第四章中學數(shù)學的思想和方法

1、第四章 中學數(shù)學的思想和方法,,第一節(jié) 中學數(shù)學思想,一．集合思想與對應思想 集合論的創(chuàng)建者是德國數(shù)學家G.康托爾?？低袪柟诺浼险撝械闹饕枷敕椒ㄊ歉爬ㄔ瓌t、外延原則、一一對應原則等。其中概括原則用于造集，外延原則用于確定集與集的相等，一一對應原則用于引出基數(shù)概念。集合論的產(chǎn)生為經(jīng)典數(shù)學提供了理論基礎。隨著現(xiàn)代數(shù)學基礎研究的深入，已使集合論的概念、思想和方法滲透到現(xiàn)代數(shù)學的各個分支，使集合論在現(xiàn)代數(shù)學中占據(jù)了越來越重要的位置。 本

2、部分思考題和研究計劃： 初中（高中）階段集合思想的應用 提出中學數(shù)學教學過程中集合思想教學的問題 對應是一個原始概念。對應思想是指人的思維對兩個集合元素之間聯(lián)系的把握。它是一種重要的數(shù)學思想。許多具體的數(shù)學方法都來源于對應思想。初等數(shù)學中的對應思想主要體現(xiàn)在數(shù)形結合的思想、函數(shù)的思想及變換的思想等方面。 本部分思考題和研究計劃：初中（高中）階段對應思想的應用 提出中學數(shù)學教學過程中對應思想教學的問題,,二、符號化思想 數(shù)學

3、離不開符號，數(shù)學的符號化語言能夠不分國家和種族到處通用。英國著名的哲學家、數(shù)學家羅索說過：什么是數(shù)學？數(shù)學就是符號加邏輯。數(shù)學的符號化思想隨著數(shù)學發(fā)展的需要逐步形成，而符號化思想的發(fā)展又成為數(shù)學發(fā)展的重要推動因素。 本部分思考題和研究計劃： 符號化思想在中學數(shù)學中的運用 列方程解應用題的思想,,三．極限思想 古代人們在揭示事物的無限可分性時，已萌芽了極限思想。隨著微積分應用的深入，遇到的數(shù)量關系也日趨復雜，原有的方法已不夠用了。

4、　19世紀法國數(shù)學家柯西在總結前人成果的基礎上終于建立起微積分的理論基礎—-極限論。,,四．隨機思想 人們在社會實踐活動中常常遇到兩類性質(zhì)截然不同的現(xiàn)象：一類是必然現(xiàn)象．另一類是隨機現(xiàn)象（也稱偶然現(xiàn)象）。對于必然現(xiàn)象，條件和結果之間存在著必然性的聯(lián)系，它可以由條件預知結果。但對隨機現(xiàn)象，由于條件與結果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用通常的算術、代教、三角來闡釋隨機現(xiàn)象的規(guī)律，就需要概率論及隨機過程的理論。隨機思想的實質(zhì)：發(fā)現(xiàn)客觀事物具有

5、或然性特征，考察隨機現(xiàn)象的各種可能性，以輔助決策并對未來進行預測。盡管隨機現(xiàn)象從個體上看，似乎沒有什么規(guī)律存在，但當它大量出現(xiàn)時，卻呈現(xiàn)出一種總體規(guī)律性，這就是統(tǒng)計規(guī)律性。隨機思想在高中階段可通過概率論的學習得以滲透，而以概率論為基礎的統(tǒng)計初步在小學階段就學習了一些基本概念。,第二節(jié) 中學數(shù)學方法,一．關于的數(shù)學思維方式          

6、;                                    

7、60;               1． 1．  分析與綜合分析與綜合是思維過程的基本環(huán)節(jié)，它們是相互依存的。當我們對某一事物進行分析時，也總在揭示這一事物的各個部分、特征、各個方面之間的聯(lián)系、關系和依存性，就是說，也在進行綜合。分析和綜合可以在不同的水平上進行：可以在直接擺弄物體的情

8、況下進行分析綜合；也可以在直觀形象的水平上進行分析綜合；還可以在思想上對抽象的事物進行分析綜合。 2．2．演繹法 演繹法推理是從一般原理到特殊事例的推理。也就是以某事物 的一般判斷為前提，作出這類事物的個別特殊事物的判斷的思維形式。以演繹推理為主要內(nèi)容的科學研究方法叫演繹法。 簡單的演繹推理一般是通過三段論的形式來實現(xiàn)的。它的理論基礎是公理：如果集合M的所有元素具有（或不具有）性質(zhì)P，如果x是集合M的元素，則x也具有（或不具有）性質(zhì)

9、P。三段論包括大前提、小前提、結論三個判斷。在演繹推理中，如果大前提和小前提都真實，那么按三段論形式推出的結論必是真實的。因此，演繹推理可以作為嚴格的推理方法。,,3．3．  比較法 就是對問題進行分析，比較同類事物的不同之處及異類事物的相同之處，獲得有關問題的結論。在立體幾何、分式、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的學習過程中都要使用這一方法。 4．4．  歸納法 可分為完全歸納法和不完全歸納法，前者

10、是邏輯推理方法，而后者屬于合情推理范疇，以此得出的結論必須進行邏輯檢驗。 5．5．  一般化與特殊化 面對問題有時可進行一般化處理，得出普遍成立的結論，再研究具體問題；有時將一個廣義化的問題特殊化，可得到簡捷的問題解決方式，且不破壞原問題的解。 6．6．概括性與系統(tǒng)性 概括性與系統(tǒng)性方法在研究數(shù)學結構、建立數(shù)學認知體系等方面有著重要應用。,,二．幾種常見的解題方法 2． 1．  化歸法 ：就是用聯(lián)系

11、、運動、發(fā)展變化的觀點來看待問題，把有待解決的問題，通過某種轉化過程，歸結為一類已經(jīng)解決或容易解決的問須。化歸法的實質(zhì)就是對問題進行變形，促使矛盾轉化。轉出的方式要根據(jù)題目的內(nèi)容靈活運用。 2． 2．  假設法 ：假設法是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然后按照題中的已知條件進行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，加以適當調(diào)整，最后找到正確答案的一種解題思想方法。 2．3．逆推法 ：采用與事情發(fā)生過程相反的順序思考的解題方

12、法叫做逆推法。,,2． 4．  枚舉法 ：解某些數(shù)學題時，有時要根據(jù)題目的一部分條件，把可能的答案一一列舉出來，然后根據(jù)另一部分條件檢驗，篩選出題目的答案。這種解題方法叫枚舉法。 2． 5．  類比法 ：“類比”是根據(jù)兩個或兩類事物有些屬性相同，推測它們另一些屬性也可能相同的推理。在解題中，根據(jù)題中所求問題與已知條件相類似的關系，利用類比推理，找類比模型，從而尋找解題途徑的方法叫類比法。 例16 時鐘六點整，分

13、針與時針正好在一條直線上，至少再過多少時間，兩針重合？在思考此題時，如果把時針1小時所走的一格看作路程單位，那么就可以聯(lián)想到行程問題：“甲乙兩人同時同向而行，甲在乙前面6千米，甲每小時行1千米，乙每小時行12千米。問乙經(jīng)過多少時間能追上甲？”通過“分針、時針重合”與“追及”的類比，就可以找到解題途徑，求出兩針第一次重合時間為6÷（12 - 1）=（小時）即32分鐘。,,三．數(shù)學中常用的一般方法公理化方法 數(shù)學模型法,,四．