3.4連續(xù)方程

1、第三章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) (Fundamental of Fluid Dynamics),,,,,本章主要內(nèi)容：,3.1 流體運(yùn)動(dòng)的描述方法,3.1.1 Euler法（歐拉法）,基本思想：考察空間每一點(diǎn)上的物理量及其變化。所謂空間一點(diǎn)上的物理量是指占據(jù)該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的物理量。流體質(zhì)點(diǎn)和空間點(diǎn)是兩個(gè)完全不同的概念。獨(dú)立變量：空間點(diǎn)坐標(biāo) ， ，流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的

2、加速度：,,質(zhì)點(diǎn)全導(dǎo)數(shù)：,質(zhì)點(diǎn)加速度：,,3.1.2 Lagrange法（拉格朗日法）,基本思想：跟蹤每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)全過程，記錄它們在運(yùn)動(dòng)過程中的各物理量及其變化規(guī)律。,獨(dú)立變量：（a,b,c,t）——區(qū)分流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志質(zhì)點(diǎn)物理量：,流體質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)：,速度：,流體質(zhì)點(diǎn)的加速度：,優(yōu)缺點(diǎn)：√ 直觀性強(qiáng)、物理概念明確、可以描述各質(zhì)點(diǎn)的時(shí)變過程 × 數(shù)學(xué)求解較為困難，一般問題研究中很少采用

3、,3.2 流動(dòng)的類型,按照流體性質(zhì)劃分：,可壓縮流體的流動(dòng)和不可壓縮流體的流動(dòng)；理想流體的流動(dòng)和粘性流體的流動(dòng)； 牛頓流體的流動(dòng)和非牛頓流體的流動(dòng)；磁性流體的流動(dòng)和非磁性流體的流動(dòng)；,按照流動(dòng)特征區(qū)分：,有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)；層流流動(dòng)和紊流流動(dòng)；定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)； 超聲速流動(dòng)和亞聲速流動(dòng)；,按照流動(dòng)空間區(qū)分：,內(nèi)部流動(dòng)和外部流動(dòng)；一維流動(dòng)、二維流動(dòng)和三維流動(dòng)；,定常流動(dòng)、非定常流動(dòng)（steady and unsteady

4、 flow),流動(dòng)是否定常與所選取的參考坐標(biāo)系有關(guān)。,2. 一維流動(dòng)、二維流動(dòng)和三維流動(dòng),一維流動(dòng)： 流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)；二維流動(dòng)： 流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)；三維流動(dòng)： 流動(dòng)參數(shù)是三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。對于工程實(shí)際問題，在滿足精度要求的情況下，將三維流動(dòng)簡化為二維、甚至一維流動(dòng)，可以使得求解過程盡可能簡化。,二維流動(dòng)→一維流動(dòng),三維流動(dòng)→二維流動(dòng),跡線 —— 流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡線。屬拉格朗日法的研究內(nèi)容。

5、 給定速度場 ，流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過時(shí)間 移動(dòng)了距離 ，該質(zhì)點(diǎn)的跡線微分方程為起始時(shí)刻 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) ，積分得該質(zhì)點(diǎn)的跡線方程。,1. 跡線和流線,流線 —— 速度場的矢量線。任一時(shí)刻t，曲線上每一點(diǎn)處的切向量 都與該點(diǎn)的速度向量 相切。流線微分方程：,流線的幾個(gè)性質(zhì)： 在定常流動(dòng)中，流線不隨時(shí)間改

6、變其位置和形狀，流線和跡線重合。在非定常流動(dòng)中，由于各空間點(diǎn)上速度隨時(shí)間變化，流線的形狀和位置是在不停地變化的。 流線不能彼此相交和折轉(zhuǎn)，只能平滑過渡。 流線密集的地方流體流動(dòng)的速度大，流線稀疏的地方流動(dòng)速度小。,跡線和流線的差別：跡線是同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移曲線，與Lagrange觀點(diǎn)對應(yīng)；流線是同一時(shí)刻、不同流體質(zhì)點(diǎn)速度向量的包絡(luò)線，與Euler觀點(diǎn)對應(yīng)。,流管——在流場中作一不是流線的封閉周線C，過該周線上的

