線性代數(shù)原理的幾個應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　線性代數(shù)原理的幾個應(yīng)用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：線性代數(shù)作為一獨立的數(shù)學分支有著自身獨特的思想方法和處理問題的

3、手法。并且隨現(xiàn)代科學技術(shù)的不斷發(fā)展，線性代數(shù)理論及其方法在科學研究、經(jīng)濟投入產(chǎn)出、工程技術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛、深入。本課題側(cè)重于線性代數(shù)的理論知識的實際運用，即從問題實例出發(fā)，建立合適的數(shù)學模型，利用線性代數(shù)的知識解決問題。從而提高在實際中運用線性代數(shù)原理以及其他所學知識的能力，提高分析問題，解決實際問題的能力。</p><p>　　關(guān)鍵詞：數(shù)學模型；指派問題；馬爾可夫鏈模；層次分析法</p>

4、<p>　　Some Applications of Linear Algebra Theory</p><p>　　Abstract：As an independent branch of mathematics, Linear Algebra has its own unique way of thinking and approach of problem solving. With the co

5、ntinuous development of modern science and technology, the theory of Linear Algebra and its methods, which have more and more widely, in-depth applications in scientific research, economic input-output, engineering and o

6、ther fields. This issue mainly focuses on linear algebra practical application of theoretical knowledge, that starting from the practica</p><p>　　Key words：Mathematical model；Assignment problem; Markov chain

7、 model; Analytic Hierarchy Process</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1. 引言1</b></p><p>　　1.1 研究背景1</p><p>　　1.2 研究意義1</p><p>　

8、　1.3 研究方法2</p><p>　　1.4 研究目標2</p><p>　　2 指派問題模型2</p><p>　　2.1 指派問題的定義2</p><p>　　2.1.1 指派問題數(shù)學模型2</p><p>　　2.1.2 指派問題最優(yōu)解的性質(zhì)3</p><p>

9、　　2.1.3 匈牙利法的介紹3</p><p>　　2.1.4 指派問題的極大化4</p><p>　　2.2 指派問題實例5</p><p>　　2.2.1 指派問題LINGO程序7</p><p>　　3 馬爾可夫鏈模型8</p><p>　　3.1 馬爾可夫鏈8</p>&

10、lt;p>　　3.1.1 馬爾可夫過程介紹8</p><p>　　3.1.2 馬爾可夫鏈的數(shù)學定義8</p><p>　　3.1.3 轉(zhuǎn)移概率矩陣9</p><p>　　3.1.4 馬爾可夫鏈的基本方程9</p><p>　　3.1.5 相關(guān)定義及定理10</p><p>　　3.2 馬爾可

11、夫鏈的應(yīng)用實例10</p><p>　　3.2.1模型建立及求解10</p><p>　　4 層次分析法12</p><p>　　4.1 層次分析法的產(chǎn)生背景12</p><p>　　4.1.1 層次分析法的廣泛應(yīng)用12</p><p>　　4.1.2 層次分析法的基本步驟13</p>

12、<p>　　4.2 層次分析法的預備知識13</p><p>　　4.2.1 比較尺度的確定13</p><p>　　4.2.2 構(gòu)造成對比較矩陣及其權(quán)向量計算14</p><p>　　4.2.3 一致陣的介紹14</p><p>　　4.2.4 關(guān)于一致性檢驗14</p><p>　

13、　4.2.5 組合權(quán)向量的確定15</p><p>　　4.3 層次分析法的實際應(yīng)用15</p><p>　　4.3.1 模型建立16</p><p>　　4.3.2 層次分析法的實際應(yīng)用過程16</p><p>　　4.3.3 層次分析法中和法的Matlab程序18</p><p>　　4.4

14、層次分析法的優(yōu)缺點19</p><p>　　4.4.1 層次分析法的優(yōu)點19</p><p>　　4.4.2 層次分析法的局限性19</p><p><b>　　5 結(jié)束語20</b></p><p>　　6 致謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　7 參考文獻21<

15、;/p><p><b>　　1. 引言</b></p><p><b>　　1.1 研究背景</b></p><p>　　歷史上線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于解線性方程組的問題，最初的線性方程組問題大都是來源于生活實踐[1]，正是實際應(yīng)用問題刺激了線性代數(shù)這一學科的誕生與發(fā)展。線性代數(shù)的這種發(fā)展主要是由于人們所研究的問題的規(guī)模

16、愈來愈大，愈來愈復雜，牽涉的變量成百上千，這樣復雜的問題，目前只能把變量之間的關(guān)系簡化為線性才好解。</p><p>　　線性代數(shù)作為一獨立的數(shù)學分支有著自身獨特的概念、思想方法和處理問題的手法,它更多的是從離散的角度研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。而線性代數(shù)課程在大學數(shù)學中占有重要的地位，它是高等院校普遍開設(shè)的一門基礎(chǔ)性數(shù)學課程[2]。線性代數(shù)主要是對理科、特別是數(shù)學系開設(shè)的。由于它廣泛的應(yīng)用價值，理、工、經(jīng)

