一到達

58、就理發(fā)的概率；</p><p>　?。?）系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值和排隊等待的顧客數(shù)的期望值；</p><p>　?。?）顧客在理發(fā)店內(nèi)逗留的全部時間的期望值W；</p><p>　?。?）在可能到達的顧客中因客滿而離開的概率；</p><p>　　解：依題意，屬于（；）排隊系統(tǒng).</p><p>　　系統(tǒng)總量為可供排隊的

59、椅子數(shù)加上供理發(fā)的椅子數(shù)，即總?cè)萘縉=4+1=5，（人/小時），（人/小時），.</p><p>　　（1）顧客一到達就能理發(fā)的概率就是系統(tǒng)中沒有顧客的概率，這是因為只在系統(tǒng)中一個顧客都沒有的情況下，顧客一到達才能立即理發(fā).</p><p><b>　　=0.365；</b></p><p>　?。?）=1.423（人）；</p>

60、<p><b>　?。ㄈ?小時）；</b></p><p>　　=0.788（人）；</p><p>　?。?）=0.374（小時）；</p><p>　?。?）因客滿而離開的概率，即為理發(fā)店的損失率.</p><p>　　4.3 有限客源的模型</p><p>　　1.有限客源模型

61、適用范圍</p><p>　?。?）顧客源有限，；</p><p>　?。?）其他條件與標準模型相同.</p><p>　　2.有限客源模型參數(shù)</p><p>　?。?）顧客平均到達率</p><p><b>　?。?）窗口服務(wù)率</b></p><p>　?。?）顧客源

62、大?。橛邢蕹?shù)）</p><p>　　3.有限客源模型特征指標</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b

63、></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）

64、</b></p><p>　　例1. 某車間有5臺機器，每臺機器的連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負指數(shù)分布，平均連續(xù)運轉(zhuǎn)時間15分鐘，有一個修理工，每次修理時間服從負指數(shù)分布，平均每次12分鐘.</p><p>　　求：（1）修理工空閑的概率；（2）5臺機器都出故障的概率；（3）出故障的平均臺數(shù)；（4）等待修理的平均臺數(shù)；（5）平均停工時間；（6）平均等待修理的時間；（7）評價這些結(jié)果【11

65、】.</p><p><b>　　解：=5，，，</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　?。?）

66、（臺）；</b></p><p><b>　　（4）（臺）；</b></p><p><b>　?。?）（分鐘）；</b></p><p><b>　?。?）（分鐘）；</b></p><p>　?。?）機器停工時間過長，修理工幾乎沒有空間時間，應(yīng)當提高服務(wù)率減少修

67、理時間或增加修理工人.</p><p><b>　　排隊模型</b></p><p>　　模型系統(tǒng)是研究顧客到達服從泊松分布，服務(wù)時間服從負指數(shù)分布，多臺服務(wù)（）的服務(wù)系統(tǒng)的特征指標計算及其應(yīng)用方法. 排隊模型按系統(tǒng)容量N、客源大小的不同，可分為標準型、容量有限型、客源有限型等排隊模型【12】.</p><p>　　標準的排隊模型（，）<

68、/p><p>　　1.適用范圍：顧客到來服從泊松分布，服務(wù)時間服從負指數(shù)分布，多臺服務(wù)（）并聯(lián)服務(wù)；客源無限（足夠大），對長無限（N足夠大），單隊等待，先到先服務(wù)（FCFS）.</p><p>　　2. 標準模型參數(shù)有三個，即顧客平均到達率、服務(wù)臺平均服務(wù)率、多服務(wù)臺（）.</p><p>　　4.標準模型的特征指標</p><p><b&

69、gt;　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>&

70、lt;b>　?。?）</b></p><p><b>　　（7）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　例1. 三個打字員，平均打印文件的速度為件/h，文件到達率件/h,式求：（1）在等待打印的平均文件數(shù)；（2）在系統(tǒng)內(nèi)的平均文件件數(shù)；（3）文件在系統(tǒng)內(nèi)的平均停留時間；（

71、4）文件的平均等待時間；（5）三個打字員均不空閑的概率.</p><p>　　解：依題意屬于；排隊模型.</p><p><b>　　已知S=3，，</b></p><p><b>　　，于是得：</b></p><p>　?。?）=3.51（件）；</p><p>　?。?