7、所有流線組成的管狀表面。流體不能穿過流管，流管就像真正的管子一樣將其內(nèi)外的流體分開。定常流動(dòng)中，流管的形狀和位置不隨時(shí)間發(fā)生變化。流束——充滿流管的一束流體。微元流束——截面積無窮小的流束。 微元流束的極限是流線。微元流束和流線的差別：流束是一個(gè)物理概念，涉及流速、壓強(qiáng)、動(dòng)量、能量、流量等等；流線是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，只是某一瞬時(shí)流場中的一條光滑曲線。 總流——截面積有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及風(fēng)管中的氣流都是

8、總流。,2. 流管和流束,3. 緩變流和急變流,緩變流——流束內(nèi)流線的夾角很小、流線的曲率半徑很大，近乎平行直線的流動(dòng)。否則即為急變流。流體在直管道內(nèi)的流動(dòng)為緩變流，在管道截面積變化劇烈、流動(dòng)方向發(fā)生改變的地方，如突擴(kuò)管、突縮管、彎管、閥門等處的流動(dòng)為急變流。,4. 有效截面 流量 平均流速,有效截面——在流束或者總流中，與所有流線都垂直的截面。,體積流量（ ）：,質(zhì)量流量（ ）：,流量——在單位時(shí)間內(nèi)流過有效截面積的

9、流體的量。,質(zhì)量流量（ ）：,體積流量（ ）：,質(zhì)量流量（ ）：,質(zhì)量流量（ ）：,質(zhì)量流量（ ）：,平均流速——體積流量與有效截面積之比值。 一般地不加下標(biāo)a，直接用 v 表示。,5.濕周 水力半徑 當(dāng)量直徑,濕周——在總流的有效截面上，流體與固體壁面的接觸長度。水力半徑——總流的有效截面積A和濕周之比。 圓形截面管道的幾何直徑 非圓形截面管道的

10、當(dāng)量直徑,矩形管道環(huán)形截面管道管束,3.4 系統(tǒng) 控制體 輸運(yùn)公式,1. 系統(tǒng)（system）——由確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的流體團(tuán)或流體體積V(t)。 系統(tǒng)邊界面S(t)在流體的運(yùn)動(dòng)過程中不斷發(fā)生變化。,2. 控制體(control volume)——相對于坐標(biāo)系固定不變的空間體積V 。是為了研究問題方便而取定的。邊界面S 稱為控制面。,3. 輸運(yùn)公式,系統(tǒng)和控制體,系統(tǒng)：邊界用虛線表示；控制體：邊界用實(shí)線表示。左

11、邊(a)圖對應(yīng)著t時(shí)刻；右邊(b)圖對應(yīng)t＋δt時(shí)刻。,N為系統(tǒng)在t時(shí)刻所具有的某種物理量（如質(zhì)量、動(dòng)量和能量等）的總量; η表示單位質(zhì)量流體所具有的該種物理量。,t時(shí)刻流體系統(tǒng)所具有的某種物理量N對時(shí)間的變化率為,V ：系統(tǒng)在t時(shí)刻的體積； V’ ：系統(tǒng)在t＋δt時(shí)刻的體積。,即,時(shí)，有 。,如果用CV表示控制體的體積，則有,CS2為控制體表面上的出流面積；CS1為

12、流入控制體表面的入流面積。,整個(gè)控制體的面積,,輸運(yùn)公式,或者,輸運(yùn)公式的具體含義：任一瞬時(shí)系統(tǒng)內(nèi)物理量N （如質(zhì)量、動(dòng)量和能量等）隨時(shí)間的變化率等于該瞬時(shí)其控制體內(nèi)物理量的變化率與通過控制體表面的凈通量之和。,對于定常流動(dòng)：,當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)項(xiàng),遷移導(dǎo)數(shù)項(xiàng),流場的非穩(wěn)定性引起,流場的非均勻性引起,,,,,,或者,,3.5 連續(xù)性方程,輸運(yùn)公式為,由質(zhì)量守恒定律：,積分形式的連續(xù)性方程：,方程含義：單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量，等于通過

