8.3不變因子

1、§8.3 不變因子,§8.3 不變因子,引言：在前一節(jié)我們給出了任何多項(xiàng)式矩陣都等價(jià)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型，但是標(biāo)準(zhǔn)型是否唯一？本節(jié)將從尋找多項(xiàng)式矩陣的不變量入手給出標(biāo)準(zhǔn)型的唯一性回答。下面先介紹行列式因子的定義。,§8.3 不變因子,1. 定義：,一、行列式因子,注：,階行列式因子.,的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式 稱為 的,中必有非零的 級(jí)子式， 中全部 級(jí)子式,設(shè)　－矩

2、陣 的秩為 ，對(duì)于正整數(shù) ，,若 秩 ，則 有 個(gè)行列式因子.,§8.3 不變因子,行列式因子.,1) （定理3）等價(jià)矩陣具有相同的秩與相同的各級(jí),（即初等變換不改變 －矩陣的秩與行列式因子）,證：只需證， －矩陣經(jīng)過一次初等變換，秩與行,列式因子是不變的．,2. 有關(guān)結(jié)論,設(shè) 經(jīng)過一次初等變換變成 ， 與,分別是　　 與　 　的 k 級(jí)行列式因子

3、．,下證 ，分三種情形：,§8.3 不變因子,級(jí)子式反號(hào).,公因式，,此時(shí) 的每個(gè) 級(jí)子式或,者等于 的某個(gè) 級(jí)子式，,或者與 的某個(gè),因此， 是 的 級(jí)子式的,①,從而,②,級(jí)子式的 c 倍.,者等于 的某個(gè) 級(jí)子式，或者等于　　 的某個(gè),此時(shí) 的每個(gè) 級(jí)子式或,因此， 是 的 級(jí)子式的,公因式，,從而,§8

4、.3 不變因子,此時(shí) 中包含 兩行,級(jí)子式相等；,③,的和不包含 行的那些 級(jí)子式與 中對(duì)應(yīng)的,中包含 行但不包含 行的 級(jí),子式，按 行分成 的一個(gè) 級(jí)子式與另一個(gè),級(jí)子式的 倍的和，,即為 的兩個(gè) 級(jí)子式,從而,的組合，,因此 是 的 級(jí)子式的公因式，,同理可得，,§8.3 不變因子,2）若 矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形為,其

5、中 為首1多項(xiàng)式，且,則 的 級(jí)行列式因子為,§8.3 不變因子,證：　 與 等價(jià)，,完全相同，則這個(gè) 級(jí)子式為零.,在 中，若一個(gè) 級(jí)子式包含的行、列指標(biāo)不,與　　 有相的秩與行列式因子.,級(jí)子式,所以只需考慮由 行與 列組成的,即,而這種 級(jí)子式的最大公因式為,所以， 的 級(jí)行列式因子,§8.3

6、 不變因子,證：設(shè) 矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形為,3）（定理4） 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.,其中 為首1多項(xiàng)式，且,§8.3 不變因子,于是,即　　　　　　　由 的行列式因子所唯一確定.,由2）， 的 級(jí)行列式因子為,4）秩為 的 矩陣的 個(gè)行列式因子滿足：,所以 的標(biāo)準(zhǔn)形唯一.,§8.3 不變因子,1. 定義：,二、不變因子,矩陣

7、 的標(biāo)準(zhǔn)形,稱為 的不變因子.,的主對(duì)角線上的非零元素,§8.3 不變因子,有相同的標(biāo)準(zhǔn)形，,1)（定理5） 矩陣 、 等價(jià),、　 有相同的不變因子.,證：必要性顯然. 只證充分性.,2. 有關(guān)結(jié)論,所以 與 等價(jià).,若 與　　 有相同的行列式因子，則,與 也有相同的不變因子，,、　 有相同的行列因子.,從而 與,§8.3 不變因子,則

8、 ， 為一非零常數(shù).,的第n個(gè)行列式因子,證；若 可逆，,因子全部為1， 的標(biāo)準(zhǔn)形為單位矩陣 ，即,與 等價(jià).,2）若 的 矩陣 可逆，則 的不變,又 的n個(gè)行列式因子滿足:,§8.3 不變因子,從而不變因子,所以， 的標(biāo)準(zhǔn)形為,矩陣的乘積.,注： 可逆 與 等價(jià).,3)（定理6） 可逆 可

9、表成一些初等,§8.3 不變因子,證： 可逆 與 等價(jià),存在一個(gè) 可逆矩陣 與一個(gè) 可逆,推論：兩個(gè) 的 矩陣 、 等價(jià),矩陣 ，使,§8.3 不變因子,例、求 矩陣的不變因子,,§8.3 不變因子,的非零二級(jí)子式為:,解：1） 的非零1級(jí)子式為:,,§8.3 不變因子,又,所以，