17、、管等各個大學專業(yè)都把它列為必修課。但由于數(shù)學系開課，其內(nèi)容和要求難免帶有很深的數(shù)學專業(yè)的烙印，很難適應(yīng)大量工科學生的要求。針對這種情況，美國的線性代數(shù)教育從1990年起開始了一次大的改革，一些有名望的數(shù)學家們組成了線性代數(shù)課程研究組(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG) 探究線性代數(shù)教育如何滿足數(shù)學和非數(shù)學專業(yè)的不同需求, 以及如何使線性代數(shù)的教育得到更大的關(guān)注[3]。同年8月，美國

18、國家科學基金會贊助了大學線性代數(shù)課程計劃的一次會議，它把數(shù)學界和其他專業(yè)的許多代表聚集在一起。會產(chǎn)議生了以下重要的建議，簡稱為LACSG Recommendation它們是：（1）線性代數(shù)一定要滿足非數(shù)學專業(yè)的需要；</p><p>　　（2）這一門課程應(yīng)該是面向矩陣的； (3) 這一門課程應(yīng)該是根據(jù)學生的需要來組織的； (4) 這一門課程應(yīng)該利用新的計算技術(shù)</p>&l

19、t;p>　　第(1)條建議強調(diào)了非數(shù)學專業(yè)的學生要更多注重于應(yīng)用，并且教材中大量的應(yīng)用篇幅可以提高學生的理解水平和學習動力；第(2)條建議強調(diào)矩陣運算，即教材中要擺脫單個元素運算的中學方法；第(3)條建議強調(diào)從學生需要而不是教師思路出發(fā)，這里有兩個要點：一是闡述問題應(yīng)該從具體到抽象；二是要讓學生主動學習，就是要“帶著問題學”，而不是從定義出發(fā)。第(4)條建議使用數(shù)學軟件或圖形計算器. 大多數(shù)的教材今天都采用了MATLAB[4]。因

20、此對于普及線性代數(shù)原理的實踐就十分的有必要和有實際運用價值，數(shù)學模型這個詞匯也就應(yīng)運而生了，并且越來越多的出現(xiàn)在現(xiàn)代生產(chǎn)、工作中。</p><p><b>　　1.2 研究意義</b></p><p>　　隨著科學技術(shù)的迅速發(fā)展，線性代數(shù)的含義也在不斷擴大，它在科學研究、經(jīng)濟投入產(chǎn)出、工程技術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛、深入。而線性代數(shù)的原理都體現(xiàn)在基于在實際問題而建立

21、的數(shù)學模型中，比如城市規(guī)劃工作者需要建立一個包括人口、經(jīng)濟[5]、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學模型，為領(lǐng)導層對城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學根據(jù)；電氣工程師必須建立所要控制的生產(chǎn)過程的數(shù)學模型，用這個模型對控制裝置做出相應(yīng)的設(shè)計和計算；就是在日?；顒尤缭L友、采購當中，人們也會談?wù)撜业揭粋€數(shù)學模型[6]，優(yōu)化一下出行的路線。由此可見，線性代數(shù)的原理已經(jīng)融入生活的方方面面, 本課題側(cè)重對線性代數(shù)的理論知識的實際運用就顯得很有理論意義和實際意義。&l

22、t;/p><p><b>　　1.3 研究方法</b></p><p>　　針對實際生活的例子，為了某個指定目的將其某一部分信息簡縮、提煉而構(gòu)成的數(shù)學模型。其中將會運用到線性代數(shù)的許多理論，并且還會借助計算機輔助模型求解，比如運用Lingo、Matlab 等數(shù)學軟件。</p><p><b>　　1.4 研究目標</b>&

23、lt;/p><p>　　通過本課題的研究，希望能夠用建模思想建設(shè)線性代數(shù)，引入線性代數(shù)的有關(guān)原理應(yīng)用到實際中去。從問題實例出發(fā)，建立合適的數(shù)學模型利用線性代數(shù)的知識解決問題[7]。能夠?qū)?shù)據(jù)進行合理分析與預測，提高實際的建模能力。</p><p><b>　　2 指派問題模型</b></p><p>　　2.1 指派問題的定義</p>

24、;<p>　　在生活中經(jīng)常遇到這樣的問題，某單位需完成項任務(wù)，恰好有個人可承擔這些任務(wù)。由于每人的專長不同，各人完成任務(wù)不同，效率也不同。于是產(chǎn)生應(yīng)該指派哪個人去完成哪些任務(wù)，使完成項任務(wù)的效率最高。這類問題稱為指派問題[8]。</p><p>　　2.1.1 指派問題數(shù)學模型</p><p>　　當問題要求極小化時數(shù)學模型是：</p><p>　　系

