《模態(tài)分析與綜合技術(shù)》02-模態(tài)分析理論基礎(chǔ)-02單自由度系統(tǒng)建模與振動(dòng)分析

1、,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,模型是表征系統(tǒng)本質(zhì)信息的一種形式。 若是對(duì)一種現(xiàn)象的描述，謂概念性模型（或觀(guān)念性模型）。 若是用實(shí)驗(yàn)為依據(jù)的描述，即所謂物理模型（在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中可稱(chēng)為力學(xué)模型）。 若是分析形式，即數(shù)學(xué)模型。 在工程中，需要定量地描述一個(gè)系統(tǒng)，需要了解系統(tǒng)的特性，必須要建立一個(gè)能描述該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（建模）。 在動(dòng)力學(xué)的正、反問(wèn)題中建模方法是完全不同的

2、。 正：根據(jù)系統(tǒng)所服從的物理定律； 反：依靠實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)-參數(shù)辯識(shí)。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,只需要一個(gè)坐標(biāo)就可以完全確定其幾何位置的系統(tǒng)稱(chēng)為單自由度系統(tǒng)。 工程中許多振動(dòng)問(wèn)題可以化簡(jiǎn)為單自由系統(tǒng)來(lái)研究 。質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單也是最典型的振動(dòng)力學(xué)模型。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,單自由度系統(tǒng)的建模方法可以利用： 1 牛頓第二定律

3、 F=ma 2 拉格朗日方程,n為自由度數(shù)，qj為第j個(gè)廣義坐標(biāo)，U為系統(tǒng)勢(shì)能，T為系統(tǒng)動(dòng)能，Qj為與qj對(duì)應(yīng)的廣義力。,3 等效法,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,所有單自由度的粘性阻尼系統(tǒng)（粘性阻尼：阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度成正比且反向的阻尼模型）都可簡(jiǎn)化為如圖所示的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。,令x為廣義坐標(biāo)，線(xiàn)性剛度具有如下形式的力-位移關(guān)系：,線(xiàn)性阻尼力具有如下的力-速度關(guān)系：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系

4、統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,串、并聯(lián)彈簧的剛性系數(shù)的等效：,,,,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,令x為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動(dòng)能為：,meq為等效質(zhì)量。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,系統(tǒng)的勢(shì)能為：,keq為等效剛度。,粘性阻力在任意兩點(diǎn)x1和x2間所作的功為：,ceq為等效粘性阻尼系數(shù)。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,例1 試求如圖所示桿的縱向剛度。,解：當(dāng)桿一端作用沿x方向的力

5、F時(shí)，其長(zhǎng)度變 化為：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,由上式，得：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,例2 試求如圖所示轉(zhuǎn)動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)剛度。轉(zhuǎn)軸的剪切模量為G,軸的內(nèi)外徑分別為r,R。,解：如果在軸的末端施加一個(gè)力矩M,則由材料力學(xué)知識(shí)知，軸端的扭轉(zhuǎn)角為：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,其中J為軸的截面極慣性矩：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,例3 計(jì)算如圖所

6、示勻質(zhì)桿系統(tǒng)的等效參數(shù)。廣義坐標(biāo)為q, 從系統(tǒng)的平衡位置測(cè)起， q假定很小。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,解：廣義坐標(biāo)為q, 則系統(tǒng)任意瞬時(shí)的動(dòng)能為：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.1 單自由度系統(tǒng)建模,因重力引起的勢(shì)能與靜變形引起的勢(shì)能相抵消，則系統(tǒng)任意瞬時(shí)的勢(shì)能為：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,通過(guò)前面一節(jié)對(duì)于一線(xiàn)性單自由系統(tǒng)，總可以將其簡(jiǎn)化為質(zhì)量－彈簧-粘性阻尼系統(tǒng)，得到系統(tǒng)的等效慣

7、性、剛性和粘性參數(shù)。并進(jìn)一步用牛頓定律得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程：,自由振動(dòng)微分方程。,強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,由自由振動(dòng)方程，引入記號(hào)：,w為無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有頻率(rad/s)。工程中通常用f/Hz。z為無(wú)量剛阻尼率。 自由振動(dòng)方程可改寫(xiě)為：,1 自由振動(dòng),,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,此方程為系統(tǒng)的特征方程。它的兩個(gè)根為：,設(shè)方程的解為：,代入