72、）=6.01（件）；</p><p>　?。?）=0.4（件）；</p><p>　?。?）=0.234（小時）；</p><p><b>　?。?）.</b></p><p>　　5.2 容量有限的排隊模型</p><p>　　1.適用范圍：顧客到來的服從泊松分布，服務(wù)時間服從負指數(shù)分布，多臺

73、服務(wù)（）并聯(lián)服務(wù)；客源無限（足夠大），隊長容量有限（為常數(shù)），單隊等待，先到先服務(wù)（）.</p><p>　　2容量有限模型參數(shù)有四個：即顧客平均到達率、服務(wù)臺平均服務(wù)率、多服務(wù)臺（）、有限的系統(tǒng)容量（）.</p><p>　　3.容量有限模型特征指標</p><p><b>　?。?）</b></p><p><

74、b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　?。?）式中為顧客的損失的期望值</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b&

75、gt;　?。?）</b></p><p><b>　　（8）</b></p><p>　?。?）愛爾朗喚損失公式</p><p>　　令，為即時制多臺服務(wù)臺排隊模型.</p><p>　　5.3 客源有限的排隊模型</p><p>　　1.適用范圍：顧客到來的服從泊松分布，服務(wù)時間服

76、從負指數(shù)分布，多臺服務(wù)（）并聯(lián)服務(wù)；客源有限（為常數(shù)且），對長容量無限（足夠大），單隊等待，先到先服務(wù)（）.</p><p>　　2.客源有限的模型的參數(shù)有四個：即顧客平均到達率、服務(wù)臺平均服務(wù)率、多服務(wù)臺S（S>0）、有限的客源數(shù)（為常數(shù)）.</p><p>　　3. 客源有限的模型特征指標</p><p><b>　　（1）</b>&

77、lt;/p><p>　?。?）顧客有效到達率</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p&g

78、t;<p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　?。?）無須服務(wù)（無故障）顧客數(shù)：</p><p>　　6 一般排隊服務(wù)的模型</p><p><b>　　6.1 排隊模型</b></p>

79、<p>　　排隊模型是研究顧客到來服從泊松分布、服務(wù)時間是確定的常數(shù)、單臺服務(wù)的特征指標計算及其應(yīng)用方法【13】.</p><p>　　1. 排隊模型適用范圍：顧客到來服從泊松分布、服務(wù)時間是確定的常數(shù)、單臺服務(wù)、顧客無限，隊列無限，單隊等待，先到先服務(wù).</p><p>　　2. 模型參數(shù)：顧客平均到達率，定長的服務(wù)時間（為定長服務(wù)率，Var（T）=0.</p>

80、<p>　　3. 模型特征指標：</p><p>　?。?）服務(wù)臺平均利用率</p><p><b>　?。?）服務(wù)臺空閑率</b></p><p>　?。?）系統(tǒng)內(nèi)有n個顧客的概率</p><p><b>　?。?）對長期望值</b></p><p><b&

81、gt;　?。?）隊列長期望值</b></p><p>　?。?）顧客平均逗留時間</p><p>　?。?）顧客平均等待時間</p><p>　?。?）顧客時間損失系數(shù)</p><p><b>　　6.2 排隊模型</b></p><p>　　排隊模型是1個服務(wù)臺的等待制服務(wù)系統(tǒng)，輸

82、入過程是以為參數(shù)的最簡單流，各顧客的服務(wù)時間是相互獨立且具有相同分布的隨機變量，其數(shù)學期望和方差分別為和.服務(wù)臺的服務(wù)強度 </p><p>　　當時，我們有如下的結(jié)論【14】：</p><p>　　同時我們還可以知道，忙期的平均長度</p><p>　　在忙期內(nèi)被服務(wù)的顧客的平均數(shù)為.</p><p><b>　　6.3

83、排隊模型</b></p><p>　　在排隊模型中，顧客的服務(wù)時間V服從愛爾朗分布，此時有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因此，當時，則下列各式【15】：</p><p><b>　　7 排隊系統(tǒng)優(yōu)化</b></p><p>　　排隊

84、現(xiàn)象普遍存在于人類生產(chǎn)和生活的各個方面，或者由于原先預(yù)見性差、設(shè)計的規(guī)模和能力偏小，或者事物的發(fā)展失去了控制，使我們許多系統(tǒng)服務(wù)質(zhì)量和水平不盡合理，給生產(chǎn)和生活帶來了不方便或造成損失.碼頭、車站、機場、交通樞紐、城市電話局、道路和供排水管道、工廠的機修車間等措施，一旦建成，起碼要服務(wù)幾十年，若先天不足，后患無窮.比如設(shè)計能力過大，會造成長期損失；若能力不足，改造起來將很困難.因此對服務(wù)機構(gòu)進行最優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計師非常必要的戰(zhàn)略問題.實踐證明