25、數(shù)矩陣，其元素表示指派第個人去完成第項任務(wù)時的效率。</p><p>　　解題時需引入變量；其取值只能是或。并令</p><p>　　約束條件說明第項任務(wù)只能由1人去完成；約束條件說明第人只能完成項任務(wù)。滿足約束條件的可行解也可寫成表格或矩陣形式，稱為解矩陣。</p><p>　　2.1.2 指派問題最優(yōu)解的性質(zhì)</p><p>　　指派問

26、題的最優(yōu)解有這樣性質(zhì)，若從系數(shù)矩陣一行（列）各元素中分別減去該行（列）的最小元素，得到新矩陣，那么以為系數(shù)矩陣求得的最優(yōu)解和用原系數(shù)矩陣求得的最優(yōu)解相同。利用這個性質(zhì)，可使原系數(shù)矩陣變換為含有很多0元素的新系數(shù)矩陣，而最優(yōu)解保持不變，在系數(shù)矩陣中，我們關(guān)心位于不同行不同列的0元素，以下簡稱為獨立的0元素。若能在系數(shù)矩陣中找出個獨立的0元素；則令解矩陣中對應(yīng)這個獨立的0元素的元素取值為1，其他元素為0。將其代入目標函數(shù)中得到，它一定是最小

27、。即就是原問題的最優(yōu)解。</p><p>　　2.1.3 匈牙利法的介紹</p><p>　　庫恩于1955年提出了指派問題的解法，他引用了匈牙利數(shù)學家康尼格一個關(guān)于矩陣中0元素中元素的定理：系數(shù)矩陣中獨立0元素的最多個數(shù)等于能覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)。這解法稱為匈牙利法[8]。以后在方法上雖有不斷改進，但仍沿用這個名稱。</p><p>　　第一步：使指派問題

28、的系數(shù)矩陣經(jīng)變換，在各行各列中都出現(xiàn)0元素。</p><p>　　從系數(shù)矩陣的每行元素減去該行的最小元素；</p><p>　　再從所得系數(shù)矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。</p><p>　　若某行（列）已有0元素，那就不必再減了。</p><p>　　第二步：進行試指派，以尋求最優(yōu)解。按以下步驟進行。</p><p

29、>　　經(jīng)第一步變換后，系數(shù)矩陣中每行每列都已有了0元素；但需要找出個獨立的0元素。若能找出，就以這些獨立0元素對應(yīng)解矩陣中的元素為1，其余為0，這就得到最優(yōu)解。</p><p>　　（1）從只有一個0元素的行（列）開始，給這個0元素加圈，記作◎。這元素對這行所代表的人，只有一種任務(wù)可指派。然后劃去◎所在列（行）的其他0元素，記作。這表示這列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考慮別人了。</p>&l

30、t;p>　?。?）給只有一個0元素列（行）的0元素加圈，記作◎；然后劃去◎所在行的0元素，記作。</p><p>　　（3）反復進行（1），（2）兩步，直到所有0元素都被圈出或劃掉為止。</p><p>　?。?）若仍有沒有劃圈的0元素，且同行（列）的0元素至少有兩個。從剩有0元素最少的行列開始，比較這行各0元素所在列中0元素的數(shù)目，選擇0元素少的那列的這個0元素加圈，然后劃掉同行同

31、列的其他0元素?？煞磸瓦M行，直到所有0元素都已圈出和劃掉為止。</p><p>　　（5）若◎元素的數(shù)目等于矩陣的階數(shù)，那么指派問題的最優(yōu)解已得到。若，則轉(zhuǎn)入下一步。</p><p>　　第三步：作最少的直線覆蓋所有0元素，以確定該系數(shù)矩陣中能找到最多的獨立元素數(shù)。為此按以下步驟進行：</p><p>　　對沒有◎的行打√號；</p><p>

32、;　　對已有打√號的列中含◎元素的行打√號；</p><p>　　再對打有√號的列含有◎元素的行打√號；</p><p>　　重復（2），（3）直到得不出新的打√號的行、列為止</p><p>　　對沒有打√號的行畫一橫線，有打√號的列畫一縱線，這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)。</p><p>　　令這直線數(shù)為，若，說明必須再變換當前的系

33、數(shù)矩陣，才能找到個獨立的0元素，為此轉(zhuǎn)第四步：若，而，應(yīng)回到第二步（4），另行試探。</p><p>　　第四步： 對矩陣進行變換的目的是增加0元素。為此在沒有被直線覆蓋的部分中找出最小元素。然后在打√行各元素中都減去這最小元素，而在打√列的各元素都加上這最小元素，以保證原來0元素不變，這樣得到新系數(shù)矩陣，若得到個獨立的0元素，則已得最優(yōu)解，否則回到第三步重復進行。</p><p>　　當