8、上述方程，有：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,z=1為臨界阻尼情形。臨界——聯(lián)想到物理中的相變，水的沸點(diǎn)。 z>1（超阻尼）:不振動(dòng)。 下面重點(diǎn)討論亞阻尼（欠阻尼）情形： 0<z<1。這時(shí)，系統(tǒng)的兩個(gè)特征值為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，即：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,有阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的特性取決于上面的特征方程的根的特性，對(duì)于欠阻尼情形，系統(tǒng)的兩個(gè)特征值為一對(duì)共軛

9、復(fù)數(shù)，具有頻率量綱，故稱(chēng)為復(fù)頻率。,它的實(shí)部是一個(gè)負(fù)數(shù)，表示了振幅衰減的狀態(tài)(衰減率)，虛部總是共軛成對(duì)地出現(xiàn)，表示了系統(tǒng)振動(dòng)的頻率，因此特征根反映了全部振動(dòng)特性。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,設(shè)系統(tǒng)的初始條件為：,則粘性阻尼系統(tǒng)的自由響應(yīng)為：,其中：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,系統(tǒng)在經(jīng)常性激勵(lì)作用下的振動(dòng)稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)。 線(xiàn)性系統(tǒng)的一個(gè)最重要的特點(diǎn)是疊加原理適用于它。

10、 疊加原理：系統(tǒng)對(duì)于多個(gè)激勵(lì)的總響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)各個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用下的響應(yīng)之和。如系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)f1和f2的響應(yīng)分別為x1和x2,則系統(tǒng)對(duì)于c1 f1 +c2 f2的總響應(yīng)就等于c1 x1 +c2 x2,2 強(qiáng)迫振動(dòng),,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),下面如圖介紹彈性-線(xiàn)性阻尼系統(tǒng)對(duì)于諧和激勵(lì)的響應(yīng)。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),引入記號(hào)：,A0稱(chēng)為零

11、頻率位移（靜位移）。 強(qiáng)迫振動(dòng)方程可改寫(xiě)為：,設(shè)系統(tǒng)的初始條件為：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),方程的解為：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),上式第一部分代表由初始擾動(dòng)引起的自由振動(dòng)，第二部分代表擾力引起的自由振動(dòng)，第三部分代表與擾力同形式的定常強(qiáng)迫振動(dòng)。 前兩部分成為系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；后一部分稱(chēng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（定常響應(yīng)）。,,第2

12、章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)將隨時(shí)間的推移而消逝，最后剩下的就只有定常強(qiáng)迫振動(dòng)，即穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 下面詳細(xì)討論定常響應(yīng)：,其中：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),可見(jiàn)，振幅A與靜位移、阻尼率與頻率比都有關(guān)，而初相位則僅與阻尼率與頻率比有關(guān)。 定義放大率b為：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),

13、則，有：,可見(jiàn)，放大率僅僅依賴(lài)于阻尼率與頻率比。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),為了便于分析，給出b-g曲線(xiàn)：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),上圖稱(chēng)為幅頻特性曲線(xiàn)（幅頻響應(yīng)），從圖中可以看到，當(dāng)頻率比g>1時(shí)，放大率十分接近于0。 當(dāng)頻率比g~1時(shí)，放大率相對(duì)地放大。即振幅（響應(yīng)）達(dá)到極大值，這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2

14、.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),當(dāng)頻率比g~1時(shí)的區(qū)域時(shí)系統(tǒng)發(fā)生劇烈振動(dòng)，稱(chēng)為共振區(qū)。 在共振區(qū)內(nèi)，阻尼率對(duì)于振幅的影響非常顯著。 嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，共振并不出現(xiàn)在g=1處，共振頻率為：,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),上圖稱(chēng)為相頻特性曲線(xiàn)。,,第2章 簡(jiǎn)單振動(dòng)系統(tǒng),2.2 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析,2 強(qiáng)迫振動(dòng),從圖中可以看出來(lái)：不論阻尼率多大，當(dāng)g=1時(shí)，都有y=p/