13、控制體表面的質(zhì)量的凈通量。,定常流動(dòng)的積分形式的連續(xù)性方程：,應(yīng)用于定常管流時(shí)：,A1，A2為管道上的任意兩個(gè)截面,截面A1上的質(zhì)量流量,截面A2上的質(zhì)量流量,,,和 分別表示兩個(gè)截面上的平均流速，并將截面取為有效截面：,對于不可壓縮流體：,一維定常流動(dòng)積分形式的連續(xù)性方程,,方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流體的質(zhì)量流量等于常數(shù)。,,方程表明：對于不可壓縮流體的定常一維流動(dòng)，在任意有效截面上體積流量等于常數(shù)。,在同一總流

14、上，流通截面積大的截面上流速小，在流通截面積小截面上流速大。,例3－3，例3－4,3.6 動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程,1. 動(dòng)量方程,——用于工程實(shí)際中求解流體與固體之間的作用力和力矩,對上式應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：作用于流體系統(tǒng)上的所有外力之和等于系統(tǒng)內(nèi)流體動(dòng)量的變化率。,輸運(yùn)公式為,η表示單位質(zhì)量流體具有的動(dòng)量; N 為系統(tǒng)內(nèi)的流體具有的動(dòng)量。,積分形式的動(dòng)量方程：,質(zhì)量力,表面力,定常流動(dòng)時(shí)：,應(yīng)用于定常管流時(shí)，可以對方程進(jìn)行簡化。

15、,為作用于控制體上的質(zhì)量力和表面力之和。,方程表明：在定常管流中，作用于管流控制體上的所有外力之和等于單位時(shí)間內(nèi)管子流出斷面上流出的動(dòng)量和流入斷面上流入的動(dòng)量之差。,用動(dòng)量修正系數(shù) 來修正實(shí)際流速和平均流速計(jì)算的動(dòng)量通量的差別:,,通常情況下，,,應(yīng)用定常管流的動(dòng)量方程求解時(shí)，需要注意以下問題： 動(dòng)量方程是一個(gè)矢量方程，每一個(gè)量均具有方向性，必須根據(jù)建立 的坐標(biāo)系判斷各個(gè)量在坐標(biāo)系中的正負(fù)號。 根據(jù)問題的要

16、求正確地選擇控制體，選擇的控制體必須包含對所求作用力有影響的全部流體。 方程左端的作用力項(xiàng)包括作用于控制體內(nèi)流體上的所有外力，但不包括慣性力。 方程只涉及到兩個(gè)流入、流出截面上的流動(dòng)參數(shù)，而不必顧及控制體內(nèi)是否有間斷面存在。 例題,定常管流投影形式的動(dòng)量方程：,2. 動(dòng)量矩方程,輸運(yùn)公式為,,,η表示單位質(zhì)量流體的動(dòng)量矩; N 為整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)流體的動(dòng)量矩。,,對上式應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理：流體系統(tǒng)內(nèi)流體動(dòng)量矩的時(shí)間變化率等于

17、作用在系統(tǒng)上的所有外力矩的矢量和。,,積分形式的動(dòng)量矩方程：,定常流動(dòng)時(shí)：,,方程表明：在定常流動(dòng)時(shí)，通過控制體表面流體動(dòng)量矩的凈通量等于作用于控制體的所有外力矩的矢量和。,3. 葉輪機(jī)械的基本方程,動(dòng)量矩方程可以表示為：,所有外力矩的矢量和,,離心泵葉輪內(nèi)的流動(dòng),取圖中虛線包容的體積為控制體：,（絕對速度）,（相對速度）,（牽連速度）,（法向分速度）,（切向分速度）,,為轉(zhuǎn)軸傳給 葉輪的力矩。,,,,,,力矩:,功率:,,渦輪機(jī)

18、械的基本方程:,,單位重量流體獲得的能量,,,3.7 能量方程,——用于工程實(shí)際中求解涉及到流體自身能量形式轉(zhuǎn)換 以及與外界有熱交換的流動(dòng)問題,能量守恒定律：流體系統(tǒng)中能量隨時(shí)間的變化率等于作用于控制體上的表面力、系統(tǒng)內(nèi)流體受到的質(zhì)量力對系統(tǒng)內(nèi)流體所作的功和外界與系統(tǒng)交換的熱量之和。,,η表示單位質(zhì)量流體具有的能量; N 為系統(tǒng)內(nèi)流體具有的總能量。,輸運(yùn)公式為,,能量守恒定律,質(zhì)量力功率,表面力功率,,,外界與系統(tǒng)單位時(shí)間