34、指派問題的系數(shù)矩陣，經(jīng)過變換得到了同行和同列中都有兩個或者兩個以上0元素時。這時可以任選一行（列）中某一個0元素，再劃去同行（列）的其他0元素。</p><p>　　2.1.4 指派問題的極大化</p><p>　　對于極大化的問題，即求</p><p><b>　　可令</b></p><p>　　其中是足夠大的常數(shù)

35、，這時系數(shù)矩陣可變換為</p><p>　　這時，符合匈牙利法的條件。目標函數(shù)經(jīng)變換后，即解</p><p>　　所得最小解就是原問題的最大解，因為</p><p>　　因為常數(shù)，所以當取最小時，便為最大。</p><p>　　2.2 指派問題實例</p><p>　　實例：[9]某校經(jīng)過預賽選出，，，四名學生，將派

36、他們?nèi)⒓釉摰貐^(qū)各學校之間的競賽。此次競賽的四門功課考試在同一時間進行，因此每人只能參加一門，比賽結(jié)果將以總分計名次（不計個人名次）。下表是四名學生選拔時的成績，應(yīng)如何組隊較好？</p><p>　　解：本題目是極大化的指派問題，即要求4名學生每人各參加一門科目的總分之和最高，那么我們就可以根據(jù)極大化的問題來建立模型。</p><p>　　4名學生的各科失分表</p><

37、;p>　　那么只要4名學生指派后的扣分之和最小，即他們的成績之和最優(yōu)。</p><p><b>　　失分矩陣</b></p><p><b>　　目標函數(shù)：</b></p><p><b>　　匈牙利法：</b></p><p>　　第一步：矩陣經(jīng)變換，在各行各列中都出現(xiàn)

38、0元素。</p><p><b>　　→→</b></p><p>　　第二步：進行試指派，以尋求最優(yōu)解</p><p><b>　　→→</b></p><p>　　減去最小元素4得到→→</p><p>　　減去最小元素2得到→</p><p>　

39、　因此它具有4個獨立的0元素，這就得到了最優(yōu)解，</p><p><b>　　相應(yīng)的解矩陣為</b></p><p>　　由解矩陣得矩陣最優(yōu)指派方案B學生→數(shù)學、A學生→物理、C學生→化學、D學生→英語。</p><p>　　2.2.1 指派問題LINGO程序</p><p>　　LINGO 軟件運行程序如下：<

40、/p><p><b>　　model:</b></p><p>　　!4位學生，4門科目的分配問題;</p><p><b>　　sets:</b></p><p>　　students/s1..s4/;</p><p>　　courses/c1..c4/;</p>

41、<p>　　links(students, courses): cost,volume;</p><p><b>　　endsets</b></p><p><b>　　!目標函數(shù);</b></p><p>　　min=@sum(links: cost*volume);</p><p>

42、　　!每位學生只能參加一門科目;</p><p>　　@for(students(I):</p><p>　　@sum(courses(J): volume(I,J))=1;</p><p><b>　　);</b></p><p>　　!每們科目只能有一名學生;</p><p>　　@for(c

43、ourses(J):</p><p>　　@sum(students(I): volume(I,J))=1;</p><p><b>　　);</b></p><p><b>　　data:</b></p><p>　　cost= 10 5 22 17 </p><p>

44、;　　15 11 27 20</p><p>　　7 9 12 21</p><p>　　21 15 16 13;</p><p><b>　　enddata</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　運行結(jié)果：

45、</b></p><p><b>　　相應(yīng)的解矩陣為</b></p><p>　　由解矩陣得矩陣最優(yōu)指派方案B學生→數(shù)學、A學生→物理、C學生→化學、D學生→英語。</p><p>　　3 馬爾可夫鏈模型</p><p>　　3.1 馬爾可夫鏈</p><p>　　3.1.1 馬

46、爾可夫過程介紹</p><p>　　馬爾可夫過程：在已經(jīng)時刻系統(tǒng)所處狀態(tài)的條件下，在時刻以后系統(tǒng)到達的情況與時刻以前系統(tǒng)所處的狀態(tài)無關(guān)，完全取決于時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)。這個特性稱為無后效性，也稱“馬爾可夫性”。[10]</p><p>　　馬爾可夫過程數(shù)學定義：</p><p>　　設(shè)為隨機過程，如果對于任意正整數(shù)及，，并且其條件分布為</p><

47、p><b>　　=</b></p><p>　　則稱為馬爾可夫過程，或稱該過程具有馬爾可夫性。</p><p>　　3.1.2 馬爾可夫鏈的數(shù)學定義</p><p>　　設(shè)隨機序列滿足如下條件：</p><p>　　對于每一個，取整數(shù)或它的子集；</p><p>　　對于任意個非負整數(shù)，和

