第四章根軌跡

1、第四章 根軌跡,已知開環(huán)系統(tǒng)的極點和零點，當增益變化的時候，閉環(huán)系統(tǒng)的極點變化的軌跡。,4.1 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,4.1.1 根軌跡的定義這一章考慮如下的反饋系統(tǒng)。設開環(huán)傳遞函數(shù)為（zi,pj可能復數(shù)）：其中的Kr稱為根軌跡增益。,,注意：與開環(huán)增益不同！,4.1 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為根軌跡就是當Kr變化時（通常是零變到正無窮大），閉環(huán)極點的軌跡。設分子和分母的次數(shù)分別為m和n，通常n≥m，由

2、于上述方程是n次的，故根軌跡有n根分支。上式等價于：,4.1.2 幅值條件和相角條件,其中第一個式子稱為根軌跡的相角條件，第二個式子稱為根軌跡的幅值條件。注意到s+z就是-z到s的向量，因此點s在根軌跡上的充要條件是：（所有開環(huán)零點到s的幅角之和）-（所有開環(huán)極點到s的幅角之和）=?的奇數(shù)倍。,例：,作下圖的根軌跡,,,開環(huán)只有極點，極點到s的幅角之和為?奇數(shù)倍。,例,如果開環(huán)傳遞函數(shù)為

3、，求它的根軌跡。實軸上的根軌跡。復平面上的根軌跡。設 在根軌跡上，于是,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡的起點和終點由于 當Kr=0時， 根軌跡起源于開環(huán)的極點（正好n個）。當Kr=?時，,根軌跡終止于開環(huán)的零點。（多余的n-m支奔向何方？）,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,實軸上的根軌跡 復數(shù)零極點對實軸上的根軌跡沒有影響，所以實軸上的

4、根軌跡由實數(shù)零極點確定。 一個實數(shù)在根軌跡上，如果它的右面有奇數(shù)個零極點。復平面上的根軌跡 因為這是實數(shù)多項式，復根成對出現(xiàn)，所以復平面上的根軌跡關于實軸對稱。,復習,根軌跡的定義當K變化的時候，閉環(huán)特征根的軌跡，即 的根的軌跡作根軌跡的幅角條件和幅值條件：,復習,根軌跡的特征根軌跡起點和終點：根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。當零點個數(shù)小于極點個數(shù)的時候，剩余的趨向無窮。實軸

5、上的根軌跡： 實軸上的點的右面有奇數(shù)個零極點，則它在根軌跡上。復平面上的根軌跡： 復平面上的根軌跡關于實軸對稱。,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,無窮遠的根軌跡 有n-m支根軌跡趨向無窮大，它們與實軸的夾角分別為 與實軸交點為 這是因為,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,實軸上根軌跡的分離和匯合 兩支實軸上的根軌跡必定要分離或者匯合，分離和匯合

6、點是重根?？捎们笾馗霓k法求出這類點。 或者 對應正的Kr。,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡與虛軸的交點 利用Routh表可以求出臨界穩(wěn)定的Kr，和對應的虛軸上的極點。,列出Routh陣列,使s行為零,得對應虛極點。出射角和入射角 出射角是根軌跡離開開環(huán)極點的角度，入射角是進入開環(huán)零點的角度。計算公式為：,,,入射角出射角,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)

7、則,例：求的根軌跡,1。在復平面上作出起點與終點 起點：0，-1，-2±j2 終點：-4 2。實軸上的根軌跡（-?，-4]，[-1，0]3。實軸上的分離點和匯合點解方程得到s=-5.12(匯合點), s=-0.48（分離點）,,,,4．2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,例：求的根軌跡,4。無窮遠性質： 漸近線夾角：±60，180。實軸交點 （-5+4）/3 5。與虛軸交點：