85、，即使是較好的服務(wù)設(shè)施，在營運過程中會發(fā)生服務(wù)能力不適應(yīng)顧客需求的情況，這就需要對服務(wù)系統(tǒng)進行系統(tǒng)分析與診斷，并采取改進措施，使之進一步合理化.研究排隊論的目的，就是為了對新的系統(tǒng)進行最優(yōu)化設(shè)計，對已處于運行中的系統(tǒng)進行最優(yōu)化控制，使之到達既能比較充分地滿足顧客需要，又能使服務(wù)系統(tǒng)總的耗費最?。ɑ蚴找孀畲螅?6】.</p><p>　　7.1 模型中最優(yōu)化服務(wù)率</p><p><

86、b>　　1.標準的模型</b></p><p>　　取目標函數(shù)為單位時間服務(wù)成本與顧客在系統(tǒng)逗留費用之和的期望值</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中為當時服務(wù)機構(gòu)單位時間的費用；為每個顧客在系統(tǒng)停留單位時間的費用.將之值代入（1），得</p><p>　　為了求極小值，

87、先求，然后令它為0，</p><p>　　解出最優(yōu)的 </p><p>　　根號前取+號，是因為保證的緣故.</p><p>　　系統(tǒng)中顧客最大限制數(shù)為的情形</p><p>　　在這情形下，系統(tǒng)中如已有個顧客，則后來的顧客即被拒絕，于是：</p><p>　?。罕痪芙^的概率（借用電話系統(tǒng)的術(shù)語，

88、稱為呼損率）；</p><p>　?。耗芙邮芊?wù)的概率；</p><p>　?。簡挝粫r間實際進入服務(wù)機構(gòu)顧客的平均數(shù).在穩(wěn)定狀態(tài)下，它等于單位時間實際內(nèi)服務(wù)完成的平均顧客數(shù).</p><p>　　設(shè)每服務(wù)1人能收入元，于是單位時間收入的期望值是元</p><p>　　純利潤 </p><p>

89、　　先求，然后令它為0，得</p><p>　　最優(yōu)的解應(yīng)合于上式.上式中、 、、都是給定的，但要由上式中解出是很困難的.通常通過數(shù)值計算來求的，或?qū)⑸鲜阶蠓剑▽σ欢ǖ模┳鳛榈暮瘮?shù)作出圖形，對于給定的，根據(jù)圖形可求出.</p><p>　　3.顧客源為有限的情形</p><p>　　按照機械故障來考慮.設(shè)共有機器臺，各臺連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負指數(shù)分布.有1個修理工理，修

90、理時間服從負指數(shù)分布.當服務(wù)率 時的修理費用 ，單位時間每臺機器運轉(zhuǎn)可得收入元.平均運轉(zhuǎn)臺數(shù)為，所以單位時間純利潤為</p><p>　　式中的稱為泊松部分和，而</p><p>　　為了最優(yōu)服務(wù)率，先求，然后令它為0，得</p><p>　　上式中、 、、都是給定的，但要由上式中解出是很困難的.通常通過數(shù)值計算來求的，或?qū)⑸鲜阶蠓剑▽σ欢ǖ模┳鳛榈暮瘮?shù)作出圖形，對

91、于給定的，根據(jù)圖形可求出.</p><p>　　7.2 模型中最優(yōu)化服務(wù)臺數(shù)</p><p>　　僅討論標準的模型，且在穩(wěn)態(tài)情形下，這時單位時間全部費用（服務(wù)成本與等待費用之和）的期望值</p><p><b>　?。?.2-1）</b></p><p>　　其中是服務(wù)臺數(shù)；是沒服務(wù)臺單位時間的成本；為每個顧客在系統(tǒng)停留

92、單位時間的費用；L是系統(tǒng)中顧客平均數(shù)或隊列中等待的顧客平均數(shù)（它們都隨C值的不同而不同）.因為和都是給定的，唯一能變動的是服務(wù)臺數(shù)，所以是的函數(shù)，現(xiàn)在是求最優(yōu)解使為最小.</p><p>　　因為C只取整數(shù)值，不是連續(xù)變量的函數(shù)，所以不能用經(jīng)典的微分法。我們采用邊際分析法（Marginal Analysis），根據(jù)是最小的特點，我們有</p><p>　　將（7.2-1）式中代入，得<