48、任意正整數(shù)，以及狀態(tài)，有</p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　則稱隨機序列為馬爾可夫鏈，也稱隨機序列具有馬爾可夫性。</p><p>　　條件概率稱為馬爾可夫鏈在時刻從狀態(tài)出發(fā)，在時刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，記做，即</p>

49、<p>　　上述定義中，叫做馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間。</p><p>　　3.1.3 轉(zhuǎn)移概率矩陣</p><p>　　因為馬爾可夫鏈在時刻從任意一個狀態(tài)出發(fā)，到時刻一定轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間中的某一狀態(tài)，所以轉(zhuǎn)移概率為元素構(gòu)成的矩陣稱為馬爾可夫鏈步轉(zhuǎn)移概率矩陣，記為，即。在轉(zhuǎn)移概率矩陣中，每一行元素的和都等于1。</p><p>　　如果馬爾可夫鏈具有有限狀態(tài)

50、空間，則以一步轉(zhuǎn)移概率為元素可以構(gòu)成一個階矩陣，記為，即</p><p>　　把矩陣稱為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。顯然，矩陣的所有元素都是非負的，且每一行元素的和都等于1。</p><p>　　3.1.4 馬爾可夫鏈的基本方程</p><p>　　，， </p><p>　　并且和應(yīng)滿足，， </

51、p><p>　　， ，。 </p><p>　　引入狀態(tài)概率向量和轉(zhuǎn)移概率矩陣</p><p><b>　　，， </b></p><p>　　則基本方程可以表示為</p><p>　　3.1.5 相關(guān)定義及定理</p><p>　

52、　定義1：一個有個狀態(tài)的馬爾可夫鏈，如果存在正整數(shù)，使從任意狀態(tài)經(jīng)次轉(zhuǎn)移都以大于零的概率到達狀態(tài)，則稱為正則鏈。</p><p>　　定理1：若馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為，則它是正則鏈的充要條件是，存在正整數(shù)使（指的每一元素大于零）。</p><p>　　定理2：正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率，使得當時，與初始狀態(tài)概率無關(guān)，滿足，。</p><p>　　3.2 馬爾可夫

53、鏈的應(yīng)用實例</p><p>　　鋼琴銷售的存儲策略[11]：一家商店根據(jù)以往的經(jīng)驗，平均每周只能售出1架鋼琴，現(xiàn)在經(jīng)理制定的存儲策略是，每周末檢查庫存量，僅當庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售，否則，不訂購。試估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。</p><p><b>　　模型建立及求解</b></p><p

54、><b>　　模型假設(shè)</b></p><p>　　鋼琴每周需求量服從泊松分布，均值為每周1架。</p><p>　　存儲策略是：當周末庫存量為零時訂購3架，周初到貨；否則不定購。</p><p>　　以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性。</p><p>　　在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存儲策略失去銷售機會的

55、概率和每周平均銷售量。</p><p>　　記第周的需求量為，由假設(shè)1），服從均值為1的泊松分布，即，， </p><p>　　記第周初的庫存量為，是這個系統(tǒng)的狀態(tài)變量，又假設(shè)2），狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律為。 </p><p>　　由式計算得到，，，，，由此可以計算出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣</p>

56、<p><b>　　，由</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p>&l

57、t;p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p&g

58、t;　　得到， </p><p>　　記狀態(tài)概率，，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性的假設(shè)，有。</p><p>　　由定理1對照得到轉(zhuǎn)移矩陣，可知這是一個正則鏈，具有穩(wěn)態(tài)的概率分布</p><p>　　， </p><p>　　該存儲策略（第周）失去銷售機會的概率為，按照全概率公式有，

59、 </p><p>　　其中的條件概率容易由式計算。</p><p>　　當充分大時，可以認為，。</p><p><b>　　最終得到</b></p><p>　　從長遠看，失去銷售機會的可能性大約。</p><p>　　在計算存儲策略（第周）的平均銷售量時，應(yīng)注意到，

60、當需求超過存量是只能銷售掉存量，于是</p><p>　　， </p><p>　　同樣地，當充分大時用穩(wěn)態(tài)概率代替，得到</p><p>　　即從長期看，每周的平均銷售量為架。</p><p><b>　　4 層次分析法</b></p><p>　　4.1 層次分析法

61、的產(chǎn)生背景</p><p>　　層次分析法（Analytic Hierarchy Process簡稱AHP）[12]是將決策總是有關(guān)的元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎(chǔ)之上進行定性和定量分析的決策方法。該方法是美國運籌學家匹茨堡大學教授薩蒂于本世紀70年代初，在為美國國防部研究“根據(jù)各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配”課題時，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標綜合評價方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法