19、交換的熱量,一般形式的能量方程：,重力場中絕熱流動(dòng)積分形式的能量方程：,將表面力分解為垂直于表面的法向應(yīng)力,和相切于表面的切應(yīng)力,,為流體的靜壓強(qiáng); 為微元面積上外法線方向的單位矢量。,對于管道內(nèi)的一維流動(dòng)：,,定常流動(dòng)時(shí)：,,重力場中一維定常絕熱流動(dòng)積分形式的能量方程：,,理想不可壓縮的重力流體作一維定常流動(dòng)的能量方程,,,1. 伯努利方程,對于氣體的一維定常絕能流動(dòng)：,為單位質(zhì)量氣體的焓; 為單位質(zhì)量氣體的滯止焓。,對

20、于不可壓縮的理想流體，在與外界無熱交換的情況下，流動(dòng)過程中流體的熱力學(xué)能將不發(fā)生變化，所以：,,,伯努利方程，1738年,方程的適用條件：理想不可壓縮的重力流體作一維定常流動(dòng)時(shí)的一條流線或者一個(gè)微元流管上。,方程的物理意義：理想不可壓縮的重力流體作一維定常流動(dòng)時(shí)，在同一流線的不同點(diǎn)上或者同一微元流束的不同截面上，單位重量流體的動(dòng)能、位置勢能和壓強(qiáng)勢能之和等于常數(shù)。,方程的幾何意義：理想不可壓縮的重力流體作一維定常流動(dòng)時(shí)，沿任意流線或者微

21、元流束，單位重量流體的速度水頭、位置水頭、壓強(qiáng)水頭之和為常數(shù)，即總水頭線為平行于基準(zhǔn)面的水平線。,伯努利方程,（速度水頭）,（壓強(qiáng)水頭）,（位置水頭）,（總水頭）,對于平面流場：,,常數(shù),方程表明：沿流線速度和壓強(qiáng)的變化是相互制約的，流速高的點(diǎn)上壓強(qiáng)低，流速低的點(diǎn)上壓強(qiáng)高。,2. 伯努利方程在工程中的應(yīng)用,2.1 皮托管 —— 測量流速,沿流線B – A 列伯努利方程：,,動(dòng)壓管,工程實(shí)際中常將靜壓管和皮托管組合在一起，稱為皮

22、托－靜壓管或者動(dòng)壓管。,原理：測量時(shí)將靜壓孔和總壓孔感受到的壓強(qiáng)分別和差壓計(jì)的兩個(gè)入口相連，在差壓計(jì)上可以讀出總壓和靜壓之差，從而求得被測點(diǎn)的流速。,2.2 文杜里流量計(jì) —— 測量管道中的流量,結(jié)構(gòu)：收縮段＋喉部＋擴(kuò)張段,測量原理：測量截面1和喉部截面2處的靜壓強(qiáng)差，根據(jù)測得的壓強(qiáng)差和已知的管子截面積，應(yīng)用伯努里方程和連續(xù)性方程，就可以求得流量。,連續(xù)性方程：,伯努利方程：,聯(lián)立求解：,b--- 修正系數(shù)，實(shí)驗(yàn)標(biāo)定。,修正流

23、量：,實(shí)際測量多用此式,3.9 流線法線方向速度和壓強(qiáng)的變化,——了解過流斷面上流動(dòng)參數(shù)的分布情況,,流線BB’ 上的M點(diǎn)處取一柱形的流體微團(tuán)，其在流線方向上的運(yùn)動(dòng)速度為 。,根據(jù)牛頓第二定律：,,,,對于伯努里積分常數(shù)在所有流線上取同一數(shù)值的情況，有：,,,,C為沿流線法線方向的積分常數(shù)。,流體的流動(dòng)速度和流線的曲率半徑有關(guān)，半徑增大流動(dòng)速度減小，半徑減小，流動(dòng)速度增大。,,在彎管的過流斷面上，流動(dòng)速度在彎管的內(nèi)側(cè)速度大，外