93、;/p><p><b>　　上式化解后，得，</b></p><p>　　依次去時L的值，并作兩相鄰的L值之差，因是已知數(shù)，根據(jù)這個數(shù)落在哪個不等式的區(qū)間里就可以定出</p><p><b>　　8 排隊論的應(yīng)用</b></p><p>　　8.1． 排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理的應(yīng)用【17】&

94、lt;/p><p>　　在高速公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管理中運用排隊論進行定量分析，運用排隊論的知識對其進行優(yōu)化和設(shè)計并建立合適的數(shù)學模型.通過對模型的優(yōu)化設(shè)計，建立高速公路收費站的服務(wù)臺與工作人員的配備模型，對避免盲目確定收費亭建設(shè)規(guī)模大小，提高收費站服務(wù)臺的服務(wù)和管理水平，降低運營成本等有著重要作用.</p><p>　　高速公路上的車輛陸續(xù)到達收費站，依次接受收費服務(wù)，然后離開收費站.如果

95、到達的車輛不能及時得到服務(wù)，就產(chǎn)生了排隊現(xiàn)象.高速公路收費系統(tǒng)，是一個典型的排隊系統(tǒng)。其中最具代表性的收費站系統(tǒng)即是滿足的排隊系統(tǒng)，上述符號中第一個為車輛的到達時間間隔服從負指數(shù)分布；第二個為收費服務(wù)時間服從負指數(shù)分布；為收費站有個收費亭；第一個為系統(tǒng)能容納無限個車輛，第二個為道路上的車源也是無限的；為系統(tǒng)采用先到先服務(wù)的規(guī)則.此排隊系統(tǒng)中，車輛排隊方式是多路排隊多通道各排一個隊，每個通道只為其相對應(yīng)的一隊車輛服務(wù)，車輛不能隨意換隊.此

96、種情況相當于個系統(tǒng)組成的排隊系統(tǒng).</p><p><b>　　計算公式：</b></p><p>　　設(shè)車輛平均到達強度為（輛/小時），系統(tǒng)服務(wù)員平均服務(wù)強度（輛/小時），交通強度，。如果，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果，系統(tǒng)的排隊長度將會無限增大，出現(xiàn)“爆炸”現(xiàn)象.因此要調(diào)整平均到達強度，使?jié)M足條件是，保持穩(wěn)定狀態(tài)即確保排隊能夠消散；如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但排隊和等待時間很長，也要

97、調(diào)整平均到達強度，使其排隊長和等待時間在我們預(yù)定的期望值內(nèi).</p><p><b>　　，（）</b></p><p><b>　　，（，）</b></p><p><b>　　在系統(tǒng)中隊長期望值</b></p><p><b>　　，（，）</b>&l

98、t;/p><p>　　在系統(tǒng)中隊列長期望值</p><p><b>　　，（）</b></p><p>　　在系統(tǒng)中車輛逗留的平均時間</p><p>　　在系統(tǒng)中車輛平均等待時間</p><p>　　應(yīng)用舉例：某高速公路出口收費站有四個出口收費通道，某時段之內(nèi)平均車輛到達率輛/h，服從泊松分布；每個

99、收費窗口負一輛汽車的平均時間為8s并且符合負指數(shù)分布.</p><p>　　現(xiàn)狀分析：此收費站系統(tǒng)屬于排隊系統(tǒng)，由于是多路排隊多通道服務(wù)方式，所以此收費站就等價于4個系統(tǒng)[18] [19]，我們這樣分析其中一個收費通道.</p><p>　　下面對收費站的各項指標進行分析：</p><p>　　收費站的平均車輛到達率為，則每一個收費通道的平均車輛到達率為；</

100、p><p>　　每個收費窗口平均服務(wù)率輛/h</p><p>　　每個窗口服務(wù)強度 這說明系統(tǒng)是穩(wěn)定的.</p><p>　　每個收費窗口的平均排隊長度輛</p><p>　　每個收費窗口系統(tǒng)中車輛平均時間</p><p><b>　　分鐘</b></p><p>　　由于此