62、。</p><p>　　4.1.1 層次分析法的廣泛應(yīng)用</p><p>　　層次分析法是對復雜問題做出決策的一種簡明有效的新方法。隨著科學技術(shù)的發(fā)展，對以前的社會、經(jīng)濟、生物、心理、組織管理等領(lǐng)域只能定性描述的因素、事物和概念等，現(xiàn)在迫切須要做出量化研究。層次分析法在一定程度上滿足了這種需求。它把定性分析與定量分析相結(jié)合，根據(jù)問題的總目標，以系統(tǒng)化的觀點，把問題分解成若干因素，并按其支

63、配關(guān)系構(gòu)成遞階層次結(jié)構(gòu)模型，然后應(yīng)用兩兩比較的方法確定決策方案之間的相對重要性，從而獲得滿意的決策。</p><p>　　層次分析法在T.L.Saaty正式提出來之后，由于它在處理復雜的決策問題上的實用性和有效性，很快就在世界范圍內(nèi)得到普遍的重視和廣泛的應(yīng)用。二三十年來它的應(yīng)用已遍及經(jīng)濟計劃和管理、能源政策和分配、行為科學、軍事指揮、運輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療、環(huán)境等等領(lǐng)域。從處理問題的類型看，主要是決策、評價

64、、分析、預測等等。這個方法在20世紀80年代初引入我國，也很快為廣大的應(yīng)用數(shù)學工作者和有關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)人員所接受，得到了成功的應(yīng)用。</p><p>　　4.1.2 層次分析法的基本步驟</p><p>　　建立層次結(jié)構(gòu)模型 在深入分析實際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個因素按照不同的屬性自上而下地分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時又支配下一層的因素或受到

65、下一層因素的作用，而同一層的各因素之間盡量相互獨立。最上層為目標層，通常只有1個因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有1個或者幾個層次，通常為準則或指標層。</p><p>　　構(gòu)造成對比較矩陣 從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對于從屬于（或影響及）上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1-9比較尺度構(gòu)造成對比較陣，直到最下層。</p><p>　　計算權(quán)向量并做一致性檢驗 對于每一

66、個成對比較陣計算最大特征根及對應(yīng)特征向量，利用一致性指標，隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)成對比較陣。</p><p>　　計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗 </p><p>　　4.2 層次分析法的預備知識</p><p>　　4.2.1 比較尺度的確定</p><p&

67、gt;　　當比較兩個可能具有不同性質(zhì)的因素和對上一層的影響時，Saaty等人提出用1-9尺度，即的取值范圍是及其互反數(shù)。在進行定性的成對比較時，人們頭腦中常有5種明顯的等級，用1-9尺度可以方便地表示如下[13]</p><p>　　4.2.2 構(gòu)造成對比較矩陣及其權(quán)向量計算</p><p>　　層次分析法有下列兩個特點：一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比；二是對比時采用相對

68、尺度，以盡可能地減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準確度。假設(shè)準則層景色為、費用、居住、飲食、旅途5個因素，對目標層的影響。每次取兩個因素和，用表示和對目標層的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對比較</p><p><b>　　表示。</b></p><p>　　根據(jù)給出的的特點，把稱為正互反矩陣。顯然必有。</p><p>　　4.2.3

69、 一致陣的介紹</p><p>　　一般地，如果一個正互反矩陣滿足</p><p>　　則稱為一致性矩陣，簡稱一致陣。</p><p>　　階一致陣有下列性質(zhì)：</p><p>　　的秩為1，其唯一的非零特征根為。</p><p>　　的任一列（行）向量都是對應(yīng)于特征根的特征向量。</p><p&g

70、t;　　如果得到的成對矩陣是一致陣，自然應(yīng)取對應(yīng)于特征根的、歸一化的特征向量，表示諸因素對上層因素的權(quán)重，而這個向量稱為權(quán)向量。如果成對比較陣不是一致陣，但是不一致的容許范圍內(nèi)，層次分析法建議用對應(yīng)于的最大特征根（記做）的特征向量（歸一化后）作為權(quán)向量，即滿足。</p><p>　　4.2.4 關(guān)于一致性檢驗</p><p>　　階一致陣的特征根是，階正互反矩陣的最大特征根，而當時是一致

71、陣。根據(jù)上述結(jié)論以及連續(xù)地依賴于的事實可知，比大得越多，的不一致程度越嚴重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差也就越大。因此，可以考慮用數(shù)值的大小來衡量的不一致程度。我們將定義為一致性指標。當時，為一致陣；越大的不一致程度越嚴重。</p><p>　　注意到的各特征根之和等于的對角元素之和，而的對角元素均為1，所以特征根</p><p><b>　　之和。</b>&l

