自功率譜估計的經(jīng)典方法

1、15自功率譜估計的經(jīng)典方法1）周期圖法（直接法）對于時間序列，其傅里葉變換（DTFT——離散時間信號的傅里葉變換）為)(nxN，?????10)()(NnnjNjNenxeX???????????deeXnxnjjNN)(21)(記為)()(?jNDTFTNeXnx????的離散傅里葉變換（DFT）為)(nxN，?????102)()(NnknNjNNenxkX?????102)(1)(NkknNjNNekXNnx?記為)()(kXnx

2、NDFTN????若是信號在時間域截斷的結(jié)果，即)(nxN)(nx(558))()()(ndnxnxNN??其中，是單邊矩形窗，其表達式為)(ndN???????其其0101)(NnndN而是確定性功率信號（或隨機信號的一個樣本序列），則根據(jù)第三章的討論結(jié)果知，)(nx(559)?)(?jxeS2)(1)(limlim??jNNjxNNeXNeP?????反映了信號的平均功率在頻域的分布情況，稱為平均功率譜密度。因此，估計量)(nx(5

3、60)2)(1)()(????jNjxNjPERxeXNePeS??為信號的功率譜的一個估計。此估計方法稱為直接法或周期圖法。)(nx在的實際運算中采用DFT，在單位園上均勻取值。當(dāng)取時，（560）)(??jPERxeS?N??2??改寫為，(561)2)(1)()(?kXNkPkSNxNNPERx??110??Nk?其中，，?????102)()(NnnkNjNNenxkX?110??Nk?當(dāng)取時，需對補個零后再作DFT，此時（560

4、）改寫為N22????)(nxNN，(562)2222)(1)()(?kXNkPkSNxNNPERx??1210??Nk?其中，參見(542)、(533)式。)(2kXN，?????1202222)()(NnnkNjNNenxkX?1210??Nk?在的自變量取偶數(shù)的點，有)(2kXN，?????12022222)()2(NnnkNjNNenxkX??????102)(NnnkNjNenx?3????????????1022011220

5、)(?)2(?NmkmNjxNNmkmNjxNemRemNR??＋????????????10220121)2(220)(?)(?NmkmNjxNNNmNmkNjxNemRemR???????120220)(?NmkmNjxNemR?因此，有)(?0mRxN????DFT)(?2kSNBTx綜合上述，關(guān)系1）得證。2）根據(jù)（5632）、（565）和（5661）式，有＝)(kSNPERx)2(2kSNPERx?)2(?2kSNBTx＝)(

6、?kSNBTx即(5662)式成立。4）質(zhì)量當(dāng)時，周期圖法與相關(guān)法等價。因此，我們直接利用相關(guān)法的估計公式，分析估計1??NM質(zhì)量，并將簡寫為。)(??jBTxeS)(??jxeS估計均值：???????????????11)(?)(?NNmmjNxjxemREeSE???????????11)(?NNmmjNxemRE?????????11)(||NNmmjxemRNmN????????11)()(NNmmjxNemRm??)()(?

7、?jNjxeVeS?????????deVeSjjx?????)()(21)(＝【??????11)()(NNmmjxNemRm???????????11])(21)[(NNmmjmjjxNedeeSmv???????】???????demveSNNmmjNjx????????????????11)()()(21???????deVeSjNjx????)()(21)(式中，????????其其0||||1)(NmNmmvN????DTF

8、T22sin2sin1)(????????????????NNeVjN結(jié)論：1）是有偏估計。從時域上看，是由于真實自相關(guān)函數(shù)被乘以三角窗函)(??jxeS)(mRx數(shù)；從頻域上看，真實功率譜被三角窗函數(shù)譜卷積。)(mvN)(?jNeV2）是漸近無偏估計，即)(??jxeS??)()(???jxNjxeSeSE??????證明：因為，?????????deeVmvmjjNN)(21)(????????deVvjNN)(21)0(當(dāng)時，??