101、收費站系統(tǒng)可以看出四個排隊模型，故一個窗口的排隊情況即可反映出整個收費站的排隊情況.目前我國高速公路收費站的服務(wù)水平通常采用車輛的平均排隊長度指標劃分四季服務(wù)水平.如表1：</p><p>　　表1 服務(wù)區(qū)等級劃分標準</p><p>　　本案例求得的平均排隊長度為16輛，運大于8輛，故司機乘客的感覺是無法忍受.由得出收費站通道排有n輛車的概率，如表2：

102、 </p><p>　　表2 收費站通道排有n輛車的概率</p><p>　　由表2可知排隊的車輛數(shù)大于8的概率為0.404，這說明該系統(tǒng)排長隊的概率很高，收費站勞動強度比較大，服務(wù)水平低.由于收費站的平均服務(wù)率是一定的，所以要通過控制車輛的平均到達率來提高收費站的服務(wù)水平.</p><p>　　結(jié)果分析：上述現(xiàn)狀分析針對此高速公路某高峰時段

103、的交通狀態(tài)得出的相應(yīng)各項指標.根據(jù)服務(wù)區(qū)等級劃分標準，我們決定車輛的平均排隊長度為1，來確定期望值到達率</p><p><b>　　由=1，得輛/h</b></p><p>　　為了更好地體現(xiàn)區(qū)間的控制作用，我們令收費站處的期望車輛到達率輛/h</p><p>　　=0.5.根據(jù)得出如下收費站前有n輛車等待的概率，表3</p>

104、<p>　　表3 收費站前有n輛車等待的概率</p><p>　　從表3中數(shù)據(jù)可知，排隊車輛數(shù)超過8的概率為0.00195，這與有表2得排隊的車輛數(shù)大于8的概率為0.404相比要小得多，這說明經(jīng)過對閉塞區(qū)間的設(shè)置，汽車到達收費站幾乎可以不用等待就可以服務(wù).</p><p><b>　　9.小結(jié)</b></p><p>　　由于解決

105、實際問題的需要，人們引進了一些排隊論的概念，并且對它們進行研究發(fā)展，使之成為一門系統(tǒng)化、全面化的理論.排隊論，是研究系統(tǒng)隨機聚散現(xiàn)象和隨機服務(wù)工作的數(shù)學理論和方法，又稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論，為運籌學的一個分支，是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學模型之一. 并且排隊論也隨之成為解決實際問題中的一種有力工具之一，其應(yīng)用的范圍也越來越廣泛. 本文通過對大量文獻資料的查閱，向人們介紹排隊論的理論，主要是排隊系統(tǒng)，排隊模型，排隊論

106、的應(yīng)用.第一部分：引言．分析研究背景、研究意義、研究目標、研究方法和研究思路．第二部分：排隊論的基本概念．排隊系統(tǒng)的定義，排隊系統(tǒng)的機構(gòu).第三部分：排隊模型概述.排隊論常用模型分類，排隊模型常數(shù)，排隊模型特征指標.第四部分：排隊模型. 標準的排隊模型，隊長容量有限的排隊模型，有限客源的排隊模型.第五部分：排隊模型．標準排隊模型，容量有限的排隊模型，客源有限的排隊模型.第六部分：一般排隊的服務(wù)模型，排隊模型，排隊模型，排隊模型第七部分：排

107、隊系統(tǒng)優(yōu)化. 模型中最優(yōu)化服務(wù)率，模型中最優(yōu)化服務(wù)臺數(shù).第八部分：排隊論的應(yīng)用：排隊論在公路收費站服務(wù)臺設(shè)計及管</p><p>　　總之，解決排隊問題，要用系統(tǒng)觀點與系統(tǒng)方法，在滿足需要的同時，綜合考慮需要與可能、服務(wù)于經(jīng)濟利益等因素，隨機服務(wù)系統(tǒng)有適量的排隊以達到經(jīng)濟損失最小為目標，進行系統(tǒng)分析與綜合協(xié)調(diào)，才能滿意地解決問題，這就有依賴于排隊論的研究與應(yīng)用.</p><p>　　本文的

108、目標運用排隊論及其不同的排隊模型解決一些數(shù)學上的實際問題. 熟悉排隊論的理論，通過學習可以具有分析問題，解決問題的基本能力，并且用相關(guān)的排隊論知識解決問題.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]張蕊.服務(wù)行業(yè)排隊論分析[J].齊齊海爾濱學報,2002,(6).</p><p>　　[2][美] Hamdy.

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