72、t;/p><p>　　為了確定的不一致程度的容許范圍，尚須找出衡量的一致性指標的標準，因此引入隨機一致性指標。Saaty對于不同的，用個樣本算出的隨機一致性指標的數(shù)據(jù)如下</p><p>　　對于的成對比較陣，將它的一致性指標與同階隨機一致性指標之比稱為一致性比率，記做 。當時，認為的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可以用其特征向量作為權(quán)向量，否則就要重新構(gòu)造成對比較陣，對加以調(diào)整。</p&g

73、t;<p>　　對于，利用，進行的檢驗稱為一致性檢驗。</p><p>　　4.2.5 組合權(quán)向量的確定</p><p>　　關(guān)于最大特征值和特征向量的計算問題（和法）</p><p><b>　　設(shè)是判斷矩陣</b></p><p><b>　　將的每一列標準化</b></p

74、><p><b>　　將按行求和得到</b></p><p>　　將標準化為，則為近似特征向量。</p><p><b>　　計算</b></p><p>　　4.3 層次分析法的實際應(yīng)用</p><p>　?。ù髮W生旅游聯(lián)盟）嘉興學院2011年春游活動正式開始隆重推出大學生旅

75、游特價路線。</p><p><b>　　選取景點：</b></p><p>　　歡樂、時尚、驚喜、刺激就在鳳凰山海港樂園——鳳凰山：大舟沖浪，國內(nèi)唯一的雙軌道沖水項目，世界上落差最大的漂流項目。近日推出最新項目：自由落體 泡泡卡丁車 鬼屋 攀巖 蹦極 海盜船 </p><p>　　夢回三國——無錫三國水滸城： 泛舟湖心，于水天一線之際 享盡

76、太湖之靈氣、秀氣，現(xiàn)場演繹三英戰(zhàn)呂布領(lǐng)略英雄風采，射雕英雄傳情境再現(xiàn)，現(xiàn)場領(lǐng)略高手經(jīng)典空中飛天。</p><p>　　石水圣境 峽谷仙境——杭州天目山大峽谷：石谷地貌奇特，野趣濃郁以森林、奇石、碧潭、飛瀑、火山口、冰川遺跡構(gòu)成一條壯觀的山野長廊。</p><p>　　4.3.1 模型建立</p><p>　　面對選擇春游旅游地，我們需要考慮因素很多，比較復雜。為此

77、我們采用層次分析法，</p><p>　　將旅游選擇地作為目標層。</p><p>　　考慮準則層設(shè)景色為、費用、居住、飲食、旅途。</p><p>　　方案層：杭州天目山大峽谷、無錫三國水滸城、鳳凰山三個旅游方案分別為、、。</p><p>　　那么就需要比較這5個準則在選擇旅游地這個目標中的重要性。</p><p>

78、;　　4.3.2 層次分析法的實際應(yīng)用過程</p><p>　　用景色、費用、居住、飲食、旅途5個準則，得到成對比較陣為</p><p>　　中表示景色與費用對選擇旅游地這個目標的重要性之比為；依次類推，因此可以看出我們在選擇旅游地時，費用因素最重要，景色次之，居住條件再次。由Matlab程序運行得到，歸一化的特征向量</p><p><b>　　。&l

79、t;/b></p><p><b>　　再由，在表中查出。</b></p><p>　　由，一致性檢驗通過，上述可作為權(quán)向量。</p><p>　　我們已經(jīng)得到準則層對第一層的權(quán)向量，記作。用同樣的方法構(gòu)造方案層對準則層的每一個準則的成對比較陣，不妨設(shè)它們?yōu)?lt;/p><p><b>　　，，，</b

80、></p><p><b>　　，</b></p><p>　　這里矩陣中的元素是方案（旅游地）和對于準則的優(yōu)越性的比較尺度。由方案層的成對比較陣計算出權(quán)重向量，最大特征根和一致性指標，</p><p>　　由于時隨機一致性指標，所以上面的均可以通過一致性檢驗。</p><p>　　由各準則層對目標層的權(quán)向量和各方

81、案對每一準則的權(quán)向量，計算各方案對目標的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量，記為。</p><p>　　對于3個層次的決策問題，若第一層只有一個因素，第二、三層分別有、個因素，記第2,3層對第1,2層的權(quán)向量分別為</p><p><b>　　以為列向量構(gòu)成矩陣</b></p><p>　　則第三層對第一層的組合權(quán)向量為</p><p&

82、gt;　　因此方案在目標的組合權(quán)向量應(yīng)為它們相應(yīng)項的兩兩乘積之和，即</p><p>　　同理得到，在目標中的組合權(quán)重為和，于是組合權(quán)向量</p><p>　　。結(jié)果表明方案在旅游地選擇中占的權(quán)重近于，遠大于，，應(yīng)作為第一選擇地點。</p><p>　　因此根據(jù)層次分析法我們選擇鳳凰山海港樂園做為旅游點。</p><p>　　4.3.3 層

83、次分析法中和法的Matlab程序</p><p><b>　　和法程序[14]：</b></p><p>　　function [lemta,x]=Sum_Meth(A,x0,eps,N)%和法求成對比較陣A的主特征值lemta及其特征向量xn=length(A);w=A(:,1)/sum(A(:,1)); %第一列歸一化for j=2:n w=[w

84、A(:,j)/sum(A(:,j))];%第二列到最后一列依次歸一化endx=sum(w(1,:)); %第一行求和for i=2:n x=[x;sum(w(i,:))]; %第二行到最后一行依次求和endx=x/sum(x); %歸一化后即為所求特征向量Ax=A*x; lemta=sum(Ax./x)/n;</p><p>　　A=[1 1/2 4 3 3;2 1

85、 7 5 5;1/4 1/7 1 1/2 1/3;1/3 1/5 2 1 1;1/3 1/5 3 1 1];x0=[0.2 0.3 0.2 0.2 0.1]';eps=1e-5;N=100;[lemta,x]=Sum_Meth(A,x0,eps,N)</p><p>　　4.4 層次分析法的優(yōu)缺點</p><p>　　4.4.1 層次分析法的優(yōu)點</p>&

86、lt;p>　?。?）系統(tǒng)性。層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，符合人的思維模式，易于為人們接受，因此成為繼機理分析方法和統(tǒng)計分析方法之后發(fā)展起來的建模與系統(tǒng)分析方面的一個得力而重要的數(shù)學工具。</p><p>　　（2）廣泛性。層次分析法把定性分析與定量分析方法成功結(jié)合起來，使許多用傳統(tǒng)的優(yōu)化和技術(shù)無法著手的實際問題被成功地解決，也使其應(yīng)用范圍 廣泛。</p

87、><p>　　（3）簡潔性。本方法不需要復雜的數(shù)學基礎(chǔ)知識，因此只須具有中學文化程度的人即可學會層次分析的基本原理，并掌握它的基本步驟。從計算上也非常簡便，所以結(jié)果也簡單明確，容易決策者了解掌握。</p><p>　　4.4.2 層次分析法的局限性</p><p>　?。?）它只能從原有方案中選優(yōu)，不能生產(chǎn)新的方案，這是一個很大的遺憾。</p><

88、p>　?。?）由形成成對比較矩陣等過程易見，它的比較、判斷及由其引起的最終結(jié)果都是比較粗糙的，不適合精度要求很高的實際問題。對于粗線條的和宏觀的分析，它總可以給出一個相當不錯的估計。因此，在應(yīng)用中要注意實際問題的精確化要求，不可隨意引用。</p><p>　　（3）從建立層次分析結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，摻入較多的人的主觀因素，這就使決策結(jié)果可能難以為眾人接受。不過，這個缺點可以通過采取專家群體判斷、統(tǒng)計

89、分析及模糊評判等多種途徑加以克服。</p><p><b>　　5 結(jié)束語</b></p><p>　　從上述幾個實例對線性代數(shù)原理的運用也是可見一斑。而線性代數(shù)的含義隨數(shù)學的發(fā)展而不斷擴大，線性代數(shù)在科學研究、經(jīng)濟投入產(chǎn)出[15]、工程技術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛、深入。從數(shù)學模型建立到解題的過程我們不難發(fā)現(xiàn)，對于線性代數(shù)原理的專業(yè)知識的要求并不是很高。并且從大學課

90、程的教材中大量的應(yīng)用篇幅反應(yīng)出普及數(shù)學建模思想；強調(diào)學生從生活實例出發(fā)條結(jié)合線性代數(shù)知識建立合適的數(shù)學模型[16]。并且可以借助數(shù)學軟件或圖形計算器，從而簡化模型的求解。大多數(shù)的教材都采用了MATLAB、LINGO等。</p><p>　　本文主要利用建模思想應(yīng)用線性代數(shù)知識解決實際問題，即從問題實例出發(fā)，建立數(shù)學模型，引入線性代數(shù)的基本知識點[17]，回到實際應(yīng)用中去。事實上用這種方式進行教學，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)

91、新能力，提高學生分析和解決問題的能力。但是本文也存在許多缺陷，對于實際問題簡化很多而得到的模型，對于模型的假設(shè)也摻如了很多主觀的因素。這就使得模型和實際問題也存在著一定的差距。并且對線性代數(shù)原理的運用局限在某些固定的方法。</p><p>　　本文知識對線性代數(shù)原理的簡單應(yīng)用，但是我們也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型正在普及，適用的人群越來越廣泛。</p><p><b>　　參考